HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem6 Structured version   Unicode version

Theorem cnlnadjlem6 26814
Description: Lemma for cnlnadji 26818. 
F is linear. (Contributed by NM, 17-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadjlem.2  |-  T  e. 
ConOp
cnlnadjlem.3  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
cnlnadjlem.4  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
cnlnadjlem.5  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem6  |-  F  e. 
LinOp
Distinct variable groups:    v, g, w, y    w, F    T, g, v, w, y    v, G, w
Allowed substitution hints:    B( y, w, v, g)    F( y, v, g)    G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem6
Dummy variables  f 
z  t  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.5 . . 3  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
2 cnlnadjlem.1 . . . 4  |-  T  e. 
LinOp
3 cnlnadjlem.2 . . . 4  |-  T  e. 
ConOp
4 cnlnadjlem.3 . . . 4  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
5 cnlnadjlem.4 . . . 4  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
62, 3, 4, 5cnlnadjlem3 26811 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  B  e.  ~H )
71, 6fmpti 6055 . 2  |-  F : ~H
--> ~H
82lnopfi 26711 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
98ffvelrni 6031 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ~H  ->  ( T `  t )  e.  ~H )
109adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( T `  t )  e.  ~H )
11 hvmulcl 25753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  ->  ( x  .h  f
)  e.  ~H )
1211ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
x  .h  f )  e.  ~H )
13 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  z  e.  ~H )
14 his7 25830 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( T `  t
)  e.  ~H  /\  ( x  .h  f
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  t )  .ih  (
( x  .h  f
)  +h  z ) )  =  ( ( ( T `  t
)  .ih  ( x  .h  f ) )  +  ( ( T `  t )  .ih  z
) ) )
1510, 12, 13, 14syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
( T `  t
)  .ih  ( (
x  .h  f )  +h  z ) )  =  ( ( ( T `  t ) 
.ih  ( x  .h  f ) )  +  ( ( T `  t )  .ih  z
) ) )
16 hvaddcl 25752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  f
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  f )  +h  z
)  e.  ~H )
1711, 16sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  f )  +h  z )  e.  ~H )
182, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem5 26813 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  .h  f )  +h  z
)  e.  ~H  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( T `  t )  .ih  (
( x  .h  f
)  +h  z ) )  =  ( t 
.ih  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z
) ) ) )
1917, 18sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
( T `  t
)  .ih  ( (
x  .h  f )  +h  z ) )  =  ( t  .ih  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z ) ) ) )
20 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  x  e.  CC )
219adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( T `  t )  e.  ~H )
22 simplr 754 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  f  e.  ~H )
23 his5 25826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  t )  e.  ~H  /\  f  e.  ~H )  ->  (
( T `  t
)  .ih  ( x  .h  f ) )  =  ( ( * `  x )  x.  (
( T `  t
)  .ih  f )
) )
2420, 21, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 t )  .ih  ( x  .h  f
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( ( T `  t ) 
.ih  f ) ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  t  e.  ~H )
262, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem4 26812 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ~H  ->  ( F `  f )  e.  ~H )
2726ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( F `  f )  e.  ~H )
28 his5 25826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  CC  /\  t  e.  ~H  /\  ( F `  f )  e.  ~H )  ->  (
t  .ih  ( x  .h  ( F `  f
) ) )  =  ( ( * `  x )  x.  (
t  .ih  ( F `  f ) ) ) )
2920, 25, 27, 28syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( t  .ih  ( x  .h  ( F `  f )
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( t 
.ih  ( F `  f ) ) ) )
302, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem5 26813 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  ~H  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( T `  t )  .ih  f
)  =  ( t 
.ih  ( F `  f ) ) )
3130adantll 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 t )  .ih  f )  =  ( t  .ih  ( F `
 f ) ) )
3231oveq2d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( * `
 x )  x.  ( ( T `  t )  .ih  f
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( t 
.ih  ( F `  f ) ) ) )
3329, 32eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( t  .ih  ( x  .h  ( F `  f )
) )  =  ( ( * `  x
)  x.  ( ( T `  t ) 
.ih  f ) ) )
3424, 33eqtr4d 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 t )  .ih  ( x  .h  f
) )  =  ( t  .ih  ( x  .h  ( F `  f ) ) ) )
3534adantlr 714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
( T `  t
)  .ih  ( x  .h  f ) )  =  ( t  .ih  (
x  .h  ( F `
 f ) ) ) )
362, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem5 26813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  t  e.  ~H )  ->  ( ( T `  t )  .ih  z
)  =  ( t 
.ih  ( F `  z ) ) )
3736adantll 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
( T `  t
)  .ih  z )  =  ( t  .ih  ( F `  z ) ) )
3835, 37oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  t )  .ih  (
x  .h  f ) )  +  ( ( T `  t ) 
.ih  z ) )  =  ( ( t 
.ih  ( x  .h  ( F `  f
) ) )  +  ( t  .ih  ( F `  z )
) ) )
39 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  t  e.  ~H )
40 hvmulcl 25753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( F `  f )  e.  ~H )  -> 
( x  .h  ( F `  f )
)  e.  ~H )
4126, 40sylan2 474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  ->  ( x  .h  ( F `  f )
)  e.  ~H )
4241ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
x  .h  ( F `
 f ) )  e.  ~H )
432, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem4 26812 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( F `  z )  e.  ~H )
4443ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  ( F `  z )  e.  ~H )
45 his7 25830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  e.  ~H  /\  ( x  .h  ( F `  f )
)  e.  ~H  /\  ( F `  z )  e.  ~H )  -> 
( t  .ih  (
( x  .h  ( F `  f )
)  +h  ( F `
 z ) ) )  =  ( ( t  .ih  ( x  .h  ( F `  f ) ) )  +  ( t  .ih  ( F `  z ) ) ) )
4639, 42, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
t  .ih  ( (
x  .h  ( F `
 f ) )  +h  ( F `  z ) ) )  =  ( ( t 
.ih  ( x  .h  ( F `  f
) ) )  +  ( t  .ih  ( F `  z )
) ) )
4738, 46eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  t )  .ih  (
x  .h  f ) )  +  ( ( T `  t ) 
.ih  z ) )  =  ( t  .ih  ( ( x  .h  ( F `  f
) )  +h  ( F `  z )
) ) )
4815, 19, 473eqtr3d 2516 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e. 
