HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnssadj Structured version   Unicode version

Theorem cnlnssadj 25487
Description: Every continuous linear Hilbert space operator has an adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnlnssadj  |-  ( LinOp  i^i  ConOp )  C_  dom  adjh

Proof of Theorem cnlnssadj
Dummy variables  u  t  v  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadj 25486 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  E. t  e.  (
LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( ( y `
 x )  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `
 z ) ) )
2 df-rex 2724 . . . . 5  |-  ( E. t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) )  <->  E. t
( t  e.  (
LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `
 x )  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `
 z ) ) ) )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  E. t ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) ) ) )
4 inss1 3573 . . . . . . . . . 10  |-  ( LinOp  i^i  ConOp )  C_  LinOp
54sseli 3355 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  y  e.  LinOp )
6 lnopf 25266 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  LinOp  ->  y : ~H
--> ~H )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  y : ~H --> ~H )
87a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) ) )  ->  y : ~H --> ~H ) )
94sseli 3355 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  t  e.  LinOp )
10 lnopf 25266 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  LinOp  ->  t : ~H
--> ~H )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  t : ~H --> ~H )
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  -> 
t : ~H --> ~H )
)
1312adantrd 468 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) ) )  ->  t : ~H --> ~H ) )
14 eqcom 2445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y `  x
)  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `  z
) )  <->  ( x  .ih  ( t `  z
) )  =  ( ( y `  x
)  .ih  z )
)
1514biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y `  x
)  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `  z
) )  ->  (
x  .ih  ( t `  z ) )  =  ( ( y `  x )  .ih  z
) )
1615ralimi 2794 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ~H  (
( y `  x
)  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `  z
) )  ->  A. z  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `  z
) )  =  ( ( y `  x
)  .ih  z )
)
1716ralimi 2794 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `
 x )  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `
 z ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  z ) )  =  ( ( y `  x )  .ih  z
) )
18 adjsym 25240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  y : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 z ) )  =  ( ( y `
 x )  .ih  z )  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  z )
) )
1911, 7, 18syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) )  ->  ( A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  z
) )  =  ( ( y `  x
)  .ih  z )  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  z
) ) )
2017, 19syl5ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) )  ->  ( A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( ( y `
 x )  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `
 z ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  z
) ) )
2120expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  z
) ) )
228, 13, 213jcad 1169 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) ) )  ->  ( y : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  z )
) ) )
23 dfadj2 25292 . . . . . . . 8  |-  adjh  =  { <. u ,  v
>.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  z
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  z )
) }
2423eleq2i 2507 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  t >.  e.  adjh  <->  <. y ,  t
>.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  z ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  z
