Theorem cnmpt11 20690

Description: The composition of continuous functions is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnmptid.j	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
cnmpt11.a	|- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
cnmpt11.k	|- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
cnmpt11.b	|- ( ph -> ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) )
cnmpt11.c	|- ( y = A -> B = C )

Assertion

Ref	Expression
cnmpt11	|- ( ph -> ( x e. X |-> C ) e. ( J Cn L ) )

Distinct variable groups:   y, A   x, y   ph, x   x, J, y   x, X, y   x, Y, y   x, K, y   x, L, y   x, B   y, C

Allowed substitution hints:   ph( y)   A( x)   B( y)   C( x)

Proof of Theorem cnmpt11

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> x e. X )
2		cnmptid.j	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
3		cnmpt11.k	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> K e. (TopOn ` Y ) )
4		cnmpt11.a	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) )
5		cnf2 20277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ K e. (TopOn ` Y ) /\ ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) ) -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
6	2, 3, 4, 5	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
7		eqid 2453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. X |-> A ) = ( x e. X |-> A )
8	7	fmpt 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. x e. X A e. Y <-> ( x e. X |-> A ) : X --> Y )
9	6, 8	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. X A e. Y )
10	9	r19.21bi 2759	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A e. Y )
11	7	fvmpt2 5962	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. X /\ A e. Y ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
12	1, 10, 11	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> A ) ` x ) = A )
13	12	fveq2d 5874	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = ( ( y e. Y |-> B ) ` A ) )
14		cnmpt11.b	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) )
15		cntop2 20269	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) -> L e. Top )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> L e. Top )
17		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . . 14 |- U. L = U. L
18	17	toptopon 19960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( L e. Top <-> L e. (TopOn ` U. L ) )
19	16, 18	sylib 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> L e. (TopOn ` U. L ) )
20		cnf2 20277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( K e. (TopOn ` Y ) /\ L e. (TopOn ` U. L ) /\ ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) ) -> ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L )
21	3, 19, 14, 20	syl3anc 1269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L )
22		eqid 2453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. Y |-> B ) = ( y e. Y |-> B )
23	22	fmpt 6048	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. Y B e. U. L <-> ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L )
24	21, 23	sylibr 216	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. y e. Y B e. U. L )
25	24	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> A. y e. Y B e. U. L )
26		cnmpt11.c	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = A -> B = C )
27	26	eleq1d 2515	. . . . . . . . . 10 |- ( y = A -> ( B e. U. L <-> C e. U. L ) )
28	27	rspcv 3148	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Y -> ( A. y e. Y B e. U. L -> C e. U. L ) )
29	10, 25, 28	sylc 62	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> C e. U. L )
30	26, 22	fvmptg 5951	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Y /\ C e. U. L ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` A ) = C )
31	10, 29, 30	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` A ) = C )
32	13, 31	eqtrd 2487	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) = C )
33		fvco3 5947	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. X |-> A ) : X --> Y /\ x e. X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) )
34	6, 33	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( y e. Y |-> B ) ` ( ( x e. X |-> A ) ` x ) ) )
35		eqid 2453	. . . . . . . 8 |- ( x e. X |-> C ) = ( x e. X |-> C )
36	35	fvmpt2 5962	. . . . . . 7 |- ( ( x e. X /\ C e. U. L ) -> ( ( x e. X |-> C ) ` x ) = C )
37	1, 29, 36	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( x e. X |-> C ) ` x ) = C )
38	32, 34, 37	3eqtr4d 2497	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) )
39	38	ralrimiva 2804	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) )
40		nfv 1763	. . . . 5 |- F/ z ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x )
41		nfcv 2594	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( y e. Y |-> B )
42		nfmpt1 4495	. . . . . . . 8 |- F/_ x ( x e. X |-> A )
43	41, 42	nfco 5003	. . . . . . 7 |- F/_ x ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) )
44		nfcv 2594	. . . . . . 7 |- F/_ x z
45	43, 44	nffv 5877	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z )
46		nfmpt1 4495	. . . . . . 7 |- F/_ x ( x e. X |-> C )
47	46, 44	nffv 5877	. . . . . 6 |- F/_ x ( ( x e. X |-> C ) ` z )
48	45, 47	nfeq 2605	. . . . 5 |- F/ x ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z )
49		fveq2 5870	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) )
50		fveq2 5870	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( ( x e. X |-> C ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) )
51	49, 50	eqeq12d 2468	. . . . 5 |- ( x = z -> ( ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) <-> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) ) )
52	40, 48, 51	cbvral 3017	. . . 4 |- ( A. x e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` x ) = ( ( x e. X |-> C ) ` x ) <-> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) )
53	39, 52	sylib 200	. . 3 |- ( ph -> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) )
54		fco 5744	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. Y |-> B ) : Y --> U. L /\ ( x e. X |-> A ) : X --> Y ) -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) : X --> U. L )
55	21, 6, 54	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) : X --> U. L )
56		ffn 5733	. . . . 5 |- ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) : X --> U. L -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) Fn X )
57	55, 56	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) Fn X )
58	29, 35	fmptd 6051	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) : X --> U. L )
59		ffn 5733	. . . . 5 |- ( ( x e. X |-> C ) : X --> U. L -> ( x e. X |-> C ) Fn X )
60	58, 59	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) Fn X )
61		eqfnfv 5981	. . . 4 |- ( ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) Fn X /\ ( x e. X |-> C ) Fn X ) -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) <-> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) ) )
62	57, 60, 61	syl2anc 667	. . 3 |- ( ph -> ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) <-> A. z e. X ( ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) ` z ) = ( ( x e. X |-> C ) ` z ) ) )
63	53, 62	mpbird 236	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) = ( x e. X |-> C ) )
64		cnco 20294	. . 3 |- ( ( ( x e. X |-> A ) e. ( J Cn K ) /\ ( y e. Y |-> B ) e. ( K Cn L ) ) -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( J Cn L ) )
65	4, 14, 64	syl2anc 667	. 2 |- ( ph -> ( ( y e. Y |-> B ) o. ( x e. X |-> A ) ) e. ( J Cn L ) )
66	63, 65	eqeltrrd 2532	1 |- ( ph -> ( x e. X |-> C ) e. ( J Cn L ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   A.wral 2739   U.cuni 4201   |-> cmpt 4464   o. ccom 4841   Fn wfn 5580   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Topctop 19929  TopOnctopon 19930   Cn ccn 20252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-ral 2744  df-rex 2745  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-op 3977  df-uni 4202  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-id 4752  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-fv 5593  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7479  df-top 19933  df-topon 19935  df-cn 20255

This theorem is referenced by:  cnmpt11f  20691  cnmptkp  20707  cnmptk1  20708  cnmpt1k  20709  ptunhmeo  20835  tmdgsum  21122  icchmeo  21981  evth2  22000  sinccvglem  30328  poimir  31985  broucube  31986