MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmbf Structured version   Unicode version

Theorem cnmbf 22151
Description: A continuous function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnmbf  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )  ->  F  e. MblFn )

Proof of Theorem cnmbf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 21482 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  F : A
--> CC )
2 mblss 22027 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3 cnex 9484 . . . 4  |-  CC  e.  _V
4 reex 9494 . . . 4  |-  RR  e.  _V
5 elpm2r 7355 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
63, 4, 5mpanl12 680 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
71, 2, 6syl2anr 476 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
8 simpll 751 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )
9 simplr 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
10 recncf 21491 . . . . . . . . 9  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  Re  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
129, 11cncfco 21496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( Re  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> RR ) )
132ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A  C_  RR )
14 ax-resscn 9460 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
1513, 14syl6ss 3429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A  C_  CC )
16 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
17 eqid 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  A )
1816tgioo2 21393 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
1916, 17, 18cncfcn 21498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( A -cn-> RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  A )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
2015, 14, 19sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( A -cn-> RR )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  A )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
21 eqid 2382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
2216, 21rerest 21394 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
2313, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
2423oveq1d 6211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  =  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
2520, 24eqtrd 2423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( A -cn-> RR )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
2612, 25eleqtrd 2472 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( Re  o.  F
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
27 retopbas 21352 . . . . . . . 8  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
28 bastg 19552 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
30 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  x  e.  ran  (,) )
3129, 30sseldi 3415 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
32 cnima 19852 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
3326, 31, 32syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
34 eqid 2382 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)
3534subopnmbl 22098 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol )
368, 33, 35syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
37 imcncf 21492 . . . . . . . . 9  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
3837a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  Im  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
399, 38cncfco 21496 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( Im  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> RR ) )
4039, 25eleqtrd 2472 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( Im  o.  F
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
41 cnima 19852 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
4240, 31, 41syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
4334subopnmbl 22098 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  ( `' ( Im  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol )
448, 42, 43syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
4536, 44jca 530 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
4645ralrimiva 2796 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
47 ismbf1 22118 . 2  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
487, 46, 47sylanbrc 662 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   A.wral 2732   _Vcvv 3034    C_ wss 3389   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   ran crn 4914   "cima 4916    o. ccom 4917   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ^pm cpm 7339   CCcc 9401   RRcr 9402   (,)cioo 11450   Recre 12932   Imcim 12933   ↾t crest 14828   TopOpenctopn 14829   topGenctg 14845  ℂfldccnfld 18533   TopBasesctb 19483    Cn ccn 19811   -cn->ccncf 21465   volcvol 21960  MblFncmbf 22108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-of 6439  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-er 7229  df-map 7340  df-pm 7341  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fi 7786  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-acn 8236  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-ioo 11454  df-ico 11456  df-icc 11457  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-fl 11828  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-rlim 13314  df-sum 13511  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-rest 14830  df-topn 14831  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-cn 19814  df-cnp 19815  df-cmp 19973  df-xms 20908  df-ms 20909  df-cncf 21467  df-ovol 21961  df-vol 21962  df-mbf 22113
This theorem is referenced by:  cniccibl  22332  cnicciblnc  30252  ftc1cnnclem  30254  ftc2nc  30265  cnioobibld  31349  cnbdibl  31927  fourierdlem16  32071  fourierdlem21  32076  fourierdlem22  32077  fourierdlem83  32138
  Copyright terms: Public domain W3C validator