Theorem cnlnadjlem2 25295

Description: Lemma for cnlnadji 25303. G is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	|- T e. LinOp
cnlnadjlem.2	|- T e. ConOp
cnlnadjlem.3	|- G = ( g e. ~H |-> ( ( T ` g ) .ih y ) )

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem2	|- ( y e. ~H -> ( G e. LinFn /\ G e. ConFn ) )

Distinct variable group:   y, g, T

Allowed substitution hints:   G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem2

Dummy variables w z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . . . . . 8 |- T e. LinOp
2	1	lnopfi 25196	. . . . . . 7 |- T : ~H --> ~H
3	2	ffvelrni 5830	. . . . . 6 |- ( g e. ~H -> ( T ` g ) e. ~H )
4		hicl 24305	. . . . . 6 |- ( ( ( T ` g ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` g ) .ih y ) e. CC )
5	3, 4	sylan 468	. . . . 5 |- ( ( g e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` g ) .ih y ) e. CC )
6	5	ancoms 450	. . . 4 |- ( ( y e. ~H /\ g e. ~H ) -> ( ( T ` g ) .ih y ) e. CC )
7		cnlnadjlem.3	. . . 4 |- G = ( g e. ~H |-> ( ( T ` g ) .ih y ) )
8	6, 7	fmptd 5855	. . 3 |- ( y e. ~H -> G : ~H --> CC )
9		hvmulcl 24238	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( x .h w ) e. ~H )
10	1	lnopaddi 25198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) )
11	10	3adant3 1001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) )
12	11	oveq1d 6095	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) .ih y ) )
13	2	ffvelrni 5830	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x .h w ) e. ~H -> ( T ` ( x .h w ) ) e. ~H )
14	2	ffvelrni 5830	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ~H -> ( T ` z ) e. ~H )
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> y e. ~H )
16		ax-his2 24308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T ` ( x .h w ) ) e. ~H /\ ( T ` z ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
17	13, 14, 15, 16	syl3an 1253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
18	12, 17	eqtrd 2465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
19	18	3comr 1188	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
20	19	3expa 1180	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x .h w ) e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
21	9, 20	sylanl2 644	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
22		hvaddcl 24237	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h w ) +h z ) e. ~H )
23	9, 22	sylan 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h w ) +h z ) e. ~H )
24		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . 9 |- T e. ConOp
25	1, 24, 7	cnlnadjlem1 25294	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .h w ) +h z ) e. ~H -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) )
26	23, 25	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) )
27	26	adantll 706	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) )
28	2	ffvelrni 5830	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ~H -> ( T ` w ) e. ~H )
29		ax-his3 24309	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( T ` w ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
30	28, 29	syl3an2 1245	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
31	30	3comr 1188	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ~H /\ x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
32	31	3expb 1181	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
33	1	lnopmuli 25199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( T ` ( x .h w ) ) = ( x .h ( T ` w ) ) )
34	33	oveq1d 6095	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) = ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) )
35	34	adantl 463	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) = ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) )
36	1, 24, 7	cnlnadjlem1 25294	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~H -> ( G ` w ) = ( ( T ` w ) .ih y ) )
37	36	oveq2d 6096	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ~H -> ( x x. ( G ` w ) ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
38	37	ad2antll 721	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( x x. ( G ` w ) ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
39	32, 35, 38	3eqtr4rd 2476	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( x x. ( G ` w ) ) = ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) )
40	1, 24, 7	cnlnadjlem1 25294	. . . . . . 7 |- ( z e. ~H -> ( G ` z ) = ( ( T ` z ) .ih y ) )
41	39, 40	oveqan12d 6099	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
42	21, 27, 41	3eqtr4d 2475	. . . . 5 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) )
43	42	ralrimiva 2789	. . . 4 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> A. z e. ~H ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) )
44	43	ralrimivva 2798	. . 3 |- ( y e. ~H -> A. x e. CC A. w e. ~H A. z e. ~H ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) )
45		ellnfn 25110	. . 3 |- ( G e. LinFn <-> ( G : ~H --> CC /\ A. x e. CC A. w e. ~H A. z e. ~H ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) ) )
46	8, 44, 45	sylanbrc 657	. 2 |- ( y e. ~H -> G e. LinFn )
47	1, 24	nmcopexi 25254	. . . . 5 |- ( normop ` T ) e. RR
48		normcl 24350	. . . . 5 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
49		remulcl 9355	. . . . 5 |- ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
50	47, 48, 49	sylancr 656	. . . 4 |- ( y e. ~H -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
51	40	adantr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( G ` z ) = ( ( T ` z ) .ih y ) )
52		hicl 24305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T ` z ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih y ) e. CC )
53	14, 52	sylan 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih y ) e. CC )
54	51, 53	eqeltrd 2507	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( G ` z ) e. CC )
55	54	abscld 12906	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
56		normcl 24350	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` z ) e. ~H -> ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR )
57	14, 56	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~H -> ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR )
58		remulcl 9355	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
59	57, 48, 58	syl2an 474	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
60		normcl 24350	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. RR )
61		remulcl 9355	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ ( normh ` z ) e. RR ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR )
62	47, 60, 61	sylancr 656	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~H -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR )
63		remulcl 9355	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
64	62, 48, 63	syl2an 474	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
65	51	fveq2d 5683	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) = ( abs ` ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
66		bcs 24406	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T ` z ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( ( T ` z ) .ih y ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
67	14, 66	sylan 468	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( ( T ` z ) .ih y ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
68	65, 67	eqbrtrd 4300	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
69	57	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR )
70	62	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR )
71		normge0 24351	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> 0 <_ ( normh ` y ) )
72	48, 71	jca 529	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` y ) ) )
73	72	adantl 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` y ) ) )
74	1, 24	nmcoplbi 25255	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` ( T ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) )
75	74	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) )
76		lemul1a 10171	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR /\ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR /\ ( ( normh ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` y ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
77	69, 70, 73, 75, 76	syl31anc 1214	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
78	55, 59, 64, 68, 77	letrd 9516	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
79	60	recnd 9400	. . . . . . . 8 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. CC )
80	48	recnd 9400	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. CC )
81	47	recni 9386	. . . . . . . . 9 |- ( normop ` T ) e. CC
82		mul32 9524	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normop ` T ) e. CC /\ ( normh ` z ) e. CC /\ ( normh ` y ) e. CC ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
83	81, 82	mp3an1 1294	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normh ` z ) e. CC /\ ( normh ` y ) e. CC ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
84	79, 80, 83	syl2an 474	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
85	78, 84	breqtrd 4304	. . . . . 6 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
86	85	ancoms 450	. . . . 5 |- ( ( y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
87	86	ralrimiva 2789	. . . 4 |- ( y e. ~H -> A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
88		oveq1 6087	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) -> ( x x. ( normh ` z ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
89	88	breq2d 4292	. . . . . 6 |- ( x = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) ) )
90	89	ralbidv 2725	. . . . 5 |- ( x = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) -> ( A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) <-> A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) ) )
91	90	rspcev 3062	. . . 4 |- ( ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) e. RR /\ A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) ) -> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) )
92	50, 87, 91	syl2anc 654	. . 3 |- ( y e. ~H -> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) )
93		lnfncon 25283	. . . 4 |- ( G e. LinFn -> ( G e. ConFn <-> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) ) )
94	46, 93	syl 16	. . 3 |- ( y e. ~H -> ( G e. ConFn <-> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) ) )
95	92, 94	mpbird 232	. 2 |- ( y e. ~H -> G e. ConFn )
96	46, 95	jca 529	1 |- ( y e. ~H -> ( G e. LinFn /\ G e. ConFn ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   class class class wbr 4280   e. cmpt 4338   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9268   RRcr 9269   0cc0 9270   + caddc 9273   x. cmul 9275   <_ cle 9407   abscabs 12707   ~Hchil 24144   +h cva 24145   .h csm 24146   .ih csp 24147   normhcno 24148   normopcnop 24170   ConOpccop 24171   LinOpclo 24172   ConFnccnfn 24178   LinFnclf 24179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348  ax-addf 9349  ax-mulf 9350  ax-hilex 24224  ax-hfvadd 24225  ax-hvcom 24226  ax-hvass 24227  ax-hv0cl 24228  ax-hvaddid 24229  ax-hfvmul 24230  ax-hvmulid 24231  ax-hvmulass 24232  ax-hvdistr1 24233  ax-hvdistr2 24234  ax-hvmul0 24235  ax-hfi 24304  ax-his1 24307  ax-his2 24308  ax-his3 24309  ax-his4 24310

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-ioo 11292  df-icc 11295  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-sets 14163  df-ress 14164  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-hom 14245  df-cco 14246  df-rest 14344  df-topn 14345  df-0g 14363  df-gsum 14364  df-topgen 14365  df-pt 14366  df-prds 14369  df-xrs 14423  df-qtop 14428  df-imas 14429  df-xps 14431  df-mre 14507  df-mrc 14508  df-acs 14510  df-mnd 15398  df-submnd 15448  df-mulg 15528  df-cntz 15815  df-cmn 16259  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-cld 18465  df-ntr 18466  df-cls 18467  df-cn 18673  df-cnp 18674  df-t1 18760  df-haus 18761  df-tx 18977  df-hmeo 19170  df-xms 19737  df-ms 19738  df-tms 19739  df-grpo 23501  df-gid 23502  df-ginv 23503  df-gdiv 23504  df-ablo 23592  df-vc 23747  df-nv 23793  df-va 23796  df-ba 23797  df-sm 23798  df-0v 23799  df-vs 23800  df-nmcv 23801  df-ims 23802  df-dip 23919  df-ph 24036  df-hnorm 24193  df-hba 24194  df-hvsub 24196  df-nmop 25066  df-cnop 25067  df-lnop 25068  df-nmfn 25072  df-cnfn 25074  df-lnfn 25075

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  25296  cnlnadjlem5  25298