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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cnllycmp | Structured version Unicode version |
Description: The topology on the complex numbers is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.) |
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cnllycmp.1 |
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cnllycmp |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | cnllycmp.1 |
. . 3
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2 | 1 | cnfldtop 20496 |
. 2
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3 | cnxmet 20485 |
. . . . 5
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4 | 1 | cnfldtopn 20494 |
. . . . . 6
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5 | 4 | mopni2 20201 |
. . . . 5
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6 | 3, 5 | mp3an1 1302 |
. . . 4
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7 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . 7
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8 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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9 | elssuni 4230 |
. . . . . . . . . . . 12
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10 | 9 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 1 | cnfldtopon 20495 |
. . . . . . . . . . . 12
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12 | 11 | toponunii 18670 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | 10, 12 | syl6sseqr 3512 |
. . . . . . . . . 10
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14 | simplr 754 |
. . . . . . . . . 10
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15 | 13, 14 | sseldd 3466 |
. . . . . . . . 9
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16 | rphalfcl 11127 |
. . . . . . . . . . 11
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17 | 16 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . 10
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18 | 17 | rpxrd 11140 |
. . . . . . . . 9
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19 | 4 | blopn 20208 |
. . . . . . . . 9
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20 | 8, 15, 18, 19 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . 8
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21 | blcntr 20121 |
. . . . . . . . 9
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22 | 8, 15, 17, 21 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . 8
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23 | opnneip 18856 |
. . . . . . . 8
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24 | 7, 20, 22, 23 | syl3anc 1219 |
. . . . . . 7
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25 | blssm 20126 |
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26 | 8, 15, 18, 25 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . 8
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27 | 12 | sscls 18793 |
. . . . . . . 8
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28 | 7, 26, 27 | syl2anc 661 |
. . . . . . 7
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29 | rpxr 11110 |
. . . . . . . . . . 11
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30 | 29 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . 10
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31 | rphalflt 11129 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 31 | ad2antrl 727 |
. . . . . . . . . 10
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33 | 4 | blsscls 20215 |
. . . . . . . . . 10
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34 | 8, 15, 18, 30, 32, 33 | syl23anc 1226 |
. . . . . . . . 9
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35 | simprr 756 |
. . . . . . . . 9
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36 | 34, 35 | sstrd 3475 |
. . . . . . . 8
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37 | 36, 13 | sstrd 3475 |
. . . . . . 7
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38 | 12 | ssnei2 18853 |
. . . . . . 7
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39 | 7, 24, 28, 37, 38 | syl22anc 1220 |
. . . . . 6
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40 | vex 3081 |
. . . . . . . 8
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41 | 40 | elpw2 4565 |
. . . . . . 7
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42 | 36, 41 | sylibr 212 |
. . . . . 6
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43 | 39, 42 | elind 3649 |
. . . . 5
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44 | 12 | clscld 18784 |
. . . . . . 7
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45 | 7, 26, 44 | syl2anc 661 |
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46 | 15 | abscld 13041 |
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47 | 17 | rpred 11139 |
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48 | 46, 47 | readdcld 9525 |
. . . . . . 7
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49 | eqid 2454 |
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50 | 4, 49 | blcls 20214 |
. . . . . . . . 9
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51 | 8, 15, 18, 50 | syl3anc 1219 |
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52 | simpr 461 |
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53 | 15 | adantr 465 |
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54 | 52, 53 | abs2difd 13062 |
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57 | 55, 56 | resubcld 9888 |
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58 | 52, 53 | subcld 9831 |
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59 | 58 | abscld 13041 |
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60 | 47 | adantr 465 |
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61 | letr 9580 |
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62 | 57, 59, 60, 61 | syl3anc 1219 |
