MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmgpabl Structured version   Unicode version

Theorem cnmgpabl 18275
Description: The unit group of the complex numbers is an abelian group. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmgpabl.m  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
Assertion
Ref Expression
cnmgpabl  |-  M  e. 
Abel

Proof of Theorem cnmgpabl
StepHypRef Expression
1 cncrng 18238 . 2  |-fld  e.  CRing
2 cnfldbas 18223 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3 cnfld0 18241 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` fld )
4 cndrng 18246 . . . 4  |-fld  e.  DivRing
52, 3, 4drngui 17202 . . 3  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
6 cnmgpabl.m . . 3  |-  M  =  ( (mulGrp ` fld )s  ( CC  \  { 0 } ) )
75, 6unitabl 17118 . 2  |-  (fld  e.  CRing  ->  M  e.  Abel )
81, 7ax-mp 5 1  |-  M  e. 
Abel
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    \ cdif 3473   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   0cc0 9492   ↾s cress 14491   Abelcabl 16605  mulGrpcmgp 16943   CRingccrg 17001  ℂfldccnfld 18219
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-cring 17003  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-dvr 17133  df-drng 17198  df-cnfld 18220
This theorem is referenced by:  cnmsubglem  18276  dchrghm  23287
  Copyright terms: Public domain W3C validator