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Theorem cnlnadjlem2 25623
Description: Lemma for cnlnadji 25631. 
G is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadjlem.2  |-  T  e. 
ConOp
cnlnadjlem.3  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem2  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
Distinct variable group:    y, g, T
Allowed substitution hints:    G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem2
Dummy variables  w  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.1 . . . . . . . 8  |-  T  e. 
LinOp
21lnopfi 25524 . . . . . . 7  |-  T : ~H
--> ~H
32ffvelrni 5950 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ~H  ->  ( T `  g )  e.  ~H )
4 hicl 24633 . . . . . 6  |-  ( ( ( T `  g
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  g )  .ih  y
)  e.  CC )
53, 4sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  g )  .ih  y
)  e.  CC )
65ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  g  e.  ~H )  ->  ( ( T `  g )  .ih  y
)  e.  CC )
7 cnlnadjlem.3 . . . 4  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
86, 7fmptd 5975 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  G : ~H --> CC )
9 hvmulcl 24566 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  .h  w
)  e.  ~H )
101lnopaddi 25526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  =  ( ( T `  ( x  .h  w ) )  +h  ( T `  z ) ) )
11103adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  ( (
x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( T `
 ( x  .h  w ) )  +h  ( T `  z
) ) )
1211oveq1d 6214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  y ) )
132ffvelrni 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  .h  w )  e.  ~H  ->  ( T `  ( x  .h  w ) )  e. 
~H )
142ffvelrni 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
15 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ~H )
16 ax-his2 24636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T `  (
x  .h  w ) )  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  ( x  .h  w
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
1713, 14, 15, 16syl3an 1261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  ( x  .h  w
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
1812, 17eqtrd 2495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
19183comr 1196 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  .ih  y
)  =  ( ( ( T `  (
x  .h  w ) )  .ih  y )  +  ( ( T `
 z )  .ih  y ) ) )
20193expa 1188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  .h  w
)  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w
) )  .ih  y
)  +  ( ( T `  z ) 
.ih  y ) ) )
219, 20sylanl2 651 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( ( x  .h  w )  +h  z ) ) 
.ih  y )  =  ( ( ( T `
 ( x  .h  w ) )  .ih  y )  +  ( ( T `  z
)  .ih  y )
) )
22 hvaddcl 24565 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  w )  +h  z
)  e.  ~H )
239, 22sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  w )  +h  z )  e.  ~H )
24 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . 9  |-  T  e. 
ConOp
251, 24, 7cnlnadjlem1 25622 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  w
)  +h  z )  e.  ~H  ->  ( G `  ( (
x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( T `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  .ih  y ) )
2623, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  =  ( ( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  .ih  y ) )
2726adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( G `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( T `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  .ih  y
) )
282ffvelrni 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
29 ax-his3 24637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  w )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
3028, 29syl3an2 1253 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
31303comr 1196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
32313expb 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  .h  ( T `
 w ) ) 
.ih  y )  =  ( x  x.  (
( T `  w
)  .ih  y )
) )
331lnopmuli 25527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  w ) )  =  ( x  .h  ( T `  w ) ) )
3433oveq1d 6214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( x  .h  w
) )  .ih  y
)  =  ( ( x  .h  ( T `
 w ) ) 
.ih  y ) )
3534adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  ( x  .h  w ) )  .ih  y )  =  ( ( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )
)
361, 24, 7cnlnadjlem1 25622 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( G `  w )  =  ( ( T `
 w )  .ih  y ) )
3736oveq2d 6215 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
x  x.  ( G `
 w ) )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
3837ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( x  x.  ( G `  w
) )  =  ( x  x.  ( ( T `  w ) 
.ih  y ) ) )
3932, 35, 383eqtr4rd 2506 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( x  x.  ( G `  w
) )  =  ( ( T `  (
x  .h  w ) )  .ih  y ) )
401, 24, 7cnlnadjlem1 25622 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( G `  z )  =  ( ( T `
 z )  .ih  y ) )
4139, 40oveqan12d 6218 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( G `
 w ) )  +  ( G `  z ) )  =  ( ( ( T `
 ( x  .h  w ) )  .ih  y )  +  ( ( T `  z
)  .ih  y )
) )
4221, 27, 413eqtr4d 2505 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( G `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w
) )  +  ( G `  z ) ) )
4342ralrimiva 2829 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  A. z  e.  ~H  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w )
)  +  ( G `
 z ) ) )
4443ralrimivva 2912 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  A. x  e.  CC  A. w  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w ) )  +  ( G `  z
) ) )
45 ellnfn 25438 . . 3  |-  ( G  e.  LinFn 
<->  ( G : ~H --> CC  /\  A. x  e.  CC  A. w  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w ) )  +  ( G `  z
) ) ) )
468, 44, 45sylanbrc 664 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  G  e.  LinFn )
471, 24nmcopexi 25582 . . . . 5  |-  ( normop `  T )  e.  RR
48 normcl 24678 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
49 remulcl 9477 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
5047, 48, 49sylancr 663 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  e.  RR )
5140adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( G `  z
)  =  ( ( T `  z ) 