) ) } )
25 vex 2978 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
26 vex 2978 . . . . . . . 8  |-  t  e. 
_V
27 feq1 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  y  ->  (
u : ~H --> ~H  <->  y : ~H
--> ~H ) )
28 fveq1 5693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  y  ->  (
u `  z )  =  ( y `  z ) )
2928oveq2d 6110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  y  ->  (
x  .ih  ( u `  z ) )  =  ( x  .ih  (
y `  z )
) )
3029eqeq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  y  ->  (
( x  .ih  (
u `  z )
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  z )  <->  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  z )
) )
31302ralbidv 2760 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  y  ->  ( A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  z ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  z
)  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  z
) ) )
3227, 313anbi13d 1291 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  y  ->  (
( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 z ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  z ) )  <->  ( y : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  z )
) ) )
33 feq1 5545 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  t  ->  (
v : ~H --> ~H  <->  t : ~H
--> ~H ) )
34 fveq1 5693 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  t  ->  (
v `  x )  =  ( t `  x ) )
3534oveq1d 6109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  t  ->  (
( v `  x
)  .ih  z )  =  ( ( t `
 x )  .ih  z ) )
3635eqeq2d 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  t  ->  (
( x  .ih  (
y `  z )
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  z )  <->  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  z )
) )
37362ralbidv 2760 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  t  ->  ( A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  z
)  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  z
) ) )
3833, 373anbi23d 1292 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  t  ->  (
( y : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( x  .ih  ( y `
 z ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  z ) )  <->  ( y : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  z )
) ) )
3925, 26, 32, 38opelopab 4613 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  t >.  e.  { <. u ,  v
>.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  z
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  z )
) }  <->  ( y : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  z )
) )
4024, 39bitr2i 250 . . . . . 6  |-  ( ( y : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  z
) )  <->  <. y ,  t >.  e.  adjh )
4122, 40syl6ib 226 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) ) )  ->  <. y ,  t
>.  e.  adjh ) )
4241eximdv 1676 . . . 4  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( E. t
( t  e.  (
LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `
 x )  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `
 z ) ) )  ->  E. t <. y ,  t >.  e.  adjh ) )
433, 42mpd 15 . . 3  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  E. t <. y ,  t >.  e.  adjh )
4425eldm2 5041 . . 3  |-  ( y  e.  dom  adjh  <->  E. t <. y ,  t >.  e.  adjh )
4543, 44sylibr 212 . 2  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  y  e.  dom  adjh )
4645ssriv 3363 1  |-  ( LinOp  i^i  ConOp )  C_  dom  adjh
