HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem7 Structured version   Unicode version

Theorem cnlnadjlem7 25649
Description: Lemma for cnlnadji 25652. Helper lemma to show that  F is continuous. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadjlem.2  |-  T  e. 
ConOp
cnlnadjlem.3  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
cnlnadjlem.4  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
cnlnadjlem.5  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
Distinct variable groups:    v, g, w, y, A    w, F    T, g, v, w, y   
v, G, w
Allowed substitution hints:    B( y, w, v, g)    F( y, v, g)    G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem7
StepHypRef Expression
1 breq1 4406 . 2  |-  ( (
normh `  ( F `  A ) )  =  0  ->  ( ( normh `  ( F `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) )  <->  0  <_  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
) ) )
2 cnlnadjlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  T  e. 
LinOp
3 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  T  e. 
ConOp
4 cnlnadjlem.3 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
5 cnlnadjlem.4 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
6 cnlnadjlem.5 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
72, 3, 4, 5, 6cnlnadjlem4 25646 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( F `  A )  e.  ~H )
82lnopfi 25545 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
98ffvelrni 5954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  ( T `  ( F `  A ) )  e. 
~H )
107, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( T `  ( F `  A ) )  e. 
~H )
11 hicl 24654 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  ( F `  A )
)  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( F `  A ) )  .ih  A )  e.  CC )
1210, 11mpancom 669 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( T `  ( F `  A )
)  .ih  A )  e.  CC )
1312abscld 13043 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( T `
 ( F `  A ) )  .ih  A ) )  e.  RR )
14 normcl 24699 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  ( F `
 A ) )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  ( F `  A ) ) )  e.  RR )
1510, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  ( F `  A ) ) )  e.  RR )
16 normcl 24699 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
1715, 16remulcld 9528 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
)  e.  RR )
182, 3nmcopexi 25603 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  T )  e.  RR
19 normcl 24699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  e.  RR )
207, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  e.  RR )
21 remulcl 9481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  ( F `  A
) )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  e.  RR )
2218, 20, 21sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  e.  RR )
2322, 16remulcld 9528 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
)  e.  RR )
24 bcs 24755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  ( F `  A )
)  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( T `  ( F `  A )
)  .ih  A )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  ( F `  A ) ) )  x.  ( normh `  A ) ) )
2510, 24mpancom 669 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( T `
 ( F `  A ) )  .ih  A ) )  <_  (
( normh `  ( T `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
) )
26 normge0 24700 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  A )
)
272, 3nmcoplbi 25604 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  ( F `  A ) ) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) ) )
287, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  ( F `  A ) ) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) ) )
2915, 22, 16, 26, 28lemul1ad 10386 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) )
3013, 17, 23, 25, 29letrd 9642 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( T `
 ( F `  A ) )  .ih  A ) )  <_  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
) )
312, 3, 4, 5, 6cnlnadjlem5 25647 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( F `  A )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  ( F `  A ) )  .ih  A )  =  ( ( F `
 A )  .ih  ( F `  A ) ) )
327, 31mpdan 668 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( T `  ( F `  A )
)  .ih  A )  =  ( ( F `
 A )  .ih  ( F `  A ) ) )
3332fveq2d 5806 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( T `
 ( F `  A ) )  .ih  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A ) 
.ih  ( F `  A ) ) ) )
34 hiidrcl 24669 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  (
( F `  A
)  .ih  ( F `  A ) )  e.  RR )
357, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( F `  A
)  .ih  ( F `  A ) )  e.  RR )
36 hiidge0 24672 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  0  <_  ( ( F `  A )  .ih  ( F `  A )
) )
377, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( ( F `  A )  .ih  ( F `  A )
) )
3835, 37absidd 13030 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  .ih  ( F `  A ) ) )  =  ( ( F `  A
)  .ih  ( F `  A ) ) )
39 normsq 24708 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( F `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( F `  A
)  .ih  ( F `  A ) ) )
407, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( F `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( F `  A
)  .ih  ( F `  A ) ) )
4120recnd 9526 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  e.  CC )
4241sqvald 12125 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( F `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( normh `  ( F `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) ) )