.ih  y ) )
52 hicl 24633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T `  z
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  z )  .ih  y
)  e.  CC )
5314, 52sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  z )  .ih  y
)  e.  CC )
5451, 53eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( G `  z
)  e.  CC )
5554abscld 13039 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR )
56 normcl 24678 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  z )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR )
5714, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR )
58 remulcl 9477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  ( T `  z
) )  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
5957, 48, 58syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( T `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
60 normcl 24678 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  z )  e.  RR )
61 remulcl 9477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  z )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR )
6247, 60, 61sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  e.  RR )
63 remulcl 9477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
6462, 48, 63syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y
) )  e.  RR )
6551fveq2d 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  =  ( abs `  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
66 bcs 24734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T `  z
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( T `  z
)  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  z ) )  x.  ( normh `  y )
) )
6714, 66sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( T `  z
)  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  z ) )  x.  ( normh `  y )
) )
6865, 67eqbrtrd 4419 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  z ) )  x.  ( normh `  y )
) )
6957adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR )
7062adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR )
71 normge0 24679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  y )
)
7248, 71jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  y )
) )
7372adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  y
)  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  y
) ) )
741, 24nmcoplbi 25583 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) ) )
76 lemul1a 10293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  z )
)  e.  RR  /\  ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR  /\  ( (
normh `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  y )
) )  /\  ( normh `  ( T `  z ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) ) )  ->  ( ( normh `  ( T `  z
) )  x.  ( normh `  y ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) ) )
7769, 70, 73, 75, 76syl31anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( T `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  <_ 
( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y
) ) )
7855, 59, 64, 68, 77letrd 9638 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) ) )
7960recnd 9522 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  z )  e.  CC )
8048recnd 9522 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  CC )
8147recni 9508 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  T )  e.  CC
82 mul32 9646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normh `  z )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y )
)  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8381, 82mp3an1 1302 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  z )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  x.  ( normh `  z
) ) )
8479, 80, 83syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y
) )  =  ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) )  x.  ( normh `  z )
) )
8578, 84breqtrd 4423 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8685ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8786ralrimiva 2829 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
88 oveq1 6206 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  ->  ( x  x.  ( normh `  z )
)  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8988breq2d 4411 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  z ) )  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) )  x.  ( normh `  z )
) ) )
9089ralbidv 2845 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  ->  ( A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  z )
)  <->  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) ) )
9190rspcev 3177 . . . 4  |-  ( ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  z ) ) )
9250, 87, 91syl2anc 661 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  z )
) )
93 lnfncon 25611 . . . 4  |-  ( G  e.  LinFn  ->  ( G  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  z ) ) ) )
9446, 93syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  ConFn  <->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  z )
) ) )
9592, 94mpbird 232 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  G  e.  ConFn )
9646, 95jca 532 1  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799   class class class wbr 4399    |-> cmpt 4457   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392    + caddc 9395    x. cmul 9397    <_ cle 9529   abscabs 12840   ~Hchil 24472    +h cva 24473    .h csm 24474    .ih csp 24475   normhcno 24476   normopcnop 24498   ConOpccop 24499   LinOpclo 24500   ConFnccnfn 24506   LinFnclf 24507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472  ax-hilex 24552  ax-hfvadd 24553  ax-hvcom 24554  ax-hvass 24555  ax-hv0cl 24556  ax-hvaddid 24557  ax-hfvmul 24558  ax-hvmulid 24559  ax-hvmulass 24560  ax-hvdistr1 24561  ax-hvdistr2 24562  ax-hvmul0 24563  ax-hfi 24632  ax-his1 24635  ax-his2 24636  ax-his3 24637  ax-his4 24638
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-sum 13281  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-t1 19049  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-grpo 23829  df-gid 23830  df-ginv 23831  df-gdiv 23832  df-ablo 23920  df-vc 24075  df-nv 24121  df-va 24124  df-ba 24125  df-sm 24126  df-0v 24127  df-vs 24128  df-nmcv 24129  df-ims 24130  df-dip 24247  df-ph 24364  df-hnorm 24521  df-hba 24522  df-hvsub 24524  df-nmop 25394  df-cnop 25395  df-lnop 25396  df-nmfn 25400  df-cnfn 25402  df-lnfn 25403
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