. . . . . . . . . . . 12
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63 | 54, 62 | mpand 675 |
. . . . . . . . . . 11
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64 | 52, 53 | abssubd 13058 |
. . . . . . . . . . . . 13
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65 | eqid 2454 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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66 | 65 | cnmetdval 20483 |
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67 | 15, 66 | sylan 471 |
. . . . . . . . . . . . 13
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68 | 64, 67 | eqtr4d 2498 |
. . . . . . . . . . . 12
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69 | 68 | breq1d 4411 |
. . . . . . . . . . 11
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70 | 55, 56, 60 | lesubadd2d 10050 |
. . . . . . . . . . 11
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71 | 63, 69, 70 | 3imtr3d 267 |
. . . . . . . . . 10
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72 | 71 | ralrimiva 2830 |
. . . . . . . . 9
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73 | oveq2 6209 |
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74 | 73 | breq1d 4411 |
. . . . . . . . . 10
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75 | 74 | ralrab 3228 |
. . . . . . . . 9
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76 | 72, 75 | sylibr 212 |
. . . . . . . 8
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77 | ssralv 3525 |
. . . . . . . 8
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78 | 51, 76, 77 | sylc 60 |
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79 | breq2 4405 |
. . . . . . . . 9
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80 | 79 | ralbidv 2846 |
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81 | 80 | rspcev 3179 |
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82 | 48, 78, 81 | syl2anc 661 |
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83 | eqid 2454 |
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84 | 1, 83 | cnheibor 20660 |
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85 | 37, 84 | syl 16 |
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86 | 45, 82, 85 | mpbir2and 913 |
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87 | oveq2 6209 |
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88 | 87 | eleq1d 2523 |
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89 | 88 | rspcev 3179 |
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90 | 43, 86, 89 | syl2anc 661 |
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91 | 6, 90 | rexlimddv 2951 |
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92 | 91 | rgen2 2918 |
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93 | isnlly 19206 |
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94 | 2, 92, 93 | mpbir2an 911 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1955 ax-ext 2432 ax-rep 4512 ax-sep 4522 ax-nul 4530 ax-pow 4579 ax-pr 4640 ax-un 6483 ax-inf2 7959 ax-cnex 9450 ax-resscn 9451 ax-1cn 9452 ax-icn 9453 ax-addcl 9454 ax-addrcl 9455 ax-mulcl 9456 ax-mulrcl 9457 ax-mulcom 9458 ax-addass 9459 ax-mulass 9460 ax-distr 9461 ax-i2m1 9462 ax-1ne0 9463 ax-1rid 9464 ax-rnegex 9465 ax-rrecex 9466 ax-cnre 9467 ax-pre-lttri 9468 ax-pre-lttrn 9469 ax-pre-ltadd 9470 ax-pre-mulgt0 9471 ax-pre-sup 9472 ax-addf 9473 ax-mulf 9474 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2266 df-mo 2267 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2604 df-ne 2650 df-nel 2651 df-ral 2804 df-rex 2805 df-reu 2806 df-rmo 2807 df-rab 2808 df-v 3080 df-sbc 3295 df-csb 3397 df-dif 3440 df-un 3442 df-in 3444 df-ss 3451 df-pss 3453 df-nul 3747 df-if 3901 df-pw 3971 df-sn 3987 df-pr 3989 df-tp 3991 df-op 3993 df-uni 4201 df-int 4238 df-iun 4282 df-iin 4283 df-br 4402 df-opab 4460 df-mpt 4461 df-tr 4495 df-eprel 4741 df-id 4745 df-po 4750 df-so 4751 df-fr 4788 df-se 4789 df-we 4790 df-ord 4831 df-on 4832 df-lim 4833 df-suc 4834 df-xp 4955 df-rel 4956 df-cnv 4957 df-co 4958 df-dm 4959 df-rn 4960 df-res 4961 df-ima 4962 df-iota 5490 df-fun 5529 df-fn 5530 df-f 5531 df-f1 5532 df-fo 5533 df-f1o 5534 df-fv 5535 df-isom 5536 df-riota 6162 df-ov 6204 df-oprab 6205 df-mpt2 6206 df-of 6431 df-om 6588 df-1st 6688 df-2nd 6689 df-supp 6802 df-recs 6943 df-rdg 6977 df-1o 7031 df-2o 7032 df-oadd 7035 df-er 7212 df-map 7327 df-ixp 7375 df-en 7422 df-dom 7423 df-sdom 7424 df-fin 7425 df-fsupp 7733 df-fi 7773 df-sup 7803 df-oi 7836 df-card 8221 df-cda 8449 df-pnf 9532 df-mnf 9533 df-xr 9534 df-ltxr 9535 df-le 9536 df-sub 9709 df-neg 9710 df-div 10106 df-nn 10435 df-2 10492 df-3 10493 df-4 10494 df-5 10495 df-6 10496 df-7 10497 df-8 10498 df-9 10499 df-10 10500 df-n0 10692 df-z 10759 df-dec 10868 df-uz 10974 df-q 11066 df-rp 11104 df-xneg 11201 df-xadd 11202 df-xmul 11203 df-ioo 11416 df-icc 11419 df-fz 11556 df-fzo 11667 df-seq 11925 df-exp 11984 df-hash 12222 df-cj 12707 df-re 12708 df-im 12709 df-sqr 12843 df-abs 12844 df-struct 14295 df-ndx 14296 df-slot 14297 df-base 14298 df-sets 14299 df-ress 14300 df-plusg 14371 df-mulr 14372 df-starv 14373 df-sca 14374 df-vsca 14375 df-ip 14376 df-tset 14377 df-ple 14378 df-ds 14380 df-unif 14381 df-hom 14382 df-cco 14383 df-rest 14481 df-topn 14482 df-0g 14500 df-gsum 14501 df-topgen 14502 df-pt 14503 df-prds 14506 df-xrs 14560 df-qtop 14565 df-imas 14566 df-xps 14568 df-mre 14644 df-mrc 14645 df-acs 14647 df-mnd 15535 df-submnd 15585 df-mulg 15668 df-cntz 15955 df-cmn 16401 df-psmet 17935 df-xmet 17936 df-met 17937 df-bl 17938 df-mopn 17939 df-cnfld 17945 df-top 18636 df-bases 18638 df-topon 18639 df-topsp 18640 df-cld 18756 df-cls 18758 df-nei 18835 df-cn 18964 df-cnp 18965 df-haus 19052 df-cmp 19123 df-nlly 19204 df-tx 19268 df-hmeo 19461 df-xms 20028 df-ms 20029 df-tms 20030 df-cncf 20587 |
This theorem is referenced by: rellycmp 20662 |
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