HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem7 Structured version   Unicode version

Theorem cnlnadjlem7 25428
Description: Lemma for cnlnadji 25431. Helper lemma to show that  F is continuous. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadjlem.2  |-  T  e. 
ConOp
cnlnadjlem.3  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
cnlnadjlem.4  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
cnlnadjlem.5  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
Distinct variable groups:    v, g, w, y, A    w, F    T, g, v, w, y   
v, G, w
Allowed substitution hints:    B( y, w, v, g)    F( y, v, g)    G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem7
StepHypRef Expression
1 breq1 4290 . 2  |-  ( (
normh `  ( F `  A ) )  =  0  ->  ( ( normh `  ( F `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) )  <->  0  <_  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
) ) )
2 cnlnadjlem.1 . . . . . . . . . 10  |-  T  e. 
LinOp
3 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . . 10  |-  T  e. 
ConOp
4 cnlnadjlem.3 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
5 cnlnadjlem.4 . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
6 cnlnadjlem.5 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
72, 3, 4, 5, 6cnlnadjlem4 25425 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( F `  A )  e.  ~H )
82lnopfi 25324 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
98ffvelrni 5837 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  ( T `  ( F `  A ) )  e. 
~H )
107, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( T `  ( F `  A ) )  e. 
~H )
11 hicl 24433 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  ( F `  A )
)  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( F `  A ) )  .ih  A )  e.  CC )
1210, 11mpancom 669 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( T `  ( F `  A )
)  .ih  A )  e.  CC )
1312abscld 12914 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( T `
 ( F `  A ) )  .ih  A ) )  e.  RR )
14 normcl 24478 . . . . . . . 8  |-  ( ( T `  ( F `
 A ) )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  ( F `  A ) ) )  e.  RR )
1510, 14syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  ( F `  A ) ) )  e.  RR )
16 normcl 24478 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  RR )
1715, 16remulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
)  e.  RR )
182, 3nmcopexi 25382 . . . . . . . 8  |-  ( normop `  T )  e.  RR
19 normcl 24478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  e.  RR )
207, 19syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  e.  RR )
21 remulcl 9359 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  ( F `  A
) )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  e.  RR )
2218, 20, 21sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  e.  RR )
2322, 16remulcld 9406 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
)  e.  RR )
24 bcs 24534 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T `  ( F `  A )
)  e.  ~H  /\  A  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( T `  ( F `  A )
)  .ih  A )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  ( F `  A ) ) )  x.  ( normh `  A ) ) )
2510, 24mpancom 669 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( T `
 ( F `  A ) )  .ih  A ) )  <_  (
( normh `  ( T `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
) )
26 normge0 24479 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  A )
)
272, 3nmcoplbi 25383 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  ( F `  A ) ) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) ) )
287, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  ( F `  A ) ) )  <_  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) ) )
2915, 22, 16, 26, 28lemul1ad 10264 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( T `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  x.  ( normh `  A
) ) )
3013, 17, 23, 25, 29letrd 9520 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( T `
 ( F `  A ) )  .ih  A ) )  <_  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
) )
312, 3, 4, 5, 6cnlnadjlem5 25426 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( F `  A )  e.  ~H )  -> 
( ( T `  ( F `  A ) )  .ih  A )  =  ( ( F `
 A )  .ih  ( F `  A ) ) )
327, 31mpdan 668 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( T `  ( F `  A )
)  .ih  A )  =  ( ( F `
 A )  .ih  ( F `  A ) ) )
3332fveq2d 5690 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( T `
 ( F `  A ) )  .ih  A ) )  =  ( abs `  ( ( F `  A ) 
.ih  ( F `  A ) ) ) )
34 hiidrcl 24448 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  (
( F `  A
)  .ih  ( F `  A ) )  e.  RR )
357, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( F `  A
)  .ih  ( F `  A ) )  e.  RR )
36 hiidge0 24451 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  0  <_  ( ( F `  A )  .ih  ( F `  A )
) )
377, 36syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( ( F `  A )  .ih  ( F `  A )
) )
3835, 37absidd 12901 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( F `
 A )  .ih  ( F `  A ) ) )  =  ( ( F `  A
)  .ih  ( F `  A ) ) )
39 normsq 24487 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( F `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( F `  A
)  .ih  ( F `  A ) ) )
407, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( F `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( F `  A
)  .ih  ( F `  A ) ) )
4120recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  e.  CC )
4241sqvald 11997 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( F `  A ) ) ^
2 )  =  ( ( normh `  ( F `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) ) )
4340, 42eqtr3d 2472 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( F `  A
)  .ih  ( F `  A ) )  =  ( ( normh `  ( F `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) ) )
