HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem5 Structured version   Unicode version

Theorem cnlnadjlem5 25494
Description: Lemma for cnlnadji 25499. 
F is an adjoint of  T (later, we will show it is unique). (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadjlem.2  |-  T  e. 
ConOp
cnlnadjlem.3  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
cnlnadjlem.4  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
cnlnadjlem.5  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( T `  C )  .ih  A
)  =  ( C 
.ih  ( F `  A ) ) )
Distinct variable groups:    v, g, w, y, A    w, F    T, g, v, w, y   
v, G, w
Allowed substitution hints:    B( y, w, v, g)    C( y, w, v, g)    F( y, v, g)    G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem5
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2589 . . 3  |-  F/_ y A
2 nfcv 2589 . . . 4  |-  F/_ y ~H
3 nfcv 2589 . . . . . 6  |-  F/_ y
f
4 nfcv 2589 . . . . . 6  |-  F/_ y  .ih
5 cnlnadjlem.5 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
6 nfmpt1 4400 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( y  e.  ~H  |->  B )
75, 6nfcxfr 2587 . . . . . . 7  |-  F/_ y F
87, 1nffv 5717 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  A
)
93, 4, 8nfov 6133 . . . . 5  |-  F/_ y
( f  .ih  ( F `  A )
)
109nfeq2 2605 . . . 4  |-  F/ y ( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )
112, 10nfral 2788 . . 3  |-  F/ y A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )
12 oveq2 6118 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( T `  f
)  .ih  y )  =  ( ( T `
 f )  .ih  A ) )
13 fveq2 5710 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
1413oveq2d 6126 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
f  .ih  ( F `  y ) )  =  ( f  .ih  ( F `  A )
) )
1512, 14eqeq12d 2457 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  ( F `  y ) )  <->  ( ( T `  f )  .ih  A )  =  ( f  .ih  ( F `
 A ) ) ) )
1615ralbidv 2754 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  ( F `  y ) )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  A )  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) ) ) )
17 cnlnadjlem.4 . . . . . . 7  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
18 riotaex 6075 . . . . . . 7  |-  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )  e.  _V
1917, 18eqeltri 2513 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
205fvmpt2 5800 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  B  e.  _V )  ->  ( F `  y
)  =  B )
2119, 20mpan2 671 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( F `  y )  =  B )
22 fveq2 5710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  f  ->  ( T `  v )  =  ( T `  f ) )
2322oveq1d 6125 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  f  ->  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( ( T `
 f )  .ih  y ) )
24 oveq1 6117 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  f  ->  (
v  .ih  w )  =  ( f  .ih  w ) )
2523, 24eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  f  ->  (
( ( T `  v )  .ih  y
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  ( ( T `  f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) ) )
2625cbvralv 2966 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( A. v  e.  ~H  ( ( T `  v )  .ih  y
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) ) )
28 cnlnadjlem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  e. 
LinOp
29 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  e. 
ConOp
30 cnlnadjlem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
3128, 29, 30cnlnadjlem1 25490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ~H  ->  ( G `  f )  =  ( ( T `
 f )  .ih  y ) )
3231eqeq1d 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ~H  ->  (
( G `  f
)  =  ( f 
.ih  w )  <->  ( ( T `  f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) ) )
3332ralbiia 2766 . . . . . . . . 9  |-  ( A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) )
3427, 33syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( A. v  e.  ~H  ( ( T `  v )  .ih  y
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) ) )
3534riotabiia 6089 . . . . . . 7  |-  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )
3617, 35eqtri 2463 . . . . . 6  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )
3728, 29, 30cnlnadjlem2 25491 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
38 elin 3558 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
3937, 38sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  G  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) )
40 riesz4 25487 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  E! w  e. 
~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )
41 riotacl2 6085 . . . . . . 7  |-  ( E! w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w )  ->  ( iota_ w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )  e. 
{ w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
4239, 40, 413syl 20 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( iota_ w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )  e. 
{ w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
4336, 42syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  B  e.  { w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
4421, 43eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( F `  y )  e.  { w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
45 oveq2 6118 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  (
f  .ih  w )  =  ( f  .ih  ( F `  y ) ) )
4645eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  (
( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  w )  <->  ( ( T `  f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
4746ralbidv 2754 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  ( A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
4833, 47syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  ( A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
4948elrab 3136 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  e.  { w  e. 
