Theorem cnlnadjlem2 26691

Description: Lemma for cnlnadji 26699. G is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	|- T e. LinOp
cnlnadjlem.2	|- T e. ConOp
cnlnadjlem.3	|- G = ( g e. ~H |-> ( ( T ` g ) .ih y ) )

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem2	|- ( y e. ~H -> ( G e. LinFn /\ G e. ConFn ) )

Distinct variable group:   y, g, T

Allowed substitution hints:   G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem2

Dummy variables w z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . . . . . 8 |- T e. LinOp
2	1	lnopfi 26592	. . . . . . 7 |- T : ~H --> ~H
3	2	ffvelrni 6020	. . . . . 6 |- ( g e. ~H -> ( T ` g ) e. ~H )
4		hicl 25701	. . . . . 6 |- ( ( ( T ` g ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` g ) .ih y ) e. CC )
5	3, 4	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( g e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` g ) .ih y ) e. CC )
6	5	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( y e. ~H /\ g e. ~H ) -> ( ( T ` g ) .ih y ) e. CC )
7		cnlnadjlem.3	. . . 4 |- G = ( g e. ~H |-> ( ( T ` g ) .ih y ) )
8	6, 7	fmptd 6045	. . 3 |- ( y e. ~H -> G : ~H --> CC )
9		hvmulcl 25634	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( x .h w ) e. ~H )
10	1	lnopaddi 26594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) )
11	10	3adant3 1016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) )
12	11	oveq1d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) .ih y ) )
13	2	ffvelrni 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x .h w ) e. ~H -> ( T ` ( x .h w ) ) e. ~H )
14	2	ffvelrni 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ~H -> ( T ` z ) e. ~H )
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> y e. ~H )
16		ax-his2 25704	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T ` ( x .h w ) ) e. ~H /\ ( T ` z ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
17	13, 14, 15, 16	syl3an 1270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
18	12, 17	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
19	18	3comr 1204	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
20	19	3expa 1196	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x .h w ) e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
21	9, 20	sylanl2 651	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
22		hvaddcl 25633	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h w ) +h z ) e. ~H )
23	9, 22	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h w ) +h z ) e. ~H )
24		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . 9 |- T e. ConOp
25	1, 24, 7	cnlnadjlem1 26690	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .h w ) +h z ) e. ~H -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) )
26	23, 25	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) )
27	26	adantll 713	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) )
28	2	ffvelrni 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ~H -> ( T ` w ) e. ~H )
29		ax-his3 25705	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( T ` w ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
30	28, 29	syl3an2 1262	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
31	30	3comr 1204	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ~H /\ x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
32	31	3expb 1197	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
33	1	lnopmuli 26595	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( T ` ( x .h w ) ) = ( x .h ( T ` w ) ) )
34	33	oveq1d 6299	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) = ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) )
35	34	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) = ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) )
36	1, 24, 7	cnlnadjlem1 26690	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~H -> ( G ` w ) = ( ( T ` w ) .ih y ) )
37	36	oveq2d 6300	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ~H -> ( x x. ( G ` w ) ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
38	37	ad2antll 728	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( x x. ( G ` w ) ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
39	32, 35, 38	3eqtr4rd 2519	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( x x. ( G ` w ) ) = ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) )
40	1, 24, 7	cnlnadjlem1 26690	. . . . . . 7 |- ( z e. ~H -> ( G ` z ) = ( ( T ` z ) .ih y ) )
41	39, 40	oveqan12d 6303	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
42	21, 27, 41	3eqtr4d 2518	. . . . 5 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) )
43	42	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> A. z e. ~H ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) )
44	43	ralrimivva 2885	. . 3 |- ( y e. ~H -> A. x e. CC A. w e. ~H A. z e. ~H ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) )
45		ellnfn 26506	. . 3 |- ( G e. LinFn <-> ( G : ~H --> CC /\ A. x e. CC A. w e. ~H A. z e. ~H ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) ) )
46	8, 44, 45	sylanbrc 664	. 2 |- ( y e. ~H -> G e. LinFn )
47	1, 24	nmcopexi 26650	. . . . 5 |- ( normop ` T ) e. RR
48		normcl 25746	. . . . 5 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
49		remulcl 9577	. . . . 5 |- ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
50	47, 48, 49	sylancr 663	. . . 4 |- ( y e. ~H -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
51	40	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( G ` z ) = ( ( T ` z ) .ih y ) )
52		hicl 25701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T ` z ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih y ) e. CC )
53	14, 52	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih y ) e. CC )
54	51, 53	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( G ` z ) e. CC )
