Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnllycmp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnllycmp 22062
 Description: The topology on the complex numbers is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllycmp.1 fld
Assertion
Ref Expression
cnllycmp 𝑛Locally

Proof of Theorem cnllycmp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllycmp.1 . . 3 fld
21cnfldtop 21882 . 2
3 cnxmet 21871 . . . . 5
41cnfldtopn 21880 . . . . . 6
54mopni2 21586 . . . . 5
63, 5mp3an1 1377 . . . 4
72a1i 11 . . . . . . 7
83a1i 11 . . . . . . . . 9
9 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . 12
109ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
111cnfldtopon 21881 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
1211toponunii 20024 . . . . . . . . . . 11
1310, 12syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . 10
14 simplr 770 . . . . . . . . . 10
1513, 14sseldd 3419 . . . . . . . . 9
16 rphalfcl 11350 . . . . . . . . . . 11
1716ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10
1817rpxrd 11365 . . . . . . . . 9
194blopn 21593 . . . . . . . . 9
208, 15, 18, 19syl3anc 1292 . . . . . . . 8
21 blcntr 21506 . . . . . . . . 9
228, 15, 17, 21syl3anc 1292 . . . . . . . 8
23 opnneip 20212 . . . . . . . 8
247, 20, 22, 23syl3anc 1292 . . . . . . 7
25 blssm 21511 . . . . . . . . 9
268, 15, 18, 25syl3anc 1292 . . . . . . . 8
2712sscls 20148 . . . . . . . 8
287, 26, 27syl2anc 673 . . . . . . 7
29 rpxr 11332 . . . . . . . . . . 11
3029ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10
31 rphalflt 11352 . . . . . . . . . . 11
3231ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10
334blsscls 21600 . . . . . . . . . 10
348, 15, 18, 30, 32, 33syl23anc 1299 . . . . . . . . 9
35 simprr 774 . . . . . . . . 9
3634, 35sstrd 3428 . . . . . . . 8
3736, 13sstrd 3428 . . . . . . 7
3812ssnei2 20209 . . . . . . 7
397, 24, 28, 37, 38syl22anc 1293 . . . . . 6
40 vex 3034 . . . . . . . 8
4140elpw2 4565 . . . . . . 7
4236, 41sylibr 217 . . . . . 6
4339, 42elind 3609 . . . . 5
4412clscld 20139 . . . . . . 7
457, 26, 44syl2anc 673 . . . . . 6
4615abscld 13575 . . . . . . . 8
4717rpred 11364 . . . . . . . 8
4846, 47readdcld 9688 . . . . . . 7
49 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
504, 49blcls 21599 . . . . . . . . 9
518, 15, 18, 50syl3anc 1292 . . . . . . . 8
52 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
5315adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
5452, 53abs2difd 13596 . . . . . . . . . . . 12
5552abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . 14
5646adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
5755, 56resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . 13
5852, 53subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . 14
5958abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13
6047adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
61 letr 9745 . . . . . . . . . . . . 13
6257, 59, 60, 61syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12
6354, 62mpand 689 . . . . . . . . . . 11
6452, 53abssubd 13592 . . . . . . . . . . . . 13
65 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665cnmetdval 21869 . . . . . . . . . . . . . 14
6715, 66sylan 479 . . . . . . . . . . . . 13
6864, 67eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12
6968breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11
7055, 56, 60lesubadd2d 10233 . . . . . . . . . . 11
7163, 69, 703imtr3d 275 . . . . . . . . . 10
7271ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9
73 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11
7473breq1d 4405 . . . . . . . . . 10
7574ralrab 3188 . . . . . . . . 9
7672, 75sylibr 217 . . . . . . . 8
77 ssralv 3479 . . . . . . . 8
7851, 76, 77sylc 61 . . . . . . 7
79 breq2 4399 . . . . . . . . 9
8079ralbidv 2829 . . . . . . . 8
8180rspcev 3136 . . . . . . 7
8248, 78, 81syl2anc 673 . . . . . 6
83 eqid 2471 . . . . . . . 8 t t
841, 83cnheibor 22061 . . . . . . 7 t
8537, 84syl 17 . . . . . 6 t
8645, 82, 85mpbir2and 936 . . . . 5 t
87 oveq2 6316 . . . . . . 7 t t
8887eleq1d 2533 . . . . . 6 t t
8988rspcev 3136 . . . . 5 t t
9043, 86, 89syl2anc 673 . . . 4 t
916, 90rexlimddv 2875 . . 3 t
9291rgen2 2818 . 2 t
93 isnlly 20561 . 2 𝑛Locally t
942, 92, 93mpbir2an 934 1 𝑛Locally
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   cin 3389   wss 3390  cpw 3942  csn 3959  cuni 4190   class class class wbr 4395   ccom 4843  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556   caddc 9560  cxr 9692   clt 9693   cle 9694   cmin 9880   cdiv 10291  c2 10681  crp 11325  cabs 13374   ↾t crest 15397  ctopn 15398  cxmt 19032  cbl 19034  ℂfldccnfld 19047  ctop 19994  ccld 20108  ccl 20110  cnei 20190  ccmp 20478  𝑛Locally cnlly 20557 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-nlly 20559  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988 This theorem is referenced by:  rellycmp  22063
 Copyright terms: Public domain W3C validator