Theorem cnlnadjlem9 11645

Description: Lemma for cnlnadji 11646. F provides an example showing the existence of a continuous linear adjoint.

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	|- T e. LinOp
cnlnadjlem.2	|- T e. ConOp
cnlnadjlem.3	|- G = {<.g, h>. | (g e. ~H /\ h = ((T` g) .ih y))}
cnlnadjlem.4	|- B = U.{w e. ~H | A.v e. ~H ((T` v) .ih y) = (v .ih w)}
cnlnadjlem.5	|- F = {<.y, u>. | (y e. ~H /\ u = B)}

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem9	|- E.t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. ~H A.z e. ~H ((T` x) .ih z) = (x .ih (t` z))

Distinct variable groups:   g,h,u,v,w,y,z   u,B   w,t,x,z,F   x,v,G,w,z   t,g,x,T,h,u,v,y,w,z

Proof of Theorem cnlnadjlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 2786	. . 3 |- (F e. (LinOp i^i ConOp) <-> (F e. LinOp /\ F e. ConOp))
2		cnlnadjlem.1	. . . 4 |- T e. LinOp
3		cnlnadjlem.2	. . . 4 |- T e. ConOp
4		cnlnadjlem.3	. . . 4 |- G = {<.g, h>. | (g e. ~H /\ h = ((T` g) .ih y))}
5		cnlnadjlem.4	. . . 4 |- B = U.{w e. ~H | A.v e. ~H ((T` v) .ih y) = (v .ih w)}
6		cnlnadjlem.5	. . . 4 |- F = {<.y, u>. | (y e. ~H /\ u = B)}
7	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem6 11642	. . 3 |- F e. LinOp
8	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem8 11644	. . 3 |- F e. ConOp
9	1, 7, 8	mpbir2an 800	. 2 |- F e. (LinOp i^i ConOp)
10	2, 3, 4, 5, 6	cnlnadjlem5 11641	. . . 4 |- ((z e. ~H /\ x e. ~H) -> ((T` x) .ih z) = (x .ih (F` z)))
11	10	ancoms 484	. . 3 |- ((x e. ~H /\ z e. ~H) -> ((T` x) .ih z) = (x .ih (F` z)))
12	11	rgen2a 2160	. 2 |- A.x e. ~H A.z e. ~H ((T` x) .ih z) = (x .ih (F` z))
13		fveq1 4680	. . . . . 6 |- (t = F -> (t` z) = (F` z))
14	13	opreq2d 4898	. . . . 5 |- (t = F -> (x .ih (t` z)) = (x .ih (F` z)))
15	14	eqeq2d 1895	. . . 4 |- (t = F -> (((T` x) .ih z) = (x .ih (t` z)) <-> ((T` x) .ih z) = (x .ih (F` z))))
16	15	2ralbidv 2140	. . 3 |- (t = F -> (A.x e. ~H A.z e. ~H ((T` x) .ih z) = (x .ih (t` z)) <-> A.x e. ~H A.z e. ~H ((T` x) .ih z) = (x .ih (F` z))))
17	16	rcla4ev 2381	. 2 |- ((F e. (LinOp i^i ConOp) /\ A.x e. ~H A.z e. ~H ((T` x) .ih z) = (x .ih (F` z))) -> E.t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. ~H A.z e. ~H ((T` x) .ih z) = (x .ih (t` z)))
18	9, 12, 17	mp2an 761	1 |- E.t e. (LinOp i^i ConOp)A.x e. ~H A.z e. ~H ((T` x) .ih z) = (x .ih (t` z))

Syntax hints:   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108   i^i cin 2592  U.cuni 3177  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  ~Hchil 10420   .ih csp 10425  ConOpcco 10447  LinOpclo 10448

This theorem is referenced by:  cnlnadji 11646

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-h0op 11311  df-nmop 11402  df-cnop 11403  df-lnop 11404  df-unop 11406  df-nmfn 11408  df-nlfn 11409  df-cnfn 11410  df-lnfn 11411

Copyright terms: Public domain