Theorem cnlnadjlem2 23524

Description: Lemma for cnlnadji 23532. G is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	|- T e. LinOp
cnlnadjlem.2	|- T e. ConOp
cnlnadjlem.3	|- G = ( g e. ~H |-> ( ( T ` g ) .ih y ) )

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem2	|- ( y e. ~H -> ( G e. LinFn /\ G e. ConFn ) )

Distinct variable group:   y, g, T

Allowed substitution hints:   G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem2

Dummy variables w z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . . . . . 8 |- T e. LinOp
2	1	lnopfi 23425	. . . . . . 7 |- T : ~H --> ~H
3	2	ffvelrni 5828	. . . . . 6 |- ( g e. ~H -> ( T ` g ) e. ~H )
4		hicl 22535	. . . . . 6 |- ( ( ( T ` g ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` g ) .ih y ) e. CC )
5	3, 4	sylan 458	. . . . 5 |- ( ( g e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` g ) .ih y ) e. CC )
6	5	ancoms 440	. . . 4 |- ( ( y e. ~H /\ g e. ~H ) -> ( ( T ` g ) .ih y ) e. CC )
7		cnlnadjlem.3	. . . 4 |- G = ( g e. ~H |-> ( ( T ` g ) .ih y ) )
8	6, 7	fmptd 5852	. . 3 |- ( y e. ~H -> G : ~H --> CC )
9		hvmulcl 22469	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( x .h w ) e. ~H )
10	1	lnopaddi 23427	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) )
11	10	3adant3 977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) )
12	11	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) .ih y ) )
13	2	ffvelrni 5828	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x .h w ) e. ~H -> ( T ` ( x .h w ) ) e. ~H )
14	2	ffvelrni 5828	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ~H -> ( T ` z ) e. ~H )
15		id 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> y e. ~H )
16		ax-his2 22538	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T ` ( x .h w ) ) e. ~H /\ ( T ` z ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
17	13, 14, 15, 16	syl3an 1226	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
18	12, 17	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
19	18	3comr 1161	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
20	19	3expa 1153	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x .h w ) e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
21	9, 20	sylanl2 633	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
22		hvaddcl 22468	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h w ) +h z ) e. ~H )
23	9, 22	sylan 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h w ) +h z ) e. ~H )
24		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . 9 |- T e. ConOp
25	1, 24, 7	cnlnadjlem1 23523	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .h w ) +h z ) e. ~H -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) )
26	23, 25	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) )
27	26	adantll 695	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) )
28	2	ffvelrni 5828	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ~H -> ( T ` w ) e. ~H )
29		ax-his3 22539	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( T ` w ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
30	28, 29	syl3an2 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
31	30	3comr 1161	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ~H /\ x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
32	31	3expb 1154	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
33	1	lnopmuli 23428	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( T ` ( x .h w ) ) = ( x .h ( T ` w ) ) )
34	33	oveq1d 6055	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) = ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) )
35	34	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) = ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) )
36	1, 24, 7	cnlnadjlem1 23523	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~H -> ( G ` w ) = ( ( T ` w ) .ih y ) )
37	36	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ~H -> ( x x. ( G ` w ) ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
38	37	ad2antll 710	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( x x. ( G ` w ) ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
39	32, 35, 38	3eqtr4rd 2447	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( x x. ( G ` w ) ) = ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) )
40	1, 24, 7	cnlnadjlem1 23523	. . . . . . 7 |- ( z e. ~H -> ( G ` z ) = ( ( T ` z ) .ih y ) )
41	39, 40	oveqan12d 6059	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
42	21, 27, 41	3eqtr4d 2446	. . . . 5 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) )
43	42	ralrimiva 2749	. . . 4 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> A. z e. ~H ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) )
44	43	ralrimivva 2758	. . 3 |- ( y e. ~H -> A. x e. CC A. w e. ~H A. z e. ~H ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) )
45		ellnfn 23339	. . 3 |- ( G e. LinFn <-> ( G : ~H --> CC /\ A. x e. CC A. w e. ~H A. z e. ~H ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) ) )
46	8, 44, 45	sylanbrc 646	. 2 |- ( y e. ~H -> G e. LinFn )
47	1, 24	nmcopexi 23483	. . . . 5 |- ( normop ` T ) e. RR
48		normcl 22580	. . . . 5 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
49		remulcl 9031	. . . . 5 |- ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
50	47, 48, 49	sylancr 645	. . . 4 |- ( y e. ~H -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
51	40	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( G ` z ) = ( ( T ` z ) .ih y ) )
52		hicl 22535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T ` z ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih y ) e. CC )
53	14, 52	sylan 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih y ) e. CC )
54	51, 53	eqeltrd 2478	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( G ` z ) e. CC )
55	54	abscld 12193	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
56		normcl 22580	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` z ) e. ~H -> ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR )
57	14, 56	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~H -> ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR )
58		remulcl 9031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
59	57, 48, 58	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
60		normcl 22580	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. RR )
61		remulcl 9031	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ ( normh ` z ) e. RR ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR )
62	47, 60, 61	sylancr 645	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~H -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR )
63		remulcl 9031	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
64	62, 48, 63	syl2an 464	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
65	51	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) = ( abs ` ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
66		bcs 22636	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T ` z ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( ( T ` z ) .ih y ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
67	14, 66	sylan 458	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( ( T ` z ) .ih y ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
68	65, 67	eqbrtrd 4192	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
69	57	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR )
70	62	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR )
71		normge0 22581	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> 0 <_ ( normh ` y ) )
72	48, 71	jca 519	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` y ) ) )
73	72	adantl 453	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` y ) ) )
74	1, 24	nmcoplbi 23484	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` ( T ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) )
75	74	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) )
76		lemul1a 9820	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR /\ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR /\ ( ( normh ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` y ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
77	69, 70, 73, 75, 76	syl31anc 1187	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
78	55, 59, 64, 68, 77	letrd 9183	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
79	60	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. CC )
80	48	recnd 9070	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. CC )
81	47	recni 9058	. . . . . . . . 9 |- ( normop ` T ) e. CC
82		mul32 9189	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normop ` T ) e. CC /\ ( normh ` z ) e. CC /\ ( normh ` y ) e. CC ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
83	81, 82	mp3an1 1266	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normh ` z ) e. CC /\ ( normh ` y ) e. CC ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
84	79, 80, 83	syl2an 464	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
85	78, 84	breqtrd 4196	. . . . . 6 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
86	85	ancoms 440	. . . . 5 |- ( ( y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
87	86	ralrimiva 2749	. . . 4 |- ( y e. ~H -> A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
88		oveq1 6047	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) -> ( x x. ( normh ` z ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
89	88	breq2d 4184	. . . . . 6 |- ( x = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) ) )
90	89	ralbidv 2686	. . . . 5 |- ( x = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) -> ( A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) <-> A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) ) )
91	90	rspcev 3012	. . . 4 |- ( ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) e. RR /\ A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) ) -> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) )
92	50, 87, 91	syl2anc 643	. . 3 |- ( y e. ~H -> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) )
93		lnfncon 23512	. . . 4 |- ( G e. LinFn -> ( G e. ConFn <-> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) ) )
94	46, 93	syl 16	. . 3 |- ( y e. ~H -> ( G e. ConFn <-> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) ) )
95	92, 94	mpbird 224	. 2 |- ( y e. ~H -> G e. ConFn )
96	46, 95	jca 519	1 |- ( y e. ~H -> ( G e. LinFn /\ G e. ConFn ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   + caddc 8949   x. cmul 8951   <_ cle 9077   abscabs 11994   ~Hchil 22375   +h cva 22376   .h csm 22377   .ih csp 22378   normhcno 22379   normopcnop 22401   ConOpccop 22402   LinOpclo 22403   ConFnccnfn 22409   LinFnclf 22410

