HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  cnlnadjeui Structured version   Unicode version

Theorem cnlnadjeui 25503
Description: Every continuous linear operator has a unique adjoint. Theorem 3.10 of [Beran] p. 104. (Contributed by NM, 18-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlnadj.1  |-  T  e. 
LinOp
cnlnadj.2  |-  T  e. 
ConOp
Assertion
Ref Expression
cnlnadjeui  |-  E! t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) )
Distinct variable group:    x, t, y, T

Proof of Theorem cnlnadjeui
StepHypRef Expression
1 cnlnadj.1 . . 3  |-  T  e. 
LinOp
2 cnlnadj.2 . . 3  |-  T  e. 
ConOp
31, 2cnlnadji 25502 . 2  |-  E. t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) )
4 adjmo 25258 . . 3  |-  E* t
( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y ) )
5 inss1 3591 . . . . . . . 8  |-  ( LinOp  i^i  ConOp )  C_  LinOp
65sseli 3373 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  t  e.  LinOp )
7 lnopf 25285 . . . . . . 7  |-  ( t  e.  LinOp  ->  t : ~H
--> ~H )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  ->  t : ~H --> ~H )
9 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) ) )  -> 
t : ~H --> ~H )
10 eqcom 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) )  <->  ( x  .ih  ( t `  y
) )  =  ( ( T `  x
)  .ih  y )
)
11102ralbii 2762 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  y
) )
121lnopfi 25395 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
13 adjsym 25259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( t `
 y ) )  =  ( ( T `
 x )  .ih  y )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) ) )
1412, 13mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( t : ~H --> ~H  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( t `  y ) )  =  ( ( T `  x )  .ih  y
)  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) ) )
1511, 14syl5bb 257 . . . . . . . 8  |-  ( t : ~H --> ~H  ->  ( A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) )  <->  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) ) )
1615biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) ) )  ->  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x )  .ih  y
) )
179, 16jca 532 . . . . . 6  |-  ( ( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) ) )  -> 
( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( x  .ih  ( T `
 y ) )  =  ( ( t `
 x )  .ih  y ) ) )
188, 17sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) )  ->  ( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) ) )
1918moimi 2320 . . . 4  |-  ( E* t ( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) )  ->  E* t ( t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) ) )
20 df-rmo 2744 . . . 4  |-  ( E* t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( t `  y ) )  <->  E* t
( t  e.  (
LinOp  i^i  ConOp )  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) ) )
2119, 20sylibr 212 . . 3  |-  ( E* t ( t : ~H --> ~H  /\  A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( x  .ih  ( T `  y ) )  =  ( ( t `  x ) 
.ih  y ) )  ->  E* t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) )
224, 21ax-mp 5 . 2  |-  E* t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) )
23 reu5 2957 . 2  |-  ( E! t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( t `  y ) )  <->  ( E. t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e. 
~H  A. y  e.  ~H  ( ( T `  x )  .ih  y
)  =  ( x 
.ih  ( t `  y ) )  /\  E* t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e. 
~H  ( ( T `
 x )  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `
 y ) ) ) )
243, 22, 23mpbir2an 911 1  |-  E! t  e.  ( LinOp  i^i  ConOp ) A. x  e.  ~H  A. y  e.  ~H  (
( T `  x
)  .ih  y )  =  ( x  .ih  ( t `  y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   E*wmo 2254   A.wral 2736   E.wrex 2737   E!wreu 2738   E*wrmo 2739    i^i cin 3348   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   ~Hchil 24343    .ih csp 24346   ConOpccop 24370   LinOpclo 24371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cc 8625  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382  ax-mulf 9383  ax-hilex 24423  ax-hfvadd 24424  ax-hvcom 24425  ax-hvass 24426  ax-hv0cl 24427  ax-hvaddid 24428  ax-hfvmul 24429  ax-hvmulid 24430  ax-hvmulass 24431  ax-hvdistr1 24432  ax-hvdistr2 24433  ax-hvmul0 24434  ax-hfi 24503  ax-his1 24506  ax-his2 24507  ax-his3 24508  ax-his4 24509  ax-hcompl 24626
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-iin 4195  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-supp 6712  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-ixp 7285  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fsupp 7642  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-sca 14275  df-vsca 14276  df-ip 14277  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-hom 14283  df-cco 14284  df-rest 14382  df-topn 14383  df-0g 14401  df-gsum 14402  df-topgen 14403  df-pt 14404  df-prds 14407  df-xrs 14461  df-qtop 14466  df-imas 14467  df-xps 14469  df-mre 14545  df-mrc 14546  df-acs 14548  df-mnd 15436  df-submnd 15486  df-mulg 15569  df-cntz 15856  df-cmn 16300  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-fbas 17836  df-fg 17837  df-cnfld 17841  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-topsp 18529  df-cld 18645  df-ntr 18646  df-cls 18647  df-nei 18724  df-cn 18853  df-cnp 18854  df-lm 18855  df-t1 18940  df-haus 18941  df-tx 19157  df-hmeo 19350  df-fil 19441  df-fm 19533  df-flim 19534  df-flf 19535  df-xms 19917  df-ms 19918  df-tms 19919  df-cfil 20788  df-cau 20789  df-cmet 20790  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-gdiv 23703  df-ablo 23791  df-subgo 23811  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-vs 23999  df-nmcv 24000  df-ims 24001  df-dip 24118  df-ssp 24142  df-ph 24235  df-cbn 24286  df-hnorm 24392  df-hba 24393  df-hvsub 24395  df-hlim 24396  df-hcau 24397  df-sh 24631  df-ch 24646  df-oc 24677  df-ch0 24678  df-nmop 25265  df-cnop 25266  df-lnop 25267  df-unop 25269  df-nmfn 25271  df-nlfn 25272  df-cnfn 25273  df-lnfn 25274
This theorem is referenced by:  cnlnadjeu  25504
  Copyright terms: Public domain W3C validator