~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) }  <->  ( ( F `
 y )  e. 
~H  /\  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
5049simprbi 464 . . . 4  |-  ( ( F `  y )  e.  { w  e. 
~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) }  ->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) )
5144, 50syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) )
521, 11, 16, 51vtoclgaf 3054 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  A )  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) ) )
53 fveq2 5710 . . . . 5  |-  ( f  =  C  ->  ( T `  f )  =  ( T `  C ) )
5453oveq1d 6125 . . . 4  |-  ( f  =  C  ->  (
( T `  f
)  .ih  A )  =  ( ( T `
 C )  .ih  A ) )
55 oveq1 6117 . . . 4  |-  ( f  =  C  ->  (
f  .ih  ( F `  A ) )  =  ( C  .ih  ( F `  A )
) )
5654, 55eqeq12d 2457 . . 3  |-  ( f  =  C  ->  (
( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )  <->  ( ( T `  C )  .ih  A )  =  ( C  .ih  ( F `
 A ) ) ) )
5756rspccva 3091 . 2  |-  ( ( A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( T `  C )  .ih  A
)  =  ( C 
.ih  ( F `  A ) ) )
5852, 57sylan 471 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( T `  C )  .ih  A
)  =  ( C 
.ih  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   E!wreu 2736   {crab 2738   _Vcvv 2991    i^i cin 3346    e. cmpt 4369   ` cfv 5437   iota_crio 6070  (class class class)co 6110   ~Hchil 24340    .ih csp 24343   ConOpccop 24367   LinOpclo 24368   ConFnccnfn 24374   LinFnclf 24375
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cc 8623  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380  ax-mulf 9381  ax-hilex 24420  ax-hfvadd 24421  ax-hvcom 24422  ax-hvass 24423  ax-hv0cl 24424  ax-hvaddid 24425  ax-hfvmul 24426  ax-hvmulid 24427  ax-hvmulass 24428  ax-hvdistr1 24429  ax-hvdistr2 24430  ax-hvmul0 24431  ax-hfi 24500  ax-his1 24503  ax-his2 24504  ax-his3 24505  ax-his4 24506  ax-hcompl 24623
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-iin 4193  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-omul 6944  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-acn 8131  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-clim 12985  df-rlim 12986  df-sum 13183  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-hom 14281  df-cco 14282  df-rest 14380  df-topn 14381  df-0g 14399  df-gsum 14400  df-topgen 14401  df-pt 14402  df-prds 14405  df-xrs 14459  df-qtop 14464  df-imas 14465  df-xps 14467  df-mre 14543  df-mrc 14544  df-acs 14546  df-mnd 15434  df-submnd 15484  df-mulg 15567  df-cntz 15854  df-cmn 16298  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-fbas 17833  df-fg 17834  df-cnfld 17838  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-topsp 18526  df-cld 18642  df-ntr 18643  df-cls 18644  df-nei 18721  df-cn 18850  df-cnp 18851  df-lm 18852  df-t1 18937  df-haus 18938  df-tx 19154  df-hmeo 19347  df-fil 19438  df-fm 19530  df-flim 19531  df-flf 19532  df-xms 19914  df-ms 19915  df-tms 19916  df-cfil 20785  df-cau 20786  df-cmet 20787  df-grpo 23697  df-gid 23698  df-ginv 23699  df-gdiv 23700  df-ablo 23788  df-subgo 23808  df-vc 23943  df-nv 23989  df-va 23992  df-ba 23993  df-sm 23994  df-0v 23995  df-vs 23996  df-nmcv 23997  df-ims 23998  df-dip 24115  df-ssp 24139  df-ph 24232  df-cbn 24283  df-hnorm 24389  df-hba 24390  df-hvsub 24392  df-hlim 24393  df-hcau 24394  df-sh 24628  df-ch 24643  df-oc 24674  df-ch0 24675  df-nmop 25262  df-cnop 25263  df-lnop 25264  df-nmfn 25268  df-nlfn 25269  df-cnfn 25270  df-lnfn 25271
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem6  25495  cnlnadjlem7  25496  cnlnadjlem9  25498
  Copyright terms: Public domain W3C validator