MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmetdval Structured version   Unicode version

Theorem cnmetdval 20349
Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmetdval.1  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
Assertion
Ref Expression
cnmetdval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )

Proof of Theorem cnmetdval
StepHypRef Expression
1 subf 9611 . . 3  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
2 opelxpi 4870 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
3 fvco3 5767 . . 3  |-  ( (  -  : ( CC 
X.  CC ) --> CC 
/\  <. A ,  B >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( abs `  (  -  `  <. A ,  B >. )
) )
41, 2, 3sylancr 663 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( abs `  (  -  `  <. A ,  B >. ) ) )
5 df-ov 6093 . . 3  |-  ( A D B )  =  ( D `  <. A ,  B >. )
6 cnmetdval.1 . . . 4  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
76fveq1i 5691 . . 3  |-  ( D `
 <. A ,  B >. )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )
85, 7eqtri 2462 . 2  |-  ( A D B )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )
9 df-ov 6093 . . 3  |-  ( A  -  B )  =  (  -  `  <. A ,  B >. )
109fveq2i 5693 . 2  |-  ( abs `  ( A  -  B
) )  =  ( abs `  (  -  ` 
<. A ,  B >. ) )
114, 8, 103eqtr4g 2499 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   <.cop 3882    X. cxp 4837    o. ccom 4843   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279    - cmin 9594   abscabs 12722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-ltxr 9422  df-sub 9596
This theorem is referenced by:  cnmet  20350  cnbl0  20352  cnblcld  20353  cnfldnm  20357  remetdval  20365  blcvx  20374  recld2  20390  zdis  20392  reperflem  20394  addcnlem  20439  divcn  20443  cncfmet  20483  cnheibor  20526  cnllycmp  20527  ipcn  20757  lmclim  20812  cncmet  20832  ovolfsval  20953  ellimc3  21353  lhop1lem  21484  ftc1lem6  21512  ulmdvlem1  21864  psercn  21890  pserdvlem2  21892  abelthlem2  21896  abelthlem3  21897  abelthlem5  21899  abelthlem7  21902  abelth  21905  dvlog2lem  22096  efopn  22102  logtayl  22104  logtayl2  22106  cxpcn3  22185  rlimcnp  22358  xrlimcnp  22361  efrlim  22362  ftalem3  22411  smcnlem  24091  hhcnf  25308  tpr2rico  26341  qqhcn  26419  qqhucn  26420  lgamucov  27023  lgamcvg2  27040  ftc1cnnc  28464  cntotbnd  28693  iccbnd  28737  stirlinglem5  29871
  Copyright terms: Public domain W3C validator