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Theorem cnlnadjlem2 25440
Description: Lemma for cnlnadji 25448. 
G is a continuous linear functional. (Contributed by NM, 16-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadjlem.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadjlem.2  |-  T  e. 
ConOp
cnlnadjlem.3  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
Assertion
Ref Expression
cnlnadjlem2  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
Distinct variable group:    y, g, T
Allowed substitution hints:    G( y, g)

Proof of Theorem cnlnadjlem2
Dummy variables  w  z  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlnadjlem.1 . . . . . . . 8  |-  T  e. 
LinOp
21lnopfi 25341 . . . . . . 7  |-  T : ~H
--> ~H
32ffvelrni 5837 . . . . . 6  |-  ( g  e.  ~H  ->  ( T `  g )  e.  ~H )
4 hicl 24450 . . . . . 6  |-  ( ( ( T `  g
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  g )  .ih  y
)  e.  CC )
53, 4sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  g )  .ih  y
)  e.  CC )
65ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  g  e.  ~H )  ->  ( ( T `  g )  .ih  y
)  e.  CC )
7 cnlnadjlem.3 . . . 4  |-  G  =  ( g  e.  ~H  |->  ( ( T `  g )  .ih  y
) )
86, 7fmptd 5862 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  G : ~H --> CC )
9 hvmulcl 24383 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( x  .h  w
)  e.  ~H )
101lnopaddi 25343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  =  ( ( T `  ( x  .h  w ) )  +h  ( T `  z ) ) )
11103adant3 1008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( T `  ( (
x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( T `
 ( x  .h  w ) )  +h  ( T `  z
) ) )
1211oveq1d 6101 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) )  +h  ( T `  z ) )  .ih  y ) )
132ffvelrni 5837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  .h  w )  e.  ~H  ->  ( T `  ( x  .h  w ) )  e. 
~H )
142ffvelrni 5837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( T `  z )  e.  ~H )
15 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  y  e.  ~H )
16 ax-his2 24453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T `  (
x  .h  w ) )  e.  ~H  /\  ( T `  z )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  ( x  .h  w
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
1713, 14, 15, 16syl3an 1260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( ( T `  ( x  .h  w
) )  +h  ( T `  z )
)  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
1812, 17eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w ) ) 
.ih  y )  +  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
19183comr 1195 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  .ih  y
)  =  ( ( ( T `  (
x  .h  w ) )  .ih  y )  +  ( ( T `
 z )  .ih  y ) ) )
20193expa 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  .h  w
)  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  .ih  y )  =  ( ( ( T `  ( x  .h  w
) )  .ih  y
)  +  ( ( T `  z ) 
.ih  y ) ) )
219, 20sylanl2 651 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( ( x  .h  w )  +h  z ) ) 
.ih  y )  =  ( ( ( T `
 ( x  .h  w ) )  .ih  y )  +  ( ( T `  z
)  .ih  y )
) )
22 hvaddcl 24382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .h  w
)  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  w )  +h  z
)  e.  ~H )
239, 22sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  .h  w )  +h  z )  e.  ~H )
24 cnlnadjlem.2 . . . . . . . . 9  |-  T  e. 