4340, 42eqtr3d 2497 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( F `  A
)  .ih  ( F `  A ) )  =  ( ( normh `  ( F `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) ) )
4433, 38, 433eqtrd 2499 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( T `
 ( F `  A ) )  .ih  A ) )  =  ( ( normh `  ( F `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) ) )
4516recnd 9526 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  CC )
4618recni 9512 . . . . . . 7  |-  ( normop `  T )  e.  CC
47 mul32 9650 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normh `  ( F `  A
) )  e.  CC  /\  ( normh `  A )  e.  CC )  ->  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
)  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) ) )
4846, 47mp3an1 1302 . . . . . 6  |-  ( ( ( normh `  ( F `  A ) )  e.  CC  /\  ( normh `  A )  e.  CC )  ->  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  x.  ( normh `  A
) )  =  ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) ) )
4941, 45, 48syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
)  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) ) )
5030, 44, 493brtr3d 4432 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( F `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) ) )
5150adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( F `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) ) )
5220adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  e.  RR )
53 remulcl 9481 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  A )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A ) )  e.  RR )
5418, 16, 53sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  e.  RR )
5554adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  e.  RR )
56 normge0 24700 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( F `  A ) ) )
57 0re 9500 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
58 leltne 9578 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( F `  A ) ) )  ->  ( 0  < 
( normh `  ( F `  A ) )  <->  ( normh `  ( F `  A
) )  =/=  0
) )
5957, 58mp3an1 1302 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  ( F `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( F `  A ) ) )  ->  ( 0  < 
( normh `  ( F `  A ) )  <->  ( normh `  ( F `  A
) )  =/=  0
) )
6019, 56, 59syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  (
0  <  ( normh `  ( F `  A
) )  <->  ( normh `  ( F `  A
) )  =/=  0
) )
6160biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  0  <  ( normh `  ( F `  A ) ) )
627, 61sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  0  <  ( normh `  ( F `  A ) ) )
63 lemul1 10295 . . . 4  |-  ( ( ( normh `  ( F `  A ) )  e.  RR  /\  ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  e.  RR  /\  ( ( normh `  ( F `  A )
)  e.  RR  /\  0  <  ( normh `  ( F `  A )
) ) )  -> 
( ( normh `  ( F `  A )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A ) )  <-> 
( ( normh `  ( F `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) )  <_ 
( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A )
) ) ) )
6452, 55, 52, 62, 63syl112anc 1223 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( F `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) )  <->  ( ( normh `  ( F `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) ) ) )
6551, 64mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
66 nmopge0 25487 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
678, 66ax-mp 5 . . . 4  |-  0  <_  ( normop `  T )
68 mulge0 9971 . . . 4  |-  ( ( ( ( normop `  T
)  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  T
) )  /\  (
( normh `  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  A )
) )  ->  0  <_  ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
6918, 67, 68mpanl12 682 . . 3  |-  ( ( ( normh `  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  A )
)  ->  0  <_  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
) )
7016, 26, 69syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
711, 65, 70pm2.61ne 2767 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529   iota_crio 6163  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396    x. cmul 9401    < clt 9532    <_ cle 9533   2c2 10485   ^cexp 11985   abscabs 12844   ~Hchil 24493    .ih csp 24496   normhcno 24497   normopcnop 24519   ConOpccop 24520   LinOpclo 24521
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cc 8718  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hvcom 24575  ax-hvass 24576  ax-hv0cl 24577  ax-hvaddid 24578  ax-hfvmul 24579  ax-hvmulid 24580  ax-hvmulass 24581  ax-hvdistr1 24582  ax-hvdistr2 24583  ax-hvmul0 24584  ax-hfi 24653  ax-his1 24656  ax-his2 24657  ax-his3 24658  ax-his4 24659  ax-hcompl 24776
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-lm 18968  df-t1 19053  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cfil 20901  df-cau 20902  df-cmet 20903  df-grpo 23850  df-gid 23851  df-ginv 23852  df-gdiv 23853  df-ablo 23941  df-subgo 23961  df-vc 24096  df-nv 24142  df-va 24145  df-ba 24146  df-sm 24147  df-0v 24148  df-vs 24149  df-nmcv 24150  df-ims 24151  df-dip 24268  df-ssp 24292  df-ph 24385  df-cbn 24436  df-hnorm 24542  df-hba 24543  df-hvsub 24545  df-hlim 24546  df-hcau 24547  df-sh 24781  df-ch 24796  df-oc 24827  df-ch0 24828  df-nmop 25415  df-cnop 25416  df-lnop 25417  df-nmfn 25421  df-nlfn 25422  df-cnfn 25423  df-lnfn 25424
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  25650  nmopadjlei  25664
  Copyright terms: Public domain W3C validator