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  23525  cnlnadjlem5  23527

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026  ax-hilex 22455  ax-hfvadd 22456  ax-hvcom 22457  ax-hvass 22458  ax-hv0cl 22459  ax-hvaddid 22460  ax-hfvmul 22461  ax-hvmulid 22462  ax-hvmulass 22463  ax-hvdistr1 22464  ax-hvdistr2 22465  ax-hvmul0 22466  ax-hfi 22534  ax-his1 22537  ax-his2 22538  ax-his3 22539  ax-his4 22540

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-ixp 7023  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-hom 13508  df-cco 13509  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-pt 13623  df-prds 13626  df-xrs 13681  df-0g 13682  df-gsum 13683  df-qtop 13688  df-imas 13689  df-xps 13691  df-mre 13766  df-mrc 13767  df-acs 13769  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-mulg 14770  df-cntz 15071  df-cmn 15369  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-t1 17332  df-haus 17333  df-tx 17547  df-hmeo 17740  df-xms 18303  df-ms 18304  df-tms 18305  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033  df-dip 22150  df-ph 22267  df-hnorm 22424  df-hba 22425  df-hvsub 22427  df-nmop 23295  df-cnop 23296  df-lnop 23297  df-nmfn 23301  df-cnfn 23303  df-lnfn 23304