HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem5 Structured version   Unicode version

Theorem cnlnadjlem5 27659
Description: Lemma for cnlnadji 27664. 
F is an adjoint of  T (later, we will show it is unique). (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadjlem.2  |-  T  e. 
ConOp
cnlnadjlem.3  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
cnlnadjlem.4  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
cnlnadjlem.5  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( T `  C )  .ih  A
)  =  ( C 
.ih  ( F `  A ) ) )
Distinct variable groups:    v, g, w, y, A    w, F    T, g, v, w, y   
v, G, w
Allowed substitution hints:    B( y, w, v, g)    C( y, w, v, g)    F( y, v, g)    G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem5
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2563 . . 3  |-  F/_ y A
2 nfcv 2563 . . . 4  |-  F/_ y ~H
3 nfcv 2563 . . . . . 6  |-  F/_ y
f
4 nfcv 2563 . . . . . 6  |-  F/_ y  .ih
5 cnlnadjlem.5 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
6 nfmpt1 4449 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( y  e.  ~H  |->  B )
75, 6nfcxfr 2561 . . . . . . 7  |-  F/_ y F
87, 1nffv 5825 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  A
)
93, 4, 8nfov 6268 . . . . 5  |-  F/_ y
( f  .ih  ( F `  A )
)
109nfeq2 2578 . . . 4  |-  F/ y ( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )
112, 10nfral 2745 . . 3  |-  F/ y A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )
12 oveq2 6250 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( T `  f
)  .ih  y )  =  ( ( T `
 f )  .ih  A ) )
13 fveq2 5818 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
1413oveq2d 6258 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
f  .ih  ( F `  y ) )  =  ( f  .ih  ( F `  A )
) )
1512, 14eqeq12d 2437 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  ( F `  y ) )  <->  ( ( T `  f )  .ih  A )  =  ( f  .ih  ( F `
 A ) ) ) )
1615ralbidv 2798 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  ( F `  y ) )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  A )  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) ) ) )
17 cnlnadjlem.4 . . . . . . 7  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
18 riotaex 6208 . . . . . . 7  |-  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )  e.  _V
1917, 18eqeltri 2496 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
205fvmpt2 5910 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  B  e.  _V )  ->  ( F `  y
)  =  B )
2119, 20mpan2 675 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( F `  y )  =  B )
22 fveq2 5818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  f  ->  ( T `  v )  =  ( T `  f ) )
2322oveq1d 6257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  f  ->  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( ( T `
 f )  .ih  y ) )
24 oveq1 6249 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  f  ->  (
v  .ih  w )  =  ( f  .ih  w ) )
2523, 24eqeq12d 2437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  f  ->  (
( ( T `  v )  .ih  y
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  ( ( T `  f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) ) )
2625cbvralv 2990 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( A. v  e.  ~H  ( ( T `  v )  .ih  y
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) ) )
28 cnlnadjlem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  e. 
LinOp
29 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  e. 
ConOp
30 cnlnadjlem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
3128, 29, 30cnlnadjlem1 27655 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ~H  ->  ( G `  f )  =  ( ( T `
 f )  .ih  y ) )
3231eqeq1d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ~H  ->  (
( G `  f
)  =  ( f 
.ih  w )  <->  ( ( T `  f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) ) )
3332ralbiia 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) )
3427, 33syl6bbr 266 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( A. v  e.  ~H  ( ( T `  v )  .ih  y
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) ) )
3534riotabiia 6221 . . . . . . 7  |-  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )
3617, 35eqtri 2444 . . . . . 6  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )
3728, 29, 30cnlnadjlem2 27656 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
38 elin 3585 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
3937, 38sylibr 215 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  G  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) )
40 riesz4 27652 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  E! w  e. 
~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )
41 riotacl2 6217 . . . . . . 7  |-  ( E! w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w )  ->  ( iota_ w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )  e. 
{ w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
4239, 40, 413syl 18 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( iota_ w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )  e. 
{ w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
4336, 42syl5eqel 2504 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  B  e.  { w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
4421, 43eqeltrd 2500 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( F `  y )  e.  { w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
45 oveq2 6250 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  (
f  .ih  w )  =  ( f  .ih  ( F `  y ) ) )
4645eqeq2d 2432 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  (
( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  w )  <->  ( ( T `  f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
4746ralbidv 2798 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  ( A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
4833, 47syl5bb 260 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  ( A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
4948elrab 3164 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  e.  { w  e. 
~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) }  <->  ( ( F `
 y )  e. 
~H  /\  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
5049simprbi 465 . . . 4  |-  ( ( F `  y )  e.  { w  e. 
