HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjlem5 Structured version   Unicode version

Theorem cnlnadjlem5 27116
Description: Lemma for cnlnadji 27121. 
F is an adjoint of  T (later, we will show it is unique). (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadjlem.2  |-  T  e. 
ConOp
cnlnadjlem.3  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
cnlnadjlem.4  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
cnlnadjlem.5  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem5  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( T `  C )  .ih  A
)  =  ( C 
.ih  ( F `  A ) ) )
Distinct variable groups:    v, g, w, y, A    w, F    T, g, v, w, y   
v, G, w
Allowed substitution hints:    B( y, w, v, g)    C( y, w, v, g)    F( y, v, g)    G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem5
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2619 . . 3  |-  F/_ y A
2 nfcv 2619 . . . 4  |-  F/_ y ~H
3 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ y
f
4 nfcv 2619 . . . . . 6  |-  F/_ y  .ih
5 cnlnadjlem.5 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( y  e.  ~H  |->  B )
6 nfmpt1 4546 . . . . . . . 8  |-  F/_ y
( y  e.  ~H  |->  B )
75, 6nfcxfr 2617 . . . . . . 7  |-  F/_ y F
87, 1nffv 5879 . . . . . 6  |-  F/_ y
( F `  A
)
93, 4, 8nfov 6322 . . . . 5  |-  F/_ y
( f  .ih  ( F `  A )
)
109nfeq2 2636 . . . 4  |-  F/ y ( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )
112, 10nfral 2843 . . 3  |-  F/ y A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )
12 oveq2 6304 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
( T `  f
)  .ih  y )  =  ( ( T `
 f )  .ih  A ) )
13 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
1413oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
f  .ih  ( F `  y ) )  =  ( f  .ih  ( F `  A )
) )
1512, 14eqeq12d 2479 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  ( F `  y ) )  <->  ( ( T `  f )  .ih  A )  =  ( f  .ih  ( F `
 A ) ) ) )
1615ralbidv 2896 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  ( A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  ( F `  y ) )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  A )  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) ) ) )
17 cnlnadjlem.4 . . . . . . 7  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )
18 riotaex 6262 . . . . . . 7  |-  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )  e.  _V
1917, 18eqeltri 2541 . . . . . 6  |-  B  e. 
_V
205fvmpt2 5964 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  B  e.  _V )  ->  ( F `  y
)  =  B )
2119, 20mpan2 671 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( F `  y )  =  B )
22 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  f  ->  ( T `  v )  =  ( T `  f ) )
2322oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  f  ->  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( ( T `
 f )  .ih  y ) )
24 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  f  ->  (
v  .ih  w )  =  ( f  .ih  w ) )
2523, 24eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  =  f  ->  (
( ( T `  v )  .ih  y
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  ( ( T `  f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) ) )
2625cbvralv 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. v  e.  ~H  (
( T `  v
)  .ih  y )  =  ( v  .ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) )
2726a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( A. v  e.  ~H  ( ( T `  v )  .ih  y
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) ) )
28 cnlnadjlem.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  e. 
LinOp
29 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  T  e. 
ConOp
30 cnlnadjlem.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
3128, 29, 30cnlnadjlem1 27112 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  ~H  ->  ( G `  f )  =  ( ( T `
 f )  .ih  y ) )
3231eqeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  ~H  ->  (
( G `  f
)  =  ( f 
.ih  w )  <->  ( ( T `  f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) ) )
3332ralbiia 2887 . . . . . . . . 9  |-  ( A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  w ) )
3427, 33syl6bbr 263 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( A. v  e.  ~H  ( ( T `  v )  .ih  y
)  =  ( v 
.ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) ) )
3534riotabiia 6275 . . . . . . 7  |-  ( iota_ w  e.  ~H  A. v  e.  ~H  ( ( T `
 v )  .ih  y )  =  ( v  .ih  w ) )  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )
3617, 35eqtri 2486 . . . . . 6  |-  B  =  ( iota_ w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )
3728, 29, 30cnlnadjlem2 27113 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
38 elin 3683 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  <-> 
( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
3937, 38sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~H  ->  G  e.  ( LinFn  i^i  ConFn ) )
40 riesz4 27109 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  ( LinFn  i^i  ConFn )  ->  E! w  e. 
~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )
41 riotacl2 6271 . . . . . . 7  |-  ( E! w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w )  ->  ( iota_ w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )  e. 
{ w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
4239, 40, 413syl 20 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( iota_ w  e.  ~H  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) )  e. 
