MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmetdval Structured version   Unicode version

Theorem cnmetdval 21008
Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmetdval.1  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
Assertion
Ref Expression
cnmetdval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )

Proof of Theorem cnmetdval
StepHypRef Expression
1 subf 9813 . . 3  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
2 opelxpi 5025 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
3 fvco3 5937 . . 3  |-  ( (  -  : ( CC 
X.  CC ) --> CC 
/\  <. A ,  B >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( abs `  (  -  `  <. A ,  B >. )
) )
41, 2, 3sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( abs `  (  -  `  <. A ,  B >. ) ) )
5 df-ov 6280 . . 3  |-  ( A D B )  =  ( D `  <. A ,  B >. )
6 cnmetdval.1 . . . 4  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
76fveq1i 5860 . . 3  |-  ( D `
 <. A ,  B >. )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )
85, 7eqtri 2491 . 2  |-  ( A D B )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )
9 df-ov 6280 . . 3  |-  ( A  -  B )  =  (  -  `  <. A ,  B >. )
109fveq2i 5862 . 2  |-  ( abs `  ( A  -  B
) )  =  ( abs `  (  -  ` 
<. A ,  B >. ) )
114, 8, 103eqtr4g 2528 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   <.cop 4028    X. cxp 4992    o. ccom 4998   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481    - cmin 9796   abscabs 13019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-ltxr 9624  df-sub 9798
This theorem is referenced by:  cnmet  21009  cnbl0  21011  cnblcld  21012  cnfldnm  21016  remetdval  21024  blcvx  21033  recld2  21049  zdis  21051  reperflem  21053  addcnlem  21098  divcn  21102  cncfmet  21142  cnheibor  21185  cnllycmp  21186  ipcn  21416  lmclim  21471  cncmet  21491  ovolfsval  21612  ellimc3  22013  lhop1lem  22144  ftc1lem6  22172  ulmdvlem1  22524  psercn  22550  pserdvlem2  22552  abelthlem2  22556  abelthlem3  22557  abelthlem5  22559  abelthlem7  22562  abelth  22565  dvlog2lem  22756  efopn  22762  logtayl  22764  logtayl2  22766  cxpcn3  22845  rlimcnp  23018  xrlimcnp  23021  efrlim  23022  ftalem3  23071  smcnlem  25271  hhcnf  26488  tpr2rico  27518  qqhcn  27596  qqhucn  27597  lgamucov  28208  lgamcvg2  28225  ftc1cnnc  29655  cntotbnd  29884  iccbnd  29928  iooabslt  31053  limcrecl  31128  islpcn  31138  stirlinglem5  31335
  Copyright terms: Public domain W3C validator