Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnmbfm Structured version   Unicode version

Theorem cnmbfm 28059
Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmbfm.1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
cnmbfm.2  |-  ( ph  ->  S  =  (sigaGen `  J
) )
cnmbfm.3  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
Assertion
Ref Expression
cnmbfm  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )

Proof of Theorem cnmbfm
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmbfm.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
42, 3cnf 19615 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
51, 4syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  F : U. J --> U. K )
6 cnmbfm.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  (sigaGen `  J
) )
76unieqd 4261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. S  =  U. (sigaGen `  J ) )
8 cntop1 19609 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
9 unisg 27968 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  U. (sigaGen `  J )  =  U. J )
101, 8, 93syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. (sigaGen `  J
)  =  U. J
)
117, 10eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. S  =  U. J )
12 cnmbfm.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  =  (sigaGen `  K
) )
1312unieqd 4261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. (sigaGen `  K ) )
14 cntop2 19610 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
15 unisg 27968 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  ->  U. (sigaGen `  K )  =  U. K )
161, 14, 153syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. (sigaGen `  K
)  =  U. K
)
1713, 16eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. T  =  U. K )
1811, 17feq23d 5732 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F : U. S
--> U. T  <->  F : U. J --> U. K ) )
195, 18mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  F : U. S --> U. T )
20 sssigagen 27970 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  ->  J  C_  (sigaGen `  J )
)
211, 8, 203syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  J  C_  (sigaGen `  J
) )
2221, 6sseqtr4d 3546 . . . . 5  |-  ( ph  ->  J  C_  S )
2322adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  K )  ->  J  C_  S )
24 cnima 19634 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F "
a )  e.  J
)
251, 24sylan 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F " a )  e.  J )
2623, 25sseldd 3510 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  K )  ->  ( `' F " a )  e.  S )
2726ralrimiva 2881 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S )
28 elex 3127 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  _V )
291, 14, 283syl 20 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  _V )
30 sigagensiga 27966 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  (sigaGen `  J )  e.  (sigAlgebra ` 
U. J ) )
311, 8, 303syl 20 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (sigaGen `  J )  e.  (sigAlgebra `  U. J ) )
326, 31eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. J ) )
33 elrnsiga 27951 . . . 4  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. J )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3432, 33syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3529, 34, 12imambfm 28058 . 2  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( SMblFnM T )  <->  ( F : U. S --> U. T  /\  A. a  e.  K  ( `' F " a )  e.  S ) ) )
3619, 27, 35mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( SMblFnM
T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   U.cuni 4251   `'ccnv 5004   ran crn 5006   "cima 5008   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Topctop 19263    Cn ccn 19593  sigAlgebracsiga 27932  sigaGencsigagen 27963  MblFnMcmbfm 28046
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-ac2 8855
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-ac 8509  df-cda 8560  df-top 19268  df-topon 19271  df-cn 19596  df-siga 27933  df-sigagen 27964  df-mbfm 28047
This theorem is referenced by:  sxbrsiga  28086  rrvadd  28216  rrvmulc  28217
  Copyright terms: Public domain W3C validator