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Theorem cnmpt11 19236
Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmptid.j  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
cnmpt11.a  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmpt11.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
cnmpt11.b  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  B )  e.  ( K  Cn  L ) )
cnmpt11.c  |-  ( y  =  A  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
cnmpt11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, y    ph, x    x, J, y    x, X, y    x, Y, y    x, K, y   
x, L, y    x, B    y, C
Allowed substitution hints:    ph( y)    A( x)    B( y)    C( x)

Proof of Theorem cnmpt11
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
2 cnmptid.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3 cnmpt11.k . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
4 cnmpt11.a . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cnf2 18853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K ) )  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
62, 3, 4, 5syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
7 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  X  |->  A )  =  ( x  e.  X  |->  A )
87fmpt 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  X  A  e.  Y  <->  ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )
96, 8sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A  e.  Y )
109r19.21bi 2814 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A  e.  Y )
117fvmpt2 5781 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x )  =  A )
121, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
)  =  A )
1312fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  B ) `  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  ( ( y  e.  Y  |->  B ) `  A
) )
14 cnmpt11.b . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  B )  e.  ( K  Cn  L ) )
15 cntop2 18845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  Y  |->  B )  e.  ( K  Cn  L )  ->  L  e.  Top )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  L  e.  Top )
17 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. L  =  U. L
1817toptopon 18538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( L  e.  Top  <->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
1916, 18sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  L  e.  (TopOn `  U. L ) )
20 cnf2 18853 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  Y )  /\  L  e.  (TopOn `  U. L )  /\  ( y  e.  Y  |->  B )  e.  ( K  Cn  L
) )  ->  (
y  e.  Y  |->  B ) : Y --> U. L
)
213, 19, 14, 20syl3anc 1218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( y  e.  Y  |->  B ) : Y --> U. L )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Y  |->  B )  =  ( y  e.  Y  |->  B )
2322fmpt 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. y  e.  Y  B  e.  U. L  <->  ( y  e.  Y  |->  B ) : Y --> U. L
)
2421, 23sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. y  e.  Y  B  e.  U. L )
2524adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  A. y  e.  Y  B  e.  U. L )
26 cnmpt11.c . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  B  =  C )
2726eleq1d 2509 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  ( B  e.  U. L  <->  C  e.  U. L ) )
2827rspcv 3069 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Y  ->  ( A. y  e.  Y  B  e.  U. L  ->  C  e.  U. L ) )
2910, 25, 28sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  C  e.  U. L )
3026, 22fvmptg 5772 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Y  /\  C  e.  U. L )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B ) `
 A )  =  C )
3110, 29, 30syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  B ) `  A
)  =  C )
3213, 31eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( y  e.  Y  |->  B ) `  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) )  =  C )
33 fvco3 5768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A ) : X --> Y  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
( y  e.  Y  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) `  x
)  =  ( ( y  e.  Y  |->  B ) `  ( ( x  e.  X  |->  A ) `  x ) ) )
346, 33sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `  x )  =  ( ( y  e.  Y  |->  B ) `  (
( x  e.  X  |->  A ) `  x
) ) )
35 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  X  |->  C )  =  ( x  e.  X  |->  C )
3635fvmpt2 5781 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  C  e.  U. L )  ->  ( ( x  e.  X  |->  C ) `
 x )  =  C )
371, 29, 36syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( x  e.  X  |->  C ) `  x
)  =  C )
3832, 34, 373eqtr4d 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  X )  ->  (
( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  x
) )
3938ralrimiva 2799 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  x ) )
40 nfv 1673 . . . . 5  |-  F/ z ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  x )
41 nfcv 2579 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( y  e.  Y  |->  B )
42 nfmpt1 4381 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  A )
4341, 42nfco 5005 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )
44 nfcv 2579 . . . . . . 7  |-  F/_ x
z
4543, 44nffv 5698 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 z )
46 nfmpt1 4381 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( x  e.  X  |->  C )
4746, 44nffv 5698 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( x  e.  X  |->  C ) `  z )
4845, 47nfeq 2586 . . . . 5  |-  F/ x
( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 z )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z )
49 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `  x )  =  ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `  z ) )
50 fveq2 5691 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( x  e.  X  |->  C ) `  x
)  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z ) )
5149, 50eqeq12d 2457 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  x )  <->  ( (
( y  e.  Y  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) `  z
)  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z ) ) )
5240, 48, 51cbvral 2943 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  (
( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  x
)  <->  A. z  e.  X  ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 z )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z ) )
5339, 52sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  X  ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) `
 z )  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z ) )
54 fco 5568 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  Y  |->  B ) : Y --> U. L  /\  (
x  e.  X  |->  A ) : X --> Y )  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> U. L
)
5521, 6, 54syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) ) : X --> U. L )
56 ffn 5559 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) : X --> U. L  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  Fn  X )
5755, 56syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  Fn  X )
5829, 35fmptd 5867 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C ) : X --> U. L )
59 ffn 5559 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  |->  C ) : X --> U. L  ->  ( x  e.  X  |->  C )  Fn  X
)
6058, 59syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  Fn  X
)
61 eqfnfv 5797 . . . 4  |-  ( ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  Fn  X  /\  ( x  e.  X  |->  C )  Fn  X )  -> 
( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C )  <->  A. z  e.  X  ( (
( y  e.  Y  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) `  z
)  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z ) ) )
6257, 60, 61syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C )  <->  A. z  e.  X  ( (
( y  e.  Y  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) ) `  z
)  =  ( ( x  e.  X  |->  C ) `  z ) ) )
6353, 62mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  =  ( x  e.  X  |->  C ) )
64 cnco 18870 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  X  |->  A )  e.  ( J  Cn  K )  /\  ( y  e.  Y  |->  B )  e.  ( K  Cn  L
) )  ->  (
( y  e.  Y  |->  B )  o.  (
x  e.  X  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  L ) )
654, 14, 64syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  Y  |->  B )  o.  ( x  e.  X  |->  A ) )  e.  ( J  Cn  L
) )
6663, 65eqeltrrd 2518 1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  |->  C )  e.  ( J  Cn  L ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   U.cuni 4091    e. cmpt 4350    o. ccom 4844    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Topctop 18498  TopOnctopon 18499    Cn ccn 18828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216  df-top 18503  df-topon 18506  df-cn 18831
This theorem is referenced by:  cnmpt11f  19237  cnmptkp  19253  cnmptk1  19254  cnmpt1k  19255  ptunhmeo  19381  tmdgsum  19666  icchmeo  20513  evth2  20532  sinccvglem  27317
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