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Theorem cnmpt12 20759
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt11.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmpt1t.b  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )
cnmpt12.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt12.l  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
cnmpt12.c  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  M ) )
cnmpt12.d  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
cnmpt12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  D )  e.  ( J  Cn  M ) )
Distinct variable groups:    y, z, A    z, B    y, D, z    x, y    ph, x    x, J, y    x, z, M, y    x, X, y, z    x, Y, y, z    x, Z, y, z    x, K, y    x, L, y   
y, B    x, C
Allowed substitution hints:    ph( y, z)    A( x)    B( x)    C( y, z)    D( x)    J( z)    K( z)    L( z)

Proof of Theorem cnmpt12
StepHypRef Expression
1 cnmptid.j . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
2 cnmpt12.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
3 cnmpt11.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
4 cnf2 20342 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
51, 2, 3, 4syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
6 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
76fmpt 6058 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  Y  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
85, 7sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  Y )
98r19.21bi 2776 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  Y )
10 cnmpt12.l . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  Z ) )
11 cnmpt1t.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )
12 cnf2 20342 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )  /\  ( x  e.  X  |->  B )  e.  ( J  Cn  L ) )  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
131, 10, 11, 12syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
14 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  |->  B )  =  ( x  e.  X  |->  B )
1514fmpt 6058 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  X  B  e.  Z  <->  ( x  e.  X  |->  B ) : X --> Z )
1613, 15sylibr 217 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  B  e.  Z )
1716r19.21bi 2776 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  B  e.  Z )
189, 17jca 541 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )
)
19 txtopon 20683 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  Z )
)  ->  ( K  tX  L )  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) ) )
202, 10, 19syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) ) )
21 cnmpt12.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )  e.  ( ( K  tX  L
)  Cn  M ) )
22 cntop2 20334 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  Y , 
z  e.  Z  |->  C )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  M )  ->  M  e.  Top )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  Top )
24 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  U. M  =  U. M
2524toptopon 20025 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  Top  <->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
2623, 25sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  (TopOn `  U. M ) )
27 cnf2 20342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  tX  L
)  e.  (TopOn `  ( Y  X.  Z
) )  /\  M  e.  (TopOn `  U. M )  /\  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )  e.  ( ( K  tX  L )  Cn  M
) )  ->  (
y  e.  Y , 
z  e.  Z  |->  C ) : ( Y  X.  Z ) --> U. M )
2820, 26, 21, 27syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) : ( Y  X.  Z ) --> U. M )
29 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )  =  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C )
3029fmpt2 6879 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  Y  A. z  e.  Z  C  e.  U. M  <->  ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) : ( Y  X.  Z
) --> U. M )
3128, 30sylibr 217 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  A. z  e.  Z  C  e.  U. M )
32 r2al 2783 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  Y  A. z  e.  Z  C  e.  U. M  <->  A. y A. z ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M ) )
3331, 32sylib 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y A. z
( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M ) )
3433adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y A. z ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M ) )
35 eleq1 2537 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  Y  <->  A  e.  Y ) )
36 eleq1 2537 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  Z  <->  B  e.  Z ) )
3735, 36bi2anan9 890 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  <->  ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z ) ) )
38 cnmpt12.d . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  C  =  D )
3938eleq1d 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  ( C  e.  U. M 
<->  D  e.  U. M
) )
4037, 39imbi12d 327 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  A  /\  z  =  B )  ->  ( ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M )  <->  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )  ->  D  e.  U. M
) ) )
4140spc2gv 3123 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )  ->  ( A. y A. z ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  C  e.  U. M )  -> 
( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z )  ->  D  e.  U. M ) ) )
4218, 34, 18, 41syl3c 62 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  D  e.  U. M )
4338, 29ovmpt2ga 6445 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  Z  /\  D  e.  U. M )  ->  ( A ( y  e.  Y , 
z  e.  Z  |->  C ) B )  =  D )
449, 17, 42, 43syl3anc 1292 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  ( A ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) B )  =  D )
4544mpteq2dva 4482 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) B ) )  =  ( x  e.  X  |->  D ) )
461, 3, 11, 21cnmpt12f 20758 . 2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  ( A ( y  e.  Y ,  z  e.  Z  |->  C ) B ) )  e.  ( J  Cn  M
) )
4745, 46eqeltrrd 2550 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  D )  e.  ( J  Cn  M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310   Topctop 19994  TopOnctopon 19995    Cn ccn 20317    tX ctx 20652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-map 7492  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cn 20320  df-tx 20654
This theorem is referenced by:  cnmptkk  20775  cnmptk1p  20777  pcocn  22126  pcopt  22131  pcopt2  22132  pcoass  22133  resqrtcn  23768  sqrtcn  23769  rmulccn  28808  pl1cn  28835  cxpcncf2  37875
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