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2718   E.wrex 2719    i^i cin 3330    C_ wss 3331   <.cop 3886   {copab 4352   dom cdm 4843   -->wf 5417   ` cfv 5421  (class class class)co 6094   ~Hchil 24324    .ih csp 24327   ConOpccop 24351   LinOpclo 24352   adjhcado 24360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4406  ax-sep 4416  ax-nul 4424  ax-pow 4473  ax-pr 4534  ax-un 6375  ax-inf2 7850  ax-cc 8607  ax-cnex 9341  ax-resscn 9342  ax-1cn 9343  ax-icn 9344  ax-addcl 9345  ax-addrcl 9346  ax-mulcl 9347  ax-mulrcl 9348  ax-mulcom 9349  ax-addass 9350  ax-mulass 9351  ax-distr 9352  ax-i2m1 9353  ax-1ne0 9354  ax-1rid 9355  ax-rnegex 9356  ax-rrecex 9357  ax-cnre 9358  ax-pre-lttri 9359  ax-pre-lttrn 9360  ax-pre-ltadd 9361  ax-pre-mulgt0 9362  ax-pre-sup 9363  ax-addf 9364  ax-mulf 9365  ax-hilex 24404  ax-hfvadd 24405  ax-hvcom 24406  ax-hvass 24407  ax-hv0cl 24408  ax-hvaddid 24409  ax-hfvmul 24410  ax-hvmulid 24411  ax-hvmulass 24412  ax-hvdistr1 24413  ax-hvdistr2 24414  ax-hvmul0 24415  ax-hfi 24484  ax-his1 24487  ax-his2 24488  ax-his3 24489  ax-his4 24490  ax-hcompl 24607
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2571  df-ne 2611  df-nel 2612  df-ral 2723  df-rex 2724  df-reu 2725  df-rmo 2726  df-rab 2727  df-v 2977  df-sbc 3190  df-csb 3292  df-dif 3334  df-un 3336  df-in 3338  df-ss 3345  df-pss 3347  df-nul 3641  df-if 3795  df-pw 3865  df-sn 3881  df-pr 3883  df-tp 3885  df-op 3887  df-uni 4095  df-int 4132  df-iun 4176  df-iin 4177  df-br 4296  df-opab 4354  df-mpt 4355  df-tr 4389  df-eprel 4635  df-id 4639  df-po 4644  df-so 4645  df-fr 4682  df-se 4683  df-we 4684  df-ord 4725  df-on 4726  df-lim 4727  df-suc 4728  df-xp 4849  df-rel 4850  df-cnv 4851  df-co 4852  df-dm 4853  df-rn 4854  df-res 4855  df-ima 4856  df-iota 5384  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-riota 6055  df-ov 6097  df-oprab 6098  df-mpt2 6099  df-of 6323  df-om 6480  df-1st 6580  df-2nd 6581  df-supp 6694  df-recs 6835  df-rdg 6869  df-1o 6923  df-2o 6924  df-oadd 6927  df-omul 6928  df-er 7104  df-map 7219  df-pm 7220  df-ixp 7267  df-en 7314  df-dom 7315  df-sdom 7316  df-fin 7317  df-fsupp 7624  df-fi 7664  df-sup 7694  df-oi 7727  df-card 8112  df-acn 8115  df-cda 8340  df-pnf 9423  df-mnf 9424  df-xr 9425  df-ltxr 9426  df-le 9427  df-sub 9600  df-neg 9601  df-div 9997  df-nn 10326  df-2 10383  df-3 10384  df-4 10385  df-5 10386  df-6 10387  df-7 10388  df-8 10389  df-9 10390  df-10 10391  df-n0 10583  df-z 10650  df-dec 10759  df-uz 10865  df-q 10957  df-rp 10995  df-xneg 11092  df-xadd 11093  df-xmul 11094  df-ioo 11307  df-ico 11309  df-icc 11310  df-fz 11441  df-fzo 11552  df-fl 11645  df-seq 11810  df-exp 11869  df-hash 12107  df-cj 12591  df-re 12592  df-im 12593  df-sqr 12727  df-abs 12728  df-clim 12969  df-rlim 12970  df-sum 13167  df-struct 14179  df-ndx 14180  df-slot 14181  df-base 14182  df-sets 14183  df-ress 14184  df-plusg 14254  df-mulr 14255  df-starv 14256  df-sca 14257  df-vsca 14258  df-ip 14259  df-tset 14260  df-ple 14261  df-ds 14263  df-unif 14264  df-hom 14265  df-cco 14266  df-rest 14364  df-topn 14365  df-0g 14383  df-gsum 14384  df-topgen 14385  df-pt 14386  df-prds 14389  df-xrs 14443  df-qtop 14448  df-imas 14449  df-xps 14451  df-mre 14527  df-mrc 14528  df-acs 14530  df-mnd 15418  df-submnd 15468  df-mulg 15551  df-cntz 15838  df-cmn 16282  df-psmet 17812  df-xmet 17813  df-met 17814  df-bl 17815  df-mopn 17816  df-fbas 17817  df-fg 17818  df-cnfld 17822  df-top 18506  df-bases 18508  df-topon 18509  df-topsp 18510  df-cld 18626  df-ntr 18627  df-cls 18628  df-nei 18705  df-cn 18834  df-cnp 18835  df-lm 18836  df-t1 18921  df-haus 18922  df-tx 19138  df-hmeo 19331  df-fil 19422  df-fm 19514  df-flim 19515  df-flf 19516  df-xms 19898  df-ms 19899  df-tms 19900  df-cfil 20769  df-cau 20770  df-cmet 20771  df-grpo 23681  df-gid 23682  df-ginv 23683  df-gdiv 23684  df-ablo 23772  df-subgo 23792  df-vc 23927  df-nv 23973  df-va 23976  df-ba 23977  df-sm 23978  df-0v 23979  df-vs 23980  df-nmcv 23981  df-ims 23982  df-dip 24099  df-ssp 24123  df-ph 24216  df-cbn 24267  df-hnorm 24373  df-hba 24374  df-hvsub 24376  df-hlim 24377  df-hcau 24378  df-sh 24612  df-ch 24627  df-oc 24658  df-ch0 24659  df-shs 24714  df-pjh 24801  df-h0op 25155  df-nmop 25246  df-cnop 25247  df-lnop 25248  df-unop 25250  df-hmop 25251  df-nmfn 25252  df-nlfn 25253  df-cnfn 25254  df-lnfn 25255  df-adjh 25256
This theorem is referenced by:  bdopssadj  25488
  Copyright terms: Public domain W3C validator