MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmetdval Structured version   Unicode version

Theorem cnmetdval 21363
Description: Value of the distance function of the metric space of complex numbers. (Contributed by NM, 9-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
cnmetdval.1  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
Assertion
Ref Expression
cnmetdval  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )

Proof of Theorem cnmetdval
StepHypRef Expression
1 subf 9735 . . 3  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
2 opelxpi 4945 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( CC  X.  CC ) )
3 fvco3 5851 . . 3  |-  ( (  -  : ( CC 
X.  CC ) --> CC 
/\  <. A ,  B >.  e.  ( CC  X.  CC ) )  ->  (
( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( abs `  (  -  `  <. A ,  B >. )
) )
41, 2, 3sylancr 661 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )  =  ( abs `  (  -  `  <. A ,  B >. ) ) )
5 df-ov 6199 . . 3  |-  ( A D B )  =  ( D `  <. A ,  B >. )
6 cnmetdval.1 . . . 4  |-  D  =  ( abs  o.  -  )
76fveq1i 5775 . . 3  |-  ( D `
 <. A ,  B >. )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )
85, 7eqtri 2411 . 2  |-  ( A D B )  =  ( ( abs  o.  -  ) `  <. A ,  B >. )
9 df-ov 6199 . . 3  |-  ( A  -  B )  =  (  -  `  <. A ,  B >. )
109fveq2i 5777 . 2  |-  ( abs `  ( A  -  B
) )  =  ( abs `  (  -  ` 
<. A ,  B >. ) )
114, 8, 103eqtr4g 2448 1  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A D B )  =  ( abs `  ( A  -  B
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   <.cop 3950    X. cxp 4911    o. ccom 4917   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   CCcc 9401    - cmin 9718   abscabs 13069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-ltxr 9544  df-sub 9720
This theorem is referenced by:  cnmet  21364  cnbl0  21366  cnblcld  21367  cnfldnm  21371  remetdval  21379  blcvx  21388  recld2  21404  zdis  21406  reperflem  21408  addcnlem  21453  divcn  21457  cncfmet  21497  cnheibor  21540  cnllycmp  21541  ipcn  21771  lmclim  21826  cncmet  21846  ovolfsval  21967  ellimc3  22368  lhop1lem  22499  ftc1lem6  22527  ulmdvlem1  22880  psercn  22906  pserdvlem2  22908  abelthlem2  22912  abelthlem3  22913  abelthlem5  22915  abelthlem7  22918  abelth  22921  dvlog2lem  23120  efopn  23126  logtayl  23128  logtayl2  23130  cxpcn3  23209  rlimcnp  23412  xrlimcnp  23415  efrlim  23416  ftalem3  23465  smcnlem  25724  hhcnf  26940  tpr2rico  28048  qqhcn  28125  qqhucn  28126  lgamucov  28769  lgamcvg2  28786  ftc1cnnc  30255  cntotbnd  30458  iccbnd  30502  iooabslt  31698  limcrecl  31801  islpcn  31811  stirlinglem5  32026
  Copyright terms: Public domain W3C validator