{ w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
4336, 42syl5eqel 2549 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  B  e.  { w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
4421, 43eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( F `  y )  e.  { w  e.  ~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) } )
45 oveq2 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  (
f  .ih  w )  =  ( f  .ih  ( F `  y ) ) )
4645eqeq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  (
( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  w )  <->  ( ( T `  f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
4746ralbidv 2896 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  ( A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  y
)  =  ( f 
.ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
4833, 47syl5bb 257 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( F `  y )  ->  ( A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w )  <->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
4948elrab 3257 . . . . 5  |-  ( ( F `  y )  e.  { w  e. 
~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) }  <->  ( ( F `
 y )  e. 
~H  /\  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) ) )
5049simprbi 464 . . . 4  |-  ( ( F `  y )  e.  { w  e. 
~H  |  A. f  e.  ~H  ( G `  f )  =  ( f  .ih  w ) }  ->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) )
5144, 50syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  y )  =  ( f  .ih  ( F `
 y ) ) )
521, 11, 16, 51vtoclgaf 3172 . 2  |-  ( A  e.  ~H  ->  A. f  e.  ~H  ( ( T `
 f )  .ih  A )  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) ) )
53 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( f  =  C  ->  ( T `  f )  =  ( T `  C ) )
5453oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( f  =  C  ->  (
( T `  f
)  .ih  A )  =  ( ( T `
 C )  .ih  A ) )
55 oveq1 6303 . . . 4  |-  ( f  =  C  ->  (
f  .ih  ( F `  A ) )  =  ( C  .ih  ( F `  A )
) )
5654, 55eqeq12d 2479 . . 3  |-  ( f  =  C  ->  (
( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )  <->  ( ( T `  C )  .ih  A )  =  ( C  .ih  ( F `
 A ) ) ) )
5756rspccva 3209 . 2  |-  ( ( A. f  e.  ~H  ( ( T `  f )  .ih  A
)  =  ( f 
.ih  ( F `  A ) )  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( T `  C )  .ih  A
)  =  ( C 
.ih  ( F `  A ) ) )
5852, 57sylan 471 1  |-  ( ( A  e.  ~H  /\  C  e.  ~H )  ->  ( ( T `  C )  .ih  A
)  =  ( C 
.ih  ( F `  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E!wreu 2809   {crab 2811   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594   iota_crio 6257  (class class class)co 6296   ~Hchil 25962    .ih csp 25965   ConOpccop 25989   LinOpclo 25990   ConFnccnfn 25996   LinFnclf 25997
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589  ax-hilex 26042  ax-hfvadd 26043  ax-hvcom 26044  ax-hvass 26045  ax-hv0cl 26046  ax-hvaddid 26047  ax-hfvmul 26048  ax-hvmulid 26049  ax-hvmulass 26050  ax-hvdistr1 26051  ax-hvdistr2 26052  ax-hvmul0 26053  ax-hfi 26122  ax-his1 26125  ax-his2 26126  ax-his3 26127  ax-his4 26128  ax-hcompl 26245
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-hom 14735  df-cco 14736  df-rest 14839  df-topn 14840  df-0g 14858  df-gsum 14859  df-topgen 14860  df-pt 14861  df-prds 14864  df-xrs 14918  df-qtop 14923  df-imas 14924  df-xps 14926  df-mre 15002  df-mrc 15003  df-acs 15005  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-mulg 16186  df-cntz 16481  df-cmn 16926  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-fbas 18542  df-fg 18543  df-cnfld 18547  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-topsp 19529  df-cld 19646  df-ntr 19647  df-cls 19648  df-nei 19725  df-cn 19854  df-cnp 19855  df-lm 19856  df-t1 19941  df-haus 19942  df-tx 20188  df-hmeo 20381  df-fil 20472  df-fm 20564  df-flim 20565  df-flf 20566  df-xms 20948  df-ms 20949  df-tms 20950  df-cfil 21819  df-cau 21820  df-cmet 21821  df-grpo 25319  df-gid 25320  df-ginv 25321  df-gdiv 25322  df-ablo 25410  df-subgo 25430  df-vc 25565  df-nv 25611  df-va 25614  df-ba 25615  df-sm 25616  df-0v 25617  df-vs 25618  df-nmcv 25619  df-ims 25620  df-dip 25737  df-ssp 25761  df-ph 25854  df-cbn 25905  df-hnorm 26011  df-hba 26012  df-hvsub 26014  df-hlim 26015  df-hcau 26016  df-sh 26250  df-ch 26265  df-oc 26296  df-ch0 26297  df-nmop 26884  df-cnop 26885  df-lnop 26886  df-nmfn 26890  df-nlfn 26891  df-cnfn 26892  df-lnfn 26893
This theorem is referenced by:  cnlnadjlem6  27117  cnlnadjlem7  27118  cnlnadjlem9  27120
  Copyright terms: Public domain W3C validator