HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnssadj Structured version   Unicode version

Theorem cnlnssadj 26822
Description: Every continuous linear Hilbert space operator has an adjoint. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
cnlnssadj  |-  ( LinOp  i^i  ConOp )  C_  dom  adjh

Proof of Theorem cnlnssadj
Dummy variables  u  t  v  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadj 26821 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  E. t  e.  (
LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( ( y `
 x )  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `
 z ) ) )
2 df-rex 2823 . . . . 5  |-  ( E. t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) )  <->  E. t
( t  e.  (
LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `
 x )  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `
 z ) ) ) )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  E. t ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) ) ) )
4 inss1 3723 . . . . . . . . . 10  |-  ( LinOp  i^i  ConOp )  C_  LinOp
54sseli 3505 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  y  e.  LinOp )
6 lnopf 26601 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  LinOp  ->  y : ~H
--> ~H )
75, 6syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  y : ~H --> ~H )
87a1d 25 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) ) )  ->  y : ~H --> ~H ) )
94sseli 3505 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  t  e.  LinOp )
10 lnopf 26601 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  e.  LinOp  ->  t : ~H
--> ~H )
119, 10syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  t : ~H --> ~H )
1211a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  -> 
t : ~H --> ~H )
)
1312adantrd 468 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) ) )  ->  t : ~H --> ~H ) )
14 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y `  x
)  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `  z
) )  <->  ( x  .ih  ( t `  z
) )  =  ( ( y `  x
)  .ih  z )
)
1514biimpi 194 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y `  x
)  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `  z
) )  ->  (
x  .ih  ( t `  z ) )  =  ( ( y `  x )  .ih  z
) )
1615ralimi 2860 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. z  e.  ~H  (
( y `  x
)  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `  z
) )  ->  A. z  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `  z
) )  =  ( ( y `  x
)  .ih  z )
)
1716ralimi 2860 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `
 x )  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `
 z ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  z ) )  =  ( ( y `  x )  .ih  z
) )
18 adjsym 26575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  y : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 z ) )  =  ( ( y `
 x )  .ih  z )  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  z )
) )
1911, 7, 18syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) )  ->  ( A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( t `  z
) )  =  ( ( y `  x
)  .ih  z )  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  z
) ) )
2017, 19syl5ib 219 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) )  ->  ( A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( ( y `
 x )  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `
 z ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  z
) ) )
2120expimpd 603 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  z
) ) )
228, 13, 213jcad 1177 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) ) )  ->  ( y : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  z )
) ) )
23 dfadj2 26627 . . . . . . . 8  |-  adjh  =  { <. u ,  v
>.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  z
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  z )
) }
2423eleq2i 2545 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  t >.  e.  adjh  <->  <. y ,  t
>.  e.  { <. u ,  v >.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  z ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  z
) ) } )
25 vex 3121 . . . . . . . 8  |-  y  e. 
_V
26 vex 3121 . . . . . . . 8  |-  t  e. 
_V
27 feq1 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  y  ->  (
u : ~H --> ~H  <->  y : ~H
--> ~H ) )
28 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  y  ->  (
u `  z )  =  ( y `  z ) )
2928oveq2d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  y  ->  (
x  .ih  ( u `  z ) )  =  ( x  .ih  (
y `  z )
) )
3029eqeq1d 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  y  ->  (
( x  .ih  (
u `  z )
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  z )  <->  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  z )
) )
31302ralbidv 2911 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  y  ->  ( A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( u `  z ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  z
)  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  z
) ) )
3227, 313anbi13d 1301 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  y  ->  (
( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( x  .ih  ( u `
 z ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  z ) )  <->  ( y : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  z )
) ) )
33 feq1 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  t  ->  (
v : ~H --> ~H  <->  t : ~H
--> ~H ) )
34 fveq1 5871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  t  ->  (
v `  x )  =  ( t `  x ) )
3534oveq1d 6310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  t  ->  (
( v `  x
)  .ih  z )  =  ( ( t `
 x )  .ih  z ) )
3635eqeq2d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  t  ->  (
( x  .ih  (
y `  z )
)  =  ( ( v `  x ) 
.ih  z )  <->  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  z )
) )
37362ralbidv 2911 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  t  ->  ( A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( v `  x )  .ih  z
)  <->  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  z
) ) )
3833, 373anbi23d 1302 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  t  ->  (
( y : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( x  .ih  ( y `
 z ) )  =  ( ( v `
 x )  .ih  z ) )  <->  ( y : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  z )
) ) )
3925, 26, 32, 38opelopab 4775 . . . . . . 7  |-  ( <.
y ,  t >.  e.  { <. u ,  v
>.  |  ( u : ~H --> ~H  /\  v : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( u `  z
) )  =  ( ( v `  x
)  .ih  z )
) }  <->  ( y : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e. 
~H  ( x  .ih  ( y `  z
) )  =  ( ( t `  x
)  .ih  z )
) )
4024, 39bitr2i 250 . . . . . 6  |-  ( ( y : ~H --> ~H  /\  t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  (
x  .ih  ( y `  z ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  z
) )  <->  <. y ,  t >.  e.  adjh )
4122, 40syl6ib 226 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `  x )  .ih  z
)  =  ( x 
.ih  ( t `  z ) ) )  ->  <. y ,  t
>.  e.  adjh ) )
4241eximdv 1686 . . . 4  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  ( E. t
( t  e.  (
LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e.  ~H  A. z  e.  ~H  ( ( y `
 x )  .ih  z )  =  ( x  .ih  ( t `
 z ) ) )  ->  E. t <. y ,  t >.  e.  adjh ) )
433, 42mpd 15 . . 3  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  E. t <. y ,  t >.  e.  adjh )
4425eldm2 5207 . . 3  |-  ( y  e.  dom  adjh  <->  E. t <. y ,  t >.  e.  adjh )
4543, 44sylibr 212 . 2  |-  ( y  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  y  e.  dom  adjh )
4645ssriv 3513 1  |-  ( LinOp  i^i  ConOp )  C_  dom  adjh
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818    i^i cin 3480    C_ wss 3481   <.cop 4039   {copab 4510   dom cdm 5005   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   ~Hchil 25659    .ih csp 25662   ConOpccop 25686   LinOpclo 25687   adjhcado 25695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584  ax-hilex 25739  ax-hfvadd 25740  ax-hvcom 25741  ax-hvass 25742  ax-hv0cl 25743  ax-hvaddid 25744  ax-hfvmul 25745  ax-hvmulid 25746  ax-hvmulass 25747  ax-hvdistr1 25748  ax-hvdistr2 25749  ax-hvmul0 25750  ax-hfi 25819  ax-his1 25822  ax-his2 25823  ax-his3 25824  ax-his4 25825  ax-hcompl 25942
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-lm 19598  df-t1 19683  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cfil 21562  df-cau 21563  df-cmet 21564  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gdiv 25019  df-ablo 25107  df-subgo 25127  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-vs 25315  df-nmcv 25316  df-ims 25317  df-dip 25434  df-ssp 25458  df-ph 25551  df-cbn 25602  df-hnorm 25708  df-hba 25709  df-hvsub 25711  df-hlim 25712  df-hcau 25713  df-sh 25947  df-ch 25962  df-oc 25993  df-ch0 25994  df-shs 26049  df-pjh 26136  df-h0op 26490  df-nmop 26581  df-cnop 26582  df-lnop 26583  df-unop 26585  df-hmop 26586  df-nmfn 26587  df-nlfn 26588  df-cnfn 26589  df-lnfn 26590  df-adjh 26591
This theorem is referenced by:  bdopssadj  26823
  Copyright terms: Public domain W3C validator