ConOp
251, 24, 7cnlnadjlem1 25439 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  .h  w
)  +h  z )  e.  ~H  ->  ( G `  ( (
x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( T `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  .ih  y ) )
2623, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  /\  z  e.  ~H )  ->  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  =  ( ( T `  (
( x  .h  w
)  +h  z ) )  .ih  y ) )
2726adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( G `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( T `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  .ih  y
) )
282ffvelrni 5837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( T `  w )  e.  ~H )
29 ax-his3 24454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  CC  /\  ( T `  w )  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
3028, 29syl3an2 1252 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
31303comr 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  (
( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
32313expb 1188 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( (
x  .h  ( T `
 w ) ) 
.ih  y )  =  ( x  x.  (
( T `  w
)  .ih  y )
) )
331lnopmuli 25344 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( T `  (
x  .h  w ) )  =  ( x  .h  ( T `  w ) ) )
3433oveq1d 6101 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )  ->  ( ( T `  ( x  .h  w
) )  .ih  y
)  =  ( ( x  .h  ( T `
 w ) ) 
.ih  y ) )
3534adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( ( T `  ( x  .h  w ) )  .ih  y )  =  ( ( x  .h  ( T `  w )
)  .ih  y )
)
361, 24, 7cnlnadjlem1 25439 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ~H  ->  ( G `  w )  =  ( ( T `
 w )  .ih  y ) )
3736oveq2d 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ~H  ->  (
x  x.  ( G `
 w ) )  =  ( x  x.  ( ( T `  w )  .ih  y
) ) )
3837ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( x  x.  ( G `  w
) )  =  ( x  x.  ( ( T `  w ) 
.ih  y ) ) )
3932, 35, 383eqtr4rd 2481 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  ( x  x.  ( G `  w
) )  =  ( ( T `  (
x  .h  w ) )  .ih  y ) )
401, 24, 7cnlnadjlem1 25439 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( G `  z )  =  ( ( T `
 z )  .ih  y ) )
4139, 40oveqan12d 6105 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( ( x  x.  ( G `
 w ) )  +  ( G `  z ) )  =  ( ( ( T `
 ( x  .h  w ) )  .ih  y )  +  ( ( T `  z
)  .ih  y )
) )
4221, 27, 413eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  /\  z  e.  ~H )  ->  ( G `
 ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w
) )  +  ( G `  z ) ) )
4342ralrimiva 2794 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  ( x  e.  CC  /\  w  e.  ~H )
)  ->  A. z  e.  ~H  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z
) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w )
)  +  ( G `
 z ) ) )
4443ralrimivva 2803 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  A. x  e.  CC  A. w  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w ) )  +  ( G `  z
) ) )
45 ellnfn 25255 . . 3  |-  ( G  e.  LinFn 
<->  ( G : ~H --> CC  /\  A. x  e.  CC  A. w  e. 
~H  A. z  e.  ~H  ( G `  ( ( x  .h  w )  +h  z ) )  =  ( ( x  x.  ( G `  w ) )  +  ( G `  z
) ) ) )
468, 44, 45sylanbrc 664 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  G  e.  LinFn )
471, 24nmcopexi 25399 . . . . 5  |-  ( normop `  T )  e.  RR
48 normcl 24495 . . . . 5  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  RR )
49 remulcl 9359 . . . . 5  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
5047, 48, 49sylancr 663 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  e.  RR )
5140adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( G `  z
)  =  ( ( T `  z ) 
.ih  y ) )
52 hicl 24450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( T `  z
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  z )  .ih  y
)  e.  CC )
5314, 52sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( T `  z )  .ih  y
)  e.  CC )
5451, 53eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( G `  z
)  e.  CC )
5554abscld 12914 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  e.  RR )
56 normcl 24495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T `  z )  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR )
5714, 56syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR )
58 remulcl 9359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( normh `  ( T `  z
) )  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
5957, 48, 58syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( T `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
60 normcl 24495 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  z )  e.  RR )
61 remulcl 9359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  RR  /\  ( normh `  z )  e.  RR )  ->  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR )
6247, 60, 61sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ~H  ->  (
( normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  e.  RR )
63 remulcl 9359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR  /\  ( normh `  y )  e.  RR )  ->  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR )
6462, 48, 63syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y
) )  e.  RR )
6551fveq2d 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  =  ( abs `  ( ( T `  z )  .ih  y
) ) )
66 bcs 24551 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T `  z
)  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( T `  z
)  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  z ) )  x.  ( normh `  y )
) )
6714, 66sylan 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  (
( T `  z
)  .ih  y )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  z ) )  x.  ( normh `  y )
) )