55	54	abscld 13230	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
56		normcl 25746	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` z ) e. ~H -> ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR )
57	14, 56	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~H -> ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR )
58		remulcl 9577	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
59	57, 48, 58	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
60		normcl 25746	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. RR )
61		remulcl 9577	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ ( normh ` z ) e. RR ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR )
62	47, 60, 61	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~H -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR )
63		remulcl 9577	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
64	62, 48, 63	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
65	51	fveq2d 5870	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) = ( abs ` ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
66		bcs 25802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T ` z ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( ( T ` z ) .ih y ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
67	14, 66	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( ( T ` z ) .ih y ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
68	65, 67	eqbrtrd 4467	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
69	57	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR )
70	62	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR )
71		normge0 25747	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> 0 <_ ( normh ` y ) )
72	48, 71	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` y ) ) )
73	72	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` y ) ) )
74	1, 24	nmcoplbi 26651	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` ( T ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) )
75	74	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) )
76		lemul1a 10396	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR /\ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR /\ ( ( normh ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` y ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
77	69, 70, 73, 75, 76	syl31anc 1231	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
78	55, 59, 64, 68, 77	letrd 9738	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
79	60	recnd 9622	. . . . . . . 8 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. CC )
80	48	recnd 9622	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. CC )
81	47	recni 9608	. . . . . . . . 9 |- ( normop ` T ) e. CC
82		mul32 9746	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normop ` T ) e. CC /\ ( normh ` z ) e. CC /\ ( normh ` y ) e. CC ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
83	81, 82	mp3an1 1311	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normh ` z ) e. CC /\ ( normh ` y ) e. CC ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
84	79, 80, 83	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
85	78, 84	breqtrd 4471	. . . . . 6 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
86	85	ancoms 453	. . . . 5 |- ( ( y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
87	86	ralrimiva 2878	. . . 4 |- ( y e. ~H -> A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
88		oveq1 6291	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) -> ( x x. ( normh ` z ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
89	88	breq2d 4459	. . . . . 6 |- ( x = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) ) )
90	89	ralbidv 2903	. . . . 5 |- ( x = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) -> ( A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) <-> A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) ) )
91	90	rspcev 3214	. . . 4 |- ( ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) e. RR /\ A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) ) -> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) )
92	50, 87, 91	syl2anc 661	. . 3 |- ( y e. ~H -> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) )
93		lnfncon 26679	. . . 4 |- ( G e. LinFn -> ( G e. ConFn <-> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) ) )
94	46, 93	syl 16	. . 3 |- ( y e. ~H -> ( G e. ConFn <-> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) ) )
95	92, 94	mpbird 232	. 2 |- ( y e. ~H -> G e. ConFn )
96	46, 95	jca 532	1 |- ( y e. ~H -> ( G e. LinFn /\ G e. ConFn ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   + caddc 9495   x. cmul 9497   <_ cle 9629   abscabs 13030   ~Hchil 25540   +h cva 25541   .h csm 25542   .ih csp 25543   normhcno 25544   normopcnop 25566   ConOpccop 25567   LinOpclo 25568   ConFnccnfn 25574   LinFnclf 25575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572  ax-hilex 25620  ax-hfvadd 25621  ax-hvcom 25622  ax-hvass 25623  ax-hv0cl 25624  ax-hvaddid 25625  ax-hfvmul 25626  ax-hvmulid 25627  ax-hvmulass 25628  ax-hvdistr1 25629  ax-hvdistr2 25630  ax-hvmul0 25631  ax-hfi 25700  ax-his1 25703  ax-his2 25704  ax-his3 25705  ax-his4 25706

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cld 19314  df-ntr 19315  df-cls 19316  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-t1 19609  df-haus 19610  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-grpo 24897  df-gid 24898  df-ginv 24899  df-gdiv 24900  df-ablo 24988  df-vc 25143  df-nv 25189  df-va 25192  df-ba 25193  df-sm 25194  df-0v 25195  df-vs 25196  df-nmcv 25197  df-ims 25198  df-dip 25315  df-ph 25432  df-hnorm 25589  df-hba 25590  df-hvsub 25592  df-nmop 26462  df-cnop 26463  df-lnop 26464  df-nmfn 26468  df-cnfn 26470  df-lnfn 26471

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  26692  cnlnadjlem5  26694