MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnmbf Structured version   Unicode version

Theorem cnmbf 21796
Description: A continuous function is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnmbf  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )  ->  F  e. MblFn )

Proof of Theorem cnmbf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cncff 21127 . . 3  |-  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  ->  F : A
--> CC )
2 mblss 21672 . . 3  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
3 cnex 9564 . . . 4  |-  CC  e.  _V
4 reex 9574 . . . 4  |-  RR  e.  _V
5 elpm2r 7428 . . . 4  |-  ( ( ( CC  e.  _V  /\  RR  e.  _V )  /\  ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm  RR ) )
63, 4, 5mpanl12 682 . . 3  |-  ( ( F : A --> CC  /\  A  C_  RR )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
71, 2, 6syl2anr 478 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )  ->  F  e.  ( CC  ^pm 
RR ) )
8 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A  e.  dom  vol )
9 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
10 recncf 21136 . . . . . . . . 9  |-  Re  e.  ( CC -cn-> RR )
1110a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  Re  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
129, 11cncfco 21141 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( Re  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> RR ) )
132ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A  C_  RR )
14 ax-resscn 9540 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
1513, 14syl6ss 3511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  A  C_  CC )
16 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
17 eqid 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  A )
1816tgioo2 21038 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
1916, 17, 18cncfcn 21143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  ( A -cn-> RR )  =  ( ( ( TopOpen ` fld )t  A )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
2015, 14, 19sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( A -cn-> RR )  =  ( ( (
TopOpen ` fld )t  A )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
21 eqid 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
2216, 21rerest 21039 . . . . . . . . . 10  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( (
TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
2313, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( ( TopOpen ` fld )t  A )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
2423oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( ( ( TopOpen ` fld )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  =  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  A )  Cn  ( topGen `
 ran  (,) )
) )
2520, 24eqtrd 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( A -cn-> RR )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
2612, 25eleqtrd 2552 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( Re  o.  F
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
27 retopbas 20997 . . . . . . . 8  |-  ran  (,)  e. 
TopBases
28 bastg 19229 . . . . . . . 8  |-  ( ran 
(,)  e.  TopBases  ->  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ran  (,)  C_  ( topGen `  ran  (,) )
30 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  x  e.  ran  (,) )
3129, 30sseldi 3497 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )
32 cnima 19527 . . . . . 6  |-  ( ( ( Re  o.  F
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
3326, 31, 32syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
34 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  A
)
3534subopnmbl 21743 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  ( `' ( Re  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol )
368, 33, 35syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' ( Re  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
37 imcncf 21137 . . . . . . . . 9  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
3837a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  Im  e.  ( CC
-cn-> RR ) )
399, 38cncfco 21141 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( Im  o.  F
)  e.  ( A
-cn-> RR ) )
4039, 25eleqtrd 2552 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( Im  o.  F
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) ) )
41 cnima 19527 . . . . . 6  |-  ( ( ( Im  o.  F
)  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
)  Cn  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  /\  x  e.  ( topGen ` 
ran  (,) ) )  -> 
( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
4240, 31, 41syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )
4334subopnmbl 21743 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  ( ( topGen `  ran  (,) )t  A
) )  ->  ( `' ( Im  o.  F ) " x
)  e.  dom  vol )
448, 42, 43syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( `' ( Im  o.  F ) "
x )  e.  dom  vol )
4536, 44jca 532 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  /\  x  e.  ran  (,) )  ->  ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
4645ralrimiva 2873 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )  ->  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
)
47 ismbf1 21763 . 2  |-  ( F  e. MblFn 
<->  ( F  e.  ( CC  ^pm  RR )  /\  A. x  e.  ran  (,) ( ( `' ( Re  o.  F )
" x )  e. 
dom  vol  /\  ( `' ( Im  o.  F
) " x )  e.  dom  vol )
) )
487, 46, 47sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )  ->  F  e. MblFn )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2809   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   `'ccnv 4993   dom cdm 4994   ran crn 4995   "cima 4997    o. ccom 4998   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    ^pm cpm 7413   CCcc 9481   RRcr 9482   (,)cioo 11520   Recre 12882   Imcim 12883   ↾t crest 14667   TopOpenctopn 14668   topGenctg 14684  ℂfldccnfld 18186   TopBasesctb 19160    Cn ccn 19486   -cn->ccncf 21110   volcvol 21605  MblFncmbf 21753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-inf2 8049  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-disj 4413  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-se 4834  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6517  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-fi 7862  df-sup 7892  df-oi 7926  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-10 10593  df-n0 10787  df-z 10856  df-dec 10968  df-uz 11074  df-q 11174  df-rp 11212  df-xneg 11309  df-xadd 11310  df-xmul 11311  df-ioo 11524  df-ico 11526  df-icc 11527  df-fz 11664  df-fzo 11784  df-fl 11888  df-seq 12066  df-exp 12125  df-hash 12363  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-clim 13262  df-rlim 13263  df-sum 13460  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-plusg 14559  df-mulr 14560  df-starv 14561  df-tset 14565  df-ple 14566  df-ds 14568  df-unif 14569  df-rest 14669  df-topn 14670  df-topgen 14690  df-psmet 18177  df-xmet 18178  df-met 18179  df-bl 18180  df-mopn 18181  df-cnfld 18187  df-top 19161  df-bases 19163  df-topon 19164  df-topsp 19165  df-cn 19489  df-cnp 19490  df-cmp 19648  df-xms 20553  df-ms 20554  df-cncf 21112  df-ovol 21606  df-vol 21607  df-mbf 21758
This theorem is referenced by:  cniccibl  21977  cnicciblnc  29652  ftc1cnnclem  29654  ftc2nc  29665  cnioobibld  30777  cnbdibl  31237  fourierdlem16  31380  fourierdlem21  31385  fourierdlem22  31386  fourierdlem83  31447
  Copyright terms: Public domain W3C validator