6865, 67eqbrtrd 4307 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( ( normh `  ( T `  z ) )  x.  ( normh `  y )
) )
6957adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  e.  RR )
7062adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR )
71 normge0 24496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ~H  ->  0  <_  ( normh `  y )
)
7248, 71jca 532 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ~H  ->  (
( normh `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  y )
) )
7372adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  y
)  e.  RR  /\  0  <_  ( normh `  y
) ) )
741, 24nmcoplbi 25400 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) ) )
7574adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( normh `  ( T `  z ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) ) )
76 lemul1a 10175 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( normh `  ( T `  z )
)  e.  RR  /\  ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  e.  RR  /\  ( (
normh `  y )  e.  RR  /\  0  <_ 
( normh `  y )
) )  /\  ( normh `  ( T `  z ) )  <_ 
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) ) )  ->  ( ( normh `  ( T `  z
) )  x.  ( normh `  y ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) ) )
7769, 70, 73, 75, 76syl31anc 1221 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( normh `  ( T `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  <_ 
( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y
) ) )
7855, 59, 64, 68, 77letrd 9520 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) ) )
7960recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~H  ->  ( normh `  z )  e.  CC )
8048recnd 9404 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( normh `  y )  e.  CC )
8147recni 9390 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  T )  e.  CC
82 mul32 9528 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( normh `  z )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y )
)  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8381, 82mp3an1 1301 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( normh `  z )  e.  CC  /\  ( normh `  y )  e.  CC )  ->  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  z )
)  x.  ( normh `  y ) )  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  x.  ( normh `  z
) ) )
8479, 80, 83syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  z ) )  x.  ( normh `  y
) )  =  ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) )  x.  ( normh `  z )
) )
8578, 84breqtrd 4311 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  ~H  /\  y  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8685ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~H  /\  z  e.  ~H )  ->  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8786ralrimiva 2794 . . . 4  |-  ( y  e.  ~H  ->  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
88 oveq1 6093 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  ->  ( x  x.  ( normh `  z )
)  =  ( ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )
8988breq2d 4299 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  ->  ( ( abs `  ( G `  z
) )  <_  (
x  x.  ( normh `  z ) )  <->  ( abs `  ( G `  z
) )  <_  (
( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) )  x.  ( normh `  z )
) ) )
9089ralbidv 2730 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( normop `  T )  x.  ( normh `  y ) )  ->  ( A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  z )
)  <->  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `
 z ) )  <_  ( ( (
normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) ) )
9190rspcev 3068 . . . 4  |-  ( ( ( ( normop `  T
)  x.  ( normh `  y ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( (
( normop `  T )  x.  ( normh `  y )
)  x.  ( normh `  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  z ) ) )
9250, 87, 91syl2anc 661 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  z )
) )
93 lnfncon 25428 . . . 4  |-  ( G  e.  LinFn  ->  ( G  e.  ConFn 
<->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ~H  ( abs `  ( G `  z ) )  <_ 
( x  x.  ( normh `  z ) ) ) )
9446, 93syl 16 . . 3  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  ConFn  <->  E. x  e.  RR  A. z  e. 
~H  ( abs `  ( G `  z )
)  <_  ( x  x.  ( normh `  z )
) ) )
9592, 94mpbird 232 . 2  |-  ( y  e.  ~H  ->  G  e.  ConFn )
9646, 95jca 532 1  |-  ( y  e.  ~H  ->  ( G  e.  LinFn  /\  G  e.  ConFn ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   class class class wbr 4287    e. cmpt 4345   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274    + caddc 9277    x. cmul 9279    <_ cle 9411   abscabs 12715   ~Hchil 24289    +h cva 24290    .h csm 24291    .ih csp 24292   normhcno 24293   normopcnop 24315   ConOpccop 24316   LinOpclo 24317   ConFnccnfn 24323   LinFnclf 24324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354  ax-hilex 24369  ax-hfvadd 24370  ax-hvcom 24371  ax-hvass 24372  ax-hv0cl 24373  ax-hvaddid 24374  ax-hfvmul 24375  ax-hvmulid 24376  ax-hvmulass 24377  ax-hvdistr1 24378  ax-hvdistr2 24379  ax-hvmul0 24380  ax-hfi 24449  ax-his1 24452  ax-his2 24453  ax-his3 24454  ax-his4 24455
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-ntr 18604  df-cls 18605  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-t1 18898  df-haus 18899  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-grpo 23646  df-gid 23647  df-ginv 23648  df-gdiv 23649  df-ablo 23737  df-vc 23892  df-nv 23938  df-va 23941  df-ba 23942  df-sm 23943  df-0v 23944  df-vs 23945  df-nmcv 23946  df-ims 23947  df-dip 24064  df-ph 24181  df-hnorm 24338  df-hba 24339  df-hvsub 24341  df-nmop 25211  df-cnop 25212  df-lnop 25213  df-nmfn 25217  df-cnfn 25219  df-lnfn 25220
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