4433, 38, 433eqtrd 2474 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( abs `  ( ( T `
 ( F `  A ) )  .ih  A ) )  =  ( ( normh `  ( F `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) ) )
4516recnd 9404 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  A )  e.  CC )
4618recni 9390 . . . . . . 7  |-  ( normop `  T )  e.  CC
47 mul32 9528 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normh `  ( F `  A
) )  e.  CC  /\  ( normh `  A )  e.  CC )  ->  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
)  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) ) )
4846, 47mp3an1 1301 . . . . . 6  |-  ( ( ( normh `  ( F `  A ) )  e.  CC  /\  ( normh `  A )  e.  CC )  ->  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  x.  ( normh `  A
) )  =  ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) ) )
4941, 45, 48syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) )  x.  ( normh `  A )
)  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) ) )
5030, 44, 493brtr3d 4316 . . . 4  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normh `  ( F `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) ) )
5150adantr 465 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( F `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) ) )
5220adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  e.  RR )
53 remulcl 9359 . . . . . 6  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  A )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A ) )  e.  RR )
5418, 16, 53sylancr 663 . . . . 5  |-  ( A  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  e.  RR )
5554adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  e.  RR )
56 normge0 24479 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  ( F `  A ) ) )
57 0re 9378 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
58 leltne 9456 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( F `  A ) ) )  ->  ( 0  < 
( normh `  ( F `  A ) )  <->  ( normh `  ( F `  A
) )  =/=  0
) )
5957, 58mp3an1 1301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( normh `  ( F `  A ) )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  ( F `  A ) ) )  ->  ( 0  < 
( normh `  ( F `  A ) )  <->  ( normh `  ( F `  A
) )  =/=  0
) )
6019, 56, 59syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( F `  A )  e.  ~H  ->  (
0  <  ( normh `  ( F `  A
) )  <->  ( normh `  ( F `  A
) )  =/=  0
) )
6160biimpar 485 . . . . 5  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  0  <  ( normh `  ( F `  A ) ) )
627, 61sylan 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  0  <  ( normh `  ( F `  A ) ) )
63 lemul1 10173 . . . 4  |-  ( ( ( normh `  ( F `  A ) )  e.  RR  /\  ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  e.  RR  /\  ( ( normh `  ( F `  A )
)  e.  RR  /\  0  <  ( normh `  ( F `  A )
) ) )  -> 
( ( normh `  ( F `  A )
)  <_  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A ) )  <-> 
( ( normh `  ( F `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) )  <_ 
( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A )
) ) ) )
6452, 55, 52, 62, 63syl112anc 1222 . . 3  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  (
( normh `  ( F `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) )  <->  ( ( normh `  ( F `  A ) )  x.  ( normh `  ( F `  A ) ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  A )
)  x.  ( normh `  ( F `  A
) ) ) ) )
6551, 64mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  ( normh `  ( F `  A ) )  =/=  0 )  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
66 nmopge0 25266 . . . . 5  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
678, 66ax-mp 5 . . . 4  |-  0  <_  ( normop `  T )
68 mulge0 9849 . . . 4  |-  ( ( ( ( normop `  T
)  e.  RR  /\  0  <_  ( normop `  T
) )  /\  (
( normh `  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  A )
) )  ->  0  <_  ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
6918, 67, 68mpanl12 682 . . 3  |-  ( ( ( normh `  A )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  A )
)  ->  0  <_  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  A )
) )
7016, 26, 69syl2anc 661 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  0  <_  ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
711, 65, 70pm2.61ne 2681 1  |-  ( A  e.  ~H  ->  ( normh `  ( F `  A ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   A.wral 2710   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   -->wf 5409   ` cfv 5413   iota_crio 6046  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411   2c2 10363   ^cexp 11857   abscabs 12715   ~Hchil 24272    .ih csp 24275   normhcno 24276   normopcnop 24298   ConOpccop 24299   LinOpclo 24300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cc 8596  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354  ax-hilex 24352  ax-hfvadd 24353  ax-hvcom 24354  ax-hvass 24355  ax-hv0cl 24356  ax-hvaddid 24357  ax-hfvmul 24358  ax-hvmulid 24359  ax-hvmulass 24360  ax-hvdistr1 24361  ax-hvdistr2 24362  ax-hvmul0 24363  ax-hfi 24432  ax-his1 24435  ax-his2 24436  ax-his3 24437  ax-his4 24438  ax-hcompl 24555
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-lm 18808  df-t1 18893  df-haus 18894  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cfil 20741  df-cau 20742  df-cmet 20743  df-grpo 23629  df-gid 23630  df-ginv 23631  df-gdiv 23632  df-ablo 23720  df-subgo 23740  df-vc 23875  df-nv 23921  df-va 23924  df-ba 23925  df-sm 23926  df-0v 23927  df-vs 23928  df-nmcv 23929  df-ims 23930  df-dip 24047  df-ssp 24071  df-ph 24164  df-cbn 24215  df-hnorm 24321  df-hba 24322  df-hvsub 24324  df-hlim 24325  df-hcau 24326  df-sh 24560  df-ch 24575  df-oc 24606  df-ch0 24607  df-nmop 25194  df-cnop 25195  df-lnop 25196  df-nmfn 25200  df-nlfn 25201  df-cnfn 25202  df-lnfn 25203
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  25429  nmopadjlei  25443
  Copyright terms: Public domain W3C validator