Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnmbfm Structured version   Unicode version

Theorem cnmbfm 29093
Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmbfm.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmbfm.2  |-  ( ph  ->  S  =  (sigaGen `  J
) )
cnmbfm.3  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
Assertion
Ref Expression
cnmbfm  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )

Proof of Theorem cnmbfm
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmbfm.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2 eqid 2422 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
3 eqid 2422 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
42, 3cnf 20260 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
51, 4syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  F : U. J --> U. K )
6 cnmbfm.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  (sigaGen `  J
) )
76unieqd 4229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. S  =  U. (sigaGen `  J ) )
8 cntop1 20254 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
9 unisg 28973 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  U. (sigaGen `  J )  =  U. J )
101, 8, 93syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. (sigaGen `  J
)  =  U. J
)
117, 10eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. S  =  U. J )
12 cnmbfm.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
1312unieqd 4229 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. (sigaGen `  K ) )
14 cntop2 20255 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
15 unisg 28973 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  ->  U. (sigaGen `  K )  =  U. K )
161, 14, 153syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. (sigaGen `  K
)  =  U. K
)
1713, 16eqtrd 2463 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. K )
1811, 17feq23d 5741 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F : U. S
--> U. T  <->  F : U. J --> U. K ) )
195, 18mpbird 235 . 2  |-  ( ph  ->  F : U. S --> U. T )
20 sssigagen 28975 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (sigaGen `  J )
)
211, 8, 203syl 18 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  C_  (sigaGen `  J
) )
2221, 6sseqtr4d 3501 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  C_  S )
2322adantr 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  K )  ->  J  C_  S )
24 cnima 20279 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F "
a )  e.  J
)
251, 24sylan 473 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F " a )  e.  J )
2623, 25sseldd 3465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F " a )  e.  S )
2726ralrimiva 2836 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S )
28 elex 3089 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  _V )
291, 14, 283syl 18 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
30 sigagensiga 28971 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (sigaGen `  J )  e.  (sigAlgebra ` 
U. J ) )
311, 8, 303syl 18 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (sigaGen `  J )  e.  (sigAlgebra `  U. J ) )
326, 31eqeltrd 2507 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. J ) )
33 elrnsiga 28956 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. J )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3432, 33syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3529, 34, 12imambfm 29092 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
3619, 27, 35mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   U.cuni 4219   `'ccnv 4852   ran crn 4854   "cima 4856   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Topctop 19915    Cn ccn 20238  sigAlgebracsiga 28937  sigaGencsigagen 28968  MblFnMcmbfm 29080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-ac2 8900
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-iin 4302  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-oi 8034  df-card 8381  df-acn 8384  df-ac 8554  df-cda 8605  df-top 19919  df-topon 19921  df-cn 20241  df-siga 28938  df-sigagen 28969  df-mbfm 29081
This theorem is referenced by:  sxbrsiga  29120  rrvadd  29293  rrvmulc  29294
  Copyright terms: Public domain W3C validator