Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnllyscon Structured version   Unicode version

Theorem cnllyscon 27086
Description: The topology of the complex numbers is locally simply connected. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllyscon.j  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnllyscon  |-  J  e. Locally SCon

Proof of Theorem cnllyscon
Dummy variables  u  r  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllyscon.j . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 20338 . 2  |-  J  e. 
Top
3 cnxmet 20327 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
41cnfldtopn 20336 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
54mopni2 20043 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
63, 5mp3an1 1301 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
73a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
81cnfldtopon 20337 . . . . . . . . 9  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
9 simpll 753 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  e.  J )
10 toponss 18509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  CC )  /\  x  e.  J )  ->  x  C_  CC )
118, 9, 10sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  C_  CC )
12 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  x )
1311, 12sseldd 3352 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  CC )
14 rpxr 10990 . . . . . . . 8  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
1514ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  r  e.  RR* )
164blopn 20050 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J
)
177, 13, 15, 16syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  J
)
18 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
)
19 vex 2970 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
2019elpw2 4451 . . . . . . 7  |-  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ~P x 
<->  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
2118, 20sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ~P x )
2217, 21elind 3535 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ( J  i^i  ~P x
) )
23 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  r  e.  RR+ )
24 blcntr 19963 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  r  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
257, 13, 23, 24syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
26 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  =  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )
27 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  =  ( Jt  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )
281, 26, 27blscon 27085 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  CC  /\  r  e.  RR* )  -> 
( Jt  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r ) )  e. SCon )
2913, 15, 28syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon )
30 eleq2 2499 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( y  e.  u  <->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
31 oveq2 6094 . . . . . . . 8  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( Jt  u
)  =  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) ) )
3231eleq1d 2504 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( ( Jt  u )  e. SCon  <->  ( Jt  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon
) )
3330, 32anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  ->  ( (
y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )  <->  ( y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon ) ) )
3433rspcev 3068 . . . . 5  |-  ( ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  e.  ( J  i^i  ~P x )  /\  (
y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  /\  ( Jt  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )  e. SCon ) )  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x
) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon ) )
3522, 25, 29, 34syl12anc 1216 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
)
366, 35rexlimddv 2840 . . 3  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x
) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon ) )
3736rgen2 2807 . 2  |-  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
38 islly 19047 . 2  |-  ( J  e. Locally SCon 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( J  i^i  ~P x ) ( y  e.  u  /\  ( Jt  u )  e. SCon )
) )
392, 37, 38mpbir2an 911 1  |-  J  e. Locally SCon
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711    i^i cin 3322    C_ wss 3323   ~Pcpw 3855    o. ccom 4839   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   CCcc 9272   RR*cxr 9409    - cmin 9587   RR+crp 10983   abscabs 12715   ↾t crest 14351   TopOpenctopn 14352   *Metcxmt 17776   ballcbl 17778  ℂfldccnfld 17793   Topctop 18473  TopOnctopon 18474  Locally clly 19043  SConcscon 27061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-lly 19045  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-ii 20428  df-htpy 20517  df-phtpy 20518  df-phtpc 20539  df-pcon 27062  df-scon 27063
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator