Theorem cnlnadjlem2 25623

Description: Lemma for cnlnadji 25631. G is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnlnadjlem.1	|- T e. LinOp
cnlnadjlem.2	|- T e. ConOp
cnlnadjlem.3	|- G = ( g e. ~H |-> ( ( T ` g ) .ih y ) )

Assertion

Ref	Expression
cnlnadjlem2	|- ( y e. ~H -> ( G e. LinFn /\ G e. ConFn ) )

Distinct variable group:   y, g, T

Allowed substitution hints:   G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem2

Dummy variables w z x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnlnadjlem.1	. . . . . . . 8 |- T e. LinOp
2	1	lnopfi 25524	. . . . . . 7 |- T : ~H --> ~H
3	2	ffvelrni 5950	. . . . . 6 |- ( g e. ~H -> ( T ` g ) e. ~H )
4		hicl 24633	. . . . . 6 |- ( ( ( T ` g ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` g ) .ih y ) e. CC )
5	3, 4	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( g e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` g ) .ih y ) e. CC )
6	5	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( y e. ~H /\ g e. ~H ) -> ( ( T ` g ) .ih y ) e. CC )
7		cnlnadjlem.3	. . . 4 |- G = ( g e. ~H |-> ( ( T ` g ) .ih y ) )
8	6, 7	fmptd 5975	. . 3 |- ( y e. ~H -> G : ~H --> CC )
9		hvmulcl 24566	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( x .h w ) e. ~H )
10	1	lnopaddi 25526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) )
11	10	3adant3 1008	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) )
12	11	oveq1d 6214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) .ih y ) )
13	2	ffvelrni 5950	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x .h w ) e. ~H -> ( T ` ( x .h w ) ) e. ~H )
14	2	ffvelrni 5950	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ~H -> ( T ` z ) e. ~H )
15		id 22	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> y e. ~H )
16		ax-his2 24636	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T ` ( x .h w ) ) e. ~H /\ ( T ` z ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
17	13, 14, 15, 16	syl3an 1261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( T ` ( x .h w ) ) +h ( T ` z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
18	12, 17	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
19	18	3comr 1196	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
20	19	3expa 1188	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x .h w ) e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
21	9, 20	sylanl2 651	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
22		hvaddcl 24565	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .h w ) e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h w ) +h z ) e. ~H )
23	9, 22	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x .h w ) +h z ) e. ~H )
24		cnlnadjlem.2	. . . . . . . . 9 |- T e. ConOp
25	1, 24, 7	cnlnadjlem1 25622	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .h w ) +h z ) e. ~H -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) )
26	23, 25	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) /\ z e. ~H ) -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) )
27	26	adantll 713	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( T ` ( ( x .h w ) +h z ) ) .ih y ) )
28	2	ffvelrni 5950	. . . . . . . . . . 11 |- ( w e. ~H -> ( T ` w ) e. ~H )
29		ax-his3 24637	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. CC /\ ( T ` w ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
30	28, 29	syl3an2 1253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
31	30	3comr 1196	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ~H /\ x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
32	31	3expb 1189	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
33	1	lnopmuli 25527	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( T ` ( x .h w ) ) = ( x .h ( T ` w ) ) )
34	33	oveq1d 6214	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. CC /\ w e. ~H ) -> ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) = ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) )
35	34	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) = ( ( x .h ( T ` w ) ) .ih y ) )
36	1, 24, 7	cnlnadjlem1 25622	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ~H -> ( G ` w ) = ( ( T ` w ) .ih y ) )
37	36	oveq2d 6215	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ~H -> ( x x. ( G ` w ) ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
38	37	ad2antll 728	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( x x. ( G ` w ) ) = ( x x. ( ( T ` w ) .ih y ) ) )
39	32, 35, 38	3eqtr4rd 2506	. . . . . . 7 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> ( x x. ( G ` w ) ) = ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) )
40	1, 24, 7	cnlnadjlem1 25622	. . . . . . 7 |- ( z e. ~H -> ( G ` z ) = ( ( T ` z ) .ih y ) )
41	39, 40	oveqan12d 6218	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) = ( ( ( T ` ( x .h w ) ) .ih y ) + ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
42	21, 27, 41	3eqtr4d 2505	. . . . 5 |- ( ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) /\ z e. ~H ) -> ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) )
43	42	ralrimiva 2829	. . . 4 |- ( ( y e. ~H /\ ( x e. CC /\ w e. ~H ) ) -> A. z e. ~H ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) )
44	43	ralrimivva 2912	. . 3 |- ( y e. ~H -> A. x e. CC A. w e. ~H A. z e. ~H ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) )
45		ellnfn 25438	. . 3 |- ( G e. LinFn <-> ( G : ~H --> CC /\ A. x e. CC A. w e. ~H A. z e. ~H ( G ` ( ( x .h w ) +h z ) ) = ( ( x x. ( G ` w ) ) + ( G ` z ) ) ) )
46	8, 44, 45	sylanbrc 664	. 2 |- ( y e. ~H -> G e. LinFn )
47	1, 24	nmcopexi 25582	. . . . 5 |- ( normop ` T ) e. RR
48		normcl 24678	. . . . 5 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. RR )
49		remulcl 9477	. . . . 5 |- ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
50	47, 48, 49	sylancr 663	. . . 4 |- ( y e. ~H -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
51	40	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( G ` z ) = ( ( T ` z ) .ih y ) )
52		hicl 24633	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( T ` z ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih y ) e. CC )
53	14, 52	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( T ` z ) .ih y ) e. CC )
54	51, 53	eqeltrd 2542	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( G ` z ) e. CC )
55	54	abscld 13039	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) e. RR )
56		normcl 24678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( T ` z ) e. ~H -> ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR )
57	14, 56	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~H -> ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR )
58		remulcl 9477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
59	57, 48, 58	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
60		normcl 24678	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. RR )
61		remulcl 9477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( normop ` T ) e. RR /\ ( normh ` z ) e. RR ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR )
62	47, 60, 61	sylancr 663	. . . . . . . . 9 |- ( z e. ~H -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR )
63		remulcl 9477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR /\ ( normh ` y ) e. RR ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
64	62, 48, 63	syl2an 477	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) e. RR )
65	51	fveq2d 5802	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) = ( abs ` ( ( T ` z ) .ih y ) ) )
66		bcs 24734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( T ` z ) e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( ( T ` z ) .ih y ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
67	14, 66	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( ( T ` z ) .ih y ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
68	65, 67	eqbrtrd 4419	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
69	57	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR )
70	62	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR )
71		normge0 24679	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ~H -> 0 <_ ( normh ` y ) )
72	48, 71	jca 532	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. ~H -> ( ( normh ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` y ) ) )
73	72	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` y ) ) )
74	1, 24	nmcoplbi 25583	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. ~H -> ( normh ` ( T ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) )
75	74	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( normh ` ( T ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) )
76		lemul1a 10293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( normh ` ( T ` z ) ) e. RR /\ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) e. RR /\ ( ( normh ` y ) e. RR /\ 0 <_ ( normh ` y ) ) ) /\ ( normh ` ( T ` z ) ) <_ ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
77	69, 70, 73, 75, 76	syl31anc 1222	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( normh ` ( T ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
78	55, 59, 64, 68, 77	letrd 9638	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) )
79	60	recnd 9522	. . . . . . . 8 |- ( z e. ~H -> ( normh ` z ) e. CC )
80	48	recnd 9522	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~H -> ( normh ` y ) e. CC )
81	47	recni 9508	. . . . . . . . 9 |- ( normop ` T ) e. CC
82		mul32 9646	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( normop ` T ) e. CC /\ ( normh ` z ) e. CC /\ ( normh ` y ) e. CC ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
83	81, 82	mp3an1 1302	. . . . . . . 8 |- ( ( ( normh ` z ) e. CC /\ ( normh ` y ) e. CC ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
84	79, 80, 83	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` z ) ) x. ( normh ` y ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
85	78, 84	breqtrd 4423	. . . . . 6 |- ( ( z e. ~H /\ y e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
86	85	ancoms 453	. . . . 5 |- ( ( y e. ~H /\ z e. ~H ) -> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
87	86	ralrimiva 2829	. . . 4 |- ( y e. ~H -> A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
88		oveq1 6206	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) -> ( x x. ( normh ` z ) ) = ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) )
89	88	breq2d 4411	. . . . . 6 |- ( x = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) -> ( ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) <-> ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) ) )
90	89	ralbidv 2845	. . . . 5 |- ( x = ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) -> ( A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) <-> A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) ) )
91	90	rspcev 3177	. . . 4 |- ( ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) e. RR /\ A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( ( ( normop ` T ) x. ( normh ` y ) ) x. ( normh ` z ) ) ) -> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) )
92	50, 87, 91	syl2anc 661	. . 3 |- ( y e. ~H -> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) )
93		lnfncon 25611	. . . 4 |- ( G e. LinFn -> ( G e. ConFn <-> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) ) )
94	46, 93	syl 16	. . 3 |- ( y e. ~H -> ( G e. ConFn <-> E. x e. RR A. z e. ~H ( abs ` ( G ` z ) ) <_ ( x x. ( normh ` z ) ) ) )
95	92, 94	mpbird 232	. 2 |- ( y e. ~H -> G e. ConFn )
96	46, 95	jca 532	1 |- ( y e. ~H -> ( G e. LinFn /\ G e. ConFn ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799   class class class wbr 4399   |-> cmpt 4457   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   + caddc 9395   x. cmul 9397   <_ cle 9529   abscabs 12840   ~Hchil 24472   +h cva 24473   .h csm 24474   .ih csp 24475   normhcno 24476   normopcnop 24498   ConOpccop 24499   LinOpclo 24500   ConFnccnfn 24506   LinFnclf 24507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472  ax-hilex 24552  ax-hfvadd 24553  ax-hvcom 24554  ax-hvass 24555  ax-hv0cl 24556  ax-hvaddid 24557  ax-hfvmul 24558  ax-hvmulid 24559  ax-hvmulass 24560  ax-hvdistr1 24561  ax-hvdistr2 24562  ax-hvmul0 24563  ax-hfi 24632  ax-his1 24635  ax-his2 24636  ax-his3 24637  ax-his4 24638

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-clim 13083  df-sum 13281  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-ntr 18755  df-cls 18756  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-t1 19049  df-haus 19050  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-grpo 23829  df-gid 23830  df-ginv 23831  df-gdiv 23832  df-ablo 23920  df-vc 24075  df-nv 24121  df-va 24124  df-ba 24125  df-sm 24126  df-0v 24127  df-vs 24128  df-nmcv 24129  df-ims 24130  df-dip 24247  df-ph 24364  df-hnorm 24521  df-hba 24522  df-hvsub 24524  df-nmop 25394  df-cnop 25395  df-lnop 25396  df-nmfn 25400  df-cnfn 25402  df-lnfn 25403

This theorem is referenced by:  cnlnadjlem3  25624  cnlnadjlem5  25626