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Theorem cnllycmp 22062
Description: The topology on the complex numbers is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllycmp.1 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
Assertion
Ref Expression
cnllycmp |- J e. 𝑛Locally Comp
Proof of Theorem cnllycmp
Dummy variables s r u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllycmp.1 . . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
21cnfldtop 21882 . 2 |- J e. Top
3 cnxmet 21871 . . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
41cnfldtopn 21880 . . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
54mopni2 21586 . . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. J /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
63, 5mp3an1 1377 . . . 4 |- ( ( x e. J /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
72a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> J e. Top )
83a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
9 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
109ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> x C_ U. J )
111cnfldtopon 21881 . . . . . . . . . . . 12 |- J e. (TopOn ` CC )
1211toponunii 20024 . . . . . . . . . . 11 |- CC = U. J
1310, 12syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> x C_ CC )
14 simplr 770 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. x )
1513, 14sseldd 3419 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. CC )
16 rphalfcl 11350 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR+ )
1716ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
1817rpxrd 11365 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR* )
194blopn 21593 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J )
208, 15, 18, 19syl3anc 1292 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J )
21 blcntr 21506 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR+ ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) )
228, 15, 17, 21syl3anc 1292 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) )
23 opnneip 20212 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J /\ y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
247, 20, 22, 23syl3anc 1292 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
25 blssm 21511 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC )
268, 15, 18, 25syl3anc 1292 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC )
2712sscls 20148 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) )
287, 26, 27syl2anc 673 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) )
29 rpxr 11332 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
3029ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> r e. RR* )
31 rphalflt 11352 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) < r )
3231ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) < r )
334blsscls 21600 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( r / 2 ) e. RR* /\ r e. RR* /\ ( r / 2 ) < r ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
348, 15, 18, 30, 32, 33syl23anc 1299 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
35 simprr 774 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
3634, 35sstrd 3428 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ x )
3736, 13sstrd 3428 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC )
3812ssnei2 20209 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ) /\ ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
397, 24, 28, 37, 38syl22anc 1293 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
40 vex 3034 . . . . . . . 8 |- x e. _V
4140elpw2 4565 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ~P x <-> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ x )
4236, 41sylibr 217 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ~P x )
4339, 42elind 3609 . . . . 5 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) )
4412clscld 20139 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) )
457, 26, 44syl2anc 673 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) )
4615abscld 13575 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( abs ` y ) e. RR )
4717rpred 11364 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR )
4846, 47readdcld 9688 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) e. RR )
49 eqid 2471 . . . . . . . . . 10 |- { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } = { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) }
504, 49blcls 21599 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } )
518, 15, 18, 50syl3anc 1292 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } )
52 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC )
5315adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> y e. CC )
5452, 53abs2difd 13596 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) )
5552abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` z ) e. RR )
5646adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` y ) e. RR )
5755, 56resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) e. RR )
5852, 53subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( z - y ) e. CC )
5958abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) e. RR )
6047adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( r / 2 ) e. RR )
61 letr 9745 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) e. RR /\ ( abs ` ( z - y ) ) e. RR /\ ( r / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) )
6354, 62mpand 689 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) )
6452, 53abssubd 13592 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
65 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
6665cnmetdval 21869 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
6715, 66sylan 479 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
6864, 67eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( y ( abs o. - ) z ) )
6968breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) ) )
7055, 56, 60lesubadd2d 10233 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) <-> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7163, 69, 703imtr3d 275 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7271ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. CC ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
73 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( y ( abs o. - ) w ) = ( y ( abs o. - ) z ) )
7473breq1d 4405 . . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) ) )
7574ralrab 3188 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) <-> A. z e. CC ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7672, 75sylibr 217 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) )
77 ssralv 3479 . . . . . . . 8 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } -> ( A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7851, 76, 77sylc 61 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) )
79 breq2 4399 . . . . . . . . 9 |- ( s = ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) <_ s <-> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
8079ralbidv 2829 . . . . . . . 8 |- ( s = ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> ( A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s <-> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
8180rspcev 3136 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) e. RR /\ A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) -> E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s )
8248, 78, 81syl2anc 673 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s )
83 eqid 2471 . . . . . . . 8 |- ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) = ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) )
841, 83cnheibor 22061 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp <-> ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) /\ E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s ) ) )
8537, 84syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp <-> ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) /\ E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s ) ) )
8645, 82, 85mpbir2and 936 . . . . 5 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp )
87 oveq2 6316 . . . . . . 7 |- ( u = ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( J ↾t u ) = ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) )
8887eleq1d 2533 . . . . . 6 |- ( u = ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( ( J ↾t u ) e. Comp <-> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp ) )
8988rspcev 3136 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp )
9043, 86, 89syl2anc 673 . . . 4 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp )
916, 90rexlimddv 2875 . . 3 |- ( ( x e. J /\ y e. x ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp )
9291rgen2 2818 . 2 |- A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp
93 isnlly 20561 . 2 |- ( J e. 𝑛Locally Comp <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp ) )
942, 92, 93mpbir2an 934 1 |- J e. 𝑛Locally Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   i^i cin 3389   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   o. ccom 4843   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   + caddc 9560   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   - cmin 9880   / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   abscabs 13374   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034  ℂfldccnfld 19047   Topctop 19994   Clsdccld 20108   clsccl 20110   neicnei 20190   Compccmp 20478  𝑛Locally cnlly 20557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-nlly 20559  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988
This theorem is referenced by:  rellycmp  22063
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