~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) }  ->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) )
5144, 50syl 17 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) )
521, 11, 16, 51vtoclgaf 3080 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  A )  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) ) )
53 fveq2 5818 . . . . 5  |-  ( f  =  C  ->  ( T `  f )  =  ( T `  C ) )
5453oveq1d 6257 . . . 4  |-  ( f  =  C  ->  (
( T `  f
)  .ih  A )  =  ( ( T `
 C )  .ih  A ) )
55 oveq1 6249 . . . 4  |-  ( f  =  C  ->  (
f  .ih  ( F `  A ) )  =  ( C  .ih  ( F `  A )
) )
5654, 55eqeq12d 2437 . . 3  |-  ( f  =  C  ->  (
( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )  <->  ( ( T `  C )  .ih  A )  =  ( C  .ih  ( F `
 A ) ) ) )
5756rspccva 3117 . 2  |-  ( ( A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( T `  C )  .ih  A
)  =  ( C 
.ih  ( F `  A ) ) )
5852, 57sylan 473 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( T `  C )  .ih  A
)  =  ( C 
.ih  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2708   E!wreu 2710   {crab 2712   _Vcvv 3016    i^i cin 3371    |-> cmpt 4418   ` cfv 5537   iota_crio 6203  (class class class)co 6242   ~Hchil 26507    .ih csp 26510   ConOpccop 26534   LinOpclo 26535   ConFnccnfn 26541   LinFnclf 26542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2058  ax-ext 2402  ax-rep 4472  ax-sep 4482  ax-nul 4491  ax-pow 4538  ax-pr 4596  ax-un 6534  ax-inf2 8092  ax-cc 8809  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561  ax-addf 9562  ax-mulf 9563  ax-hilex 26587  ax-hfvadd 26588  ax-hvcom 26589  ax-hvass 26590  ax-hv0cl 26591  ax-hvaddid 26592  ax-hfvmul 26593  ax-hvmulid 26594  ax-hvmulass 26595  ax-hvdistr1 26596  ax-hvdistr2 26597  ax-hvmul0 26598  ax-hfi 26667  ax-his1 26670  ax-his2 26671  ax-his3 26672  ax-his4 26673  ax-hcompl 26790
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2552  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2713  df-rex 2714  df-reu 2715  df-rmo 2716  df-rab 2717  df-v 3018  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3698  df-if 3848  df-pw 3919  df-sn 3935  df-pr 3937  df-tp 3939  df-op 3941  df-uni 4156  df-int 4192  df-iun 4237  df-iin 4238  df-br 4360  df-opab 4419  df-mpt 4420  df-tr 4455  df-eprel 4700  df-id 4704  df-po 4710  df-so 4711  df-fr 4748  df-se 4749  df-we 4750  df-xp 4795  df-rel 4796  df-cnv 4797  df-co 4798  df-dm 4799  df-rn 4800  df-res 4801  df-ima 4802  df-pred 5335  df-ord 5381  df-on 5382  df-lim 5383  df-suc 5384  df-iota 5501  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-isom 5546  df-riota 6204  df-ov 6245  df-oprab 6246  df-mpt2 6247  df-of 6482  df-om 6644  df-1st 6744  df-2nd 6745  df-supp 6863  df-wrecs 6976  df-recs 7038  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7471  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7902  df-inf 7903  df-oi 7971  df-card 8318  df-acn 8321  df-cda 8542  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10214  df-nn 10554  df-2 10612  df-3 10613  df-4 10614  df-5 10615  df-6 10616  df-7 10617  df-8 10618  df-9 10619  df-10 10620  df-n0 10814  df-z 10882  df-dec 10996  df-uz 11104  df-q 11209  df-rp 11247  df-xneg 11353  df-xadd 11354  df-xmul 11355  df-ioo 11583  df-ico 11585  df-icc 11586  df-fz 11729  df-fzo 11860  df-fl 11971  df-seq 12157  df-exp 12216  df-hash 12459  df-cj 13099  df-re 13100  df-im 13101  df-sqrt 13235  df-abs 13236  df-clim 13488  df-rlim 13489  df-sum 13689  df-struct 15059  df-ndx 15060  df-slot 15061  df-base 15062  df-sets 15063  df-ress 15064  df-plusg 15139  df-mulr 15140  df-starv 15141  df-sca 15142  df-vsca 15143  df-ip 15144  df-tset 15145  df-ple 15146  df-ds 15148  df-unif 15149  df-hom 15150  df-cco 15151  df-rest 15257  df-topn 15258  df-0g 15276  df-gsum 15277  df-topgen 15278  df-pt 15279  df-prds 15282  df-xrs 15336  df-qtop 15342  df-imas 15343  df-xps 15346  df-mre 15428  df-mrc 15429  df-acs 15431  df-mgm 16424  df-sgrp 16463  df-mnd 16473  df-submnd 16519  df-mulg 16612  df-cntz 16907  df-cmn 17368  df-psmet 18898  df-xmet 18899  df-met 18900  df-bl 18901  df-mopn 18902  df-fbas 18903  df-fg 18904  df-cnfld 18907  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-lm 20180  df-t1 20265  df-haus 20266  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cfil 22160  df-cau 22161  df-cmet 22162  df-grpo 25854  df-gid 25855  df-ginv 25856  df-gdiv 25857  df-ablo 25945  df-subgo 25965  df-vc 26100  df-nv 26146  df-va 26149  df-ba 26150  df-sm 26151  df-0v 26152  df-vs 26153  df-nmcv 26154  df-ims 26155  df-dip 26272  df-ssp 26296  df-ph 26389  df-cbn 26440  df-hnorm 26556  df-hba 26557  df-hvsub 26559  df-hlim 26560  df-hcau 26561  df-sh 26795  df-ch 26809  df-oc 26840  df-ch0 26841  df-nmop 27427  df-cnop 27428  df-lnop 27429  df-nmfn 27433  df-nlfn 27434  df-cnfn 27435  df-lnfn 27436
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem6  27660  cnlnadjlem7  27661  cnlnadjlem9  27663
  Copyright terms: Public domain W3C validator