~H )  /\  z  e.  ~H )  /\  t  e.  ~H )  ->  (
t  .ih  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z
) ) )  =  ( t  .ih  (
( x  .h  ( F `  f )
)  +h  ( F `
 z ) ) ) )
4948ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  A. t  e.  ~H  ( t  .ih  ( F `  ( (
x  .h  f )  +h  z ) ) )  =  ( t 
.ih  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) ) ) )
502, 3, 4, 5, 1cnlnadjlem4 26812 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  f
)  +h  z )  e.  ~H  ->  ( F `  ( (
x  .h  f )  +h  z ) )  e.  ~H )
5117, 50syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z
) )  e.  ~H )
52 hvaddcl 25752 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  .h  ( F `  f )
)  e.  ~H  /\  ( F `  z )  e.  ~H )  -> 
( ( x  .h  ( F `  f
) )  +h  ( F `  z )
)  e.  ~H )
5341, 43, 52syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) )  e.  ~H )
54 hial2eq2 25847 . . . . . 6  |-  ( ( ( F `  (
( x  .h  f
)  +h  z ) )  e.  ~H  /\  ( ( x  .h  ( F `  f
) )  +h  ( F `  z )
)  e.  ~H )  ->  ( A. t  e. 
~H  ( t  .ih  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z ) ) )  =  ( t 
.ih  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) ) )  <->  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( F `  f )
)  +h  ( F `
 z ) ) ) )
5551, 53, 54syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( A. t  e.  ~H  ( t  .ih  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z ) ) )  =  ( t 
.ih  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) ) )  <->  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( F `  f )
)  +h  ( F `
 z ) ) ) )
5649, 55mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z
) )  =  ( ( x  .h  ( F `  f )
)  +h  ( F `
 z ) ) )
5756ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  f  e.  ~H )  ->  A. z  e.  ~H  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) ) )
5857rgen2 2892 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. f  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) )
59 ellnop 26600 . 2  |-  ( F  e.  LinOp 
<->  ( F : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  CC  A. f  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( F `  ( ( x  .h  f )  +h  z ) )  =  ( ( x  .h  ( F `  f ) )  +h  ( F `  z
) ) ) )
607, 58, 59mpbir2an 918 1  |-  F  e. 
LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817    |-> cmpt 4511   -->wf 5590   ` cfv 5594   iota_crio 6255  (class class class)co 6295   CCcc 9502    + caddc 9507    x. cmul 9509   *ccj 12909   ~Hchil 25659    +h cva 25660    .h csm 25661    .ih csp 25662   ConOpccop 25686   LinOpclo 25687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584  ax-hilex 25739  ax-hfvadd 25740  ax-hvcom 25741  ax-hvass 25742  ax-hv0cl 25743  ax-hvaddid 25744  ax-hfvmul 25745  ax-hvmulid 25746  ax-hvmulass 25747  ax-hvdistr1 25748  ax-hvdistr2 25749  ax-hvmul0 25750  ax-hfi 25819  ax-his1 25822  ax-his2 25823  ax-his3 25824  ax-his4 25825  ax-hcompl 25942
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-lm 19598  df-t1 19683  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cfil 21562  df-cau 21563  df-cmet 21564  df-grpo 25016  df-gid 25017  df-ginv 25018  df-gdiv 25019  df-ablo 25107  df-subgo 25127  df-vc 25262  df-nv 25308  df-va 25311  df-ba 25312  df-sm 25313  df-0v 25314  df-vs 25315  df-nmcv 25316  df-ims 25317  df-dip 25434  df-ssp 25458  df-ph 25551  df-cbn 25602  df-hnorm 25708  df-hba 25709  df-hvsub 25711  df-hlim 25712  df-hcau 25713  df-sh 25947  df-ch 25962  df-oc 25993  df-ch0 25994  df-nmop 26581  df-cnop 26582  df-lnop 26583  df-nmfn 26587  df-nlfn 26588  df-cnfn 26589  df-lnfn 26590
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem8  26816  cnlnadjlem9  26817
  Copyright terms: Public domain W3C validator