Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnmbfm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnmbfm 29158
 Description: A continuous function is measurable with respect to the Borel Algebra of its domain and range. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
cnmbfm.1
cnmbfm.2 sigaGen
cnmbfm.3 sigaGen
Assertion
Ref Expression
cnmbfm MblFnM

Proof of Theorem cnmbfm
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnmbfm.1 . . . 4
2 eqid 2471 . . . . 5
3 eqid 2471 . . . . 5
42, 3cnf 20339 . . . 4
51, 4syl 17 . . 3
6 cnmbfm.2 . . . . . 6 sigaGen
76unieqd 4200 . . . . 5 sigaGen
8 cntop1 20333 . . . . . 6
9 unisg 29039 . . . . . 6 sigaGen
101, 8, 93syl 18 . . . . 5 sigaGen
117, 10eqtrd 2505 . . . 4
12 cnmbfm.3 . . . . . 6 sigaGen
1312unieqd 4200 . . . . 5 sigaGen
14 cntop2 20334 . . . . . 6
15 unisg 29039 . . . . . 6 sigaGen
161, 14, 153syl 18 . . . . 5 sigaGen
1713, 16eqtrd 2505 . . . 4
1811, 17feq23d 5734 . . 3
195, 18mpbird 240 . 2
20 sssigagen 29041 . . . . . . 7 sigaGen
211, 8, 203syl 18 . . . . . 6 sigaGen
2221, 6sseqtr4d 3455 . . . . 5
2322adantr 472 . . . 4
24 cnima 20358 . . . . 5
251, 24sylan 479 . . . 4
2623, 25sseldd 3419 . . 3
2726ralrimiva 2809 . 2
28 elex 3040 . . . 4
291, 14, 283syl 18 . . 3
30 sigagensiga 29037 . . . . . 6 sigaGen sigAlgebra
311, 8, 303syl 18 . . . . 5 sigaGen sigAlgebra
326, 31eqeltrd 2549 . . . 4 sigAlgebra
33 elrnsiga 29022 . . . 4 sigAlgebra sigAlgebra
3432, 33syl 17 . . 3 sigAlgebra
3529, 34, 12imambfm 29157 . 2 MblFnM
3619, 27, 35mpbir2and 936 1 MblFnM
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   wss 3390  cuni 4190  ccnv 4838   crn 4840  cima 4842  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  ctop 19994   ccn 20317  sigAlgebracsiga 29003  sigaGencsigagen 29034  MblFnMcmbfm 29145 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-top 19998  df-topon 20000  df-cn 20320  df-siga 29004  df-sigagen 29035  df-mbfm 29146 This theorem is referenced by:  sxbrsiga  29185  rrvadd  29358  rrvmulc  29359
 Copyright terms: Public domain W3C validator