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Theorem cnllycmp 21880
Description: The topology on the complex numbers is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllycmp.1 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
Assertion
Ref Expression
cnllycmp |- J e. 𝑛Locally Comp
Proof of Theorem cnllycmp
Dummy variables s r u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllycmp.1 . . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
21cnfldtop 21715 . 2 |- J e. Top
3 cnxmet 21704 . . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
41cnfldtopn 21713 . . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
54mopni2 21439 . . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. J /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
63, 5mp3an1 1347 . . . 4 |- ( ( x e. J /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
72a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> J e. Top )
83a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
9 elssuni 4251 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
109ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> x C_ U. J )
111cnfldtopon 21714 . . . . . . . . . . . 12 |- J e. (TopOn ` CC )
1211toponunii 19878 . . . . . . . . . . 11 |- CC = U. J
1310, 12syl6sseqr 3517 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> x C_ CC )
14 simplr 760 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. x )
1513, 14sseldd 3471 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. CC )
16 rphalfcl 11327 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR+ )
1716ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
1817rpxrd 11342 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR* )
194blopn 21446 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J )
208, 15, 18, 19syl3anc 1264 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J )
21 blcntr 21359 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR+ ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) )
228, 15, 17, 21syl3anc 1264 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) )
23 opnneip 20066 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J /\ y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
247, 20, 22, 23syl3anc 1264 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
25 blssm 21364 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC )
268, 15, 18, 25syl3anc 1264 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC )
2712sscls 20002 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) )
287, 26, 27syl2anc 665 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) )
29 rpxr 11309 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
3029ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> r e. RR* )
31 rphalflt 11329 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) < r )
3231ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) < r )
334blsscls 21453 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( r / 2 ) e. RR* /\ r e. RR* /\ ( r / 2 ) < r ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
348, 15, 18, 30, 32, 33syl23anc 1271 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
35 simprr 764 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
3634, 35sstrd 3480 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ x )
3736, 13sstrd 3480 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC )
3812ssnei2 20063 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ) /\ ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
397, 24, 28, 37, 38syl22anc 1265 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
40 vex 3090 . . . . . . . 8 |- x e. _V
4140elpw2 4589 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ~P x <-> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ x )
4236, 41sylibr 215 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ~P x )
4339, 42elind 3656 . . . . 5 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) )
4412clscld 19993 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) )
457, 26, 44syl2anc 665 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) )
4615abscld 13476 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( abs ` y ) e. RR )
4717rpred 11341 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR )
4846, 47readdcld 9669 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) e. RR )
49 eqid 2429 . . . . . . . . . 10 |- { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } = { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) }
504, 49blcls 21452 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } )
518, 15, 18, 50syl3anc 1264 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } )
52 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC )
5315adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> y e. CC )
5452, 53abs2difd 13497 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) )
5552abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` z ) e. RR )
5646adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` y ) e. RR )
5755, 56resubcld 10046 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) e. RR )
5852, 53subcld 9985 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( z - y ) e. CC )
5958abscld 13476 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) e. RR )
6047adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( r / 2 ) e. RR )
61 letr 9726 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) e. RR /\ ( abs ` ( z - y ) ) e. RR /\ ( r / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) )
6354, 62mpand 679 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) )
6452, 53abssubd 13493 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
65 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
6665cnmetdval 21702 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
6715, 66sylan 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
6864, 67eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( y ( abs o. - ) z ) )
6968breq1d 4436 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) ) )
7055, 56, 60lesubadd2d 10211 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) <-> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7163, 69, 703imtr3d 270 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7271ralrimiva 2846 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. CC ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
73 oveq2 6313 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( y ( abs o. - ) w ) = ( y ( abs o. - ) z ) )
7473breq1d 4436 . . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) ) )
7574ralrab 3239 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) <-> A. z e. CC ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7672, 75sylibr 215 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) )
77 ssralv 3531 . . . . . . . 8 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } -> ( A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7851, 76, 77sylc 62 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) )
79 breq2 4430 . . . . . . . . 9 |- ( s = ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) <_ s <-> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
8079ralbidv 2871 . . . . . . . 8 |- ( s = ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> ( A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s <-> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
8180rspcev 3188 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) e. RR /\ A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) -> E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s )
8248, 78, 81syl2anc 665 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s )
83 eqid 2429 . . . . . . . 8 |- ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) = ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) )
841, 83cnheibor 21879 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp <-> ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) /\ E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s ) ) )
8537, 84syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp <-> ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) /\ E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s ) ) )
8645, 82, 85mpbir2and 930 . . . . 5 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp )
87 oveq2 6313 . . . . . . 7 |- ( u = ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( J ↾t u ) = ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) )
8887eleq1d 2498 . . . . . 6 |- ( u = ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( ( J ↾t u ) e. Comp <-> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp ) )
8988rspcev 3188 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp )
9043, 86, 89syl2anc 665 . . . 4 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp )
916, 90rexlimddv 2928 . . 3 |- ( ( x e. J /\ y e. x ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp )
9291rgen2 2857 . 2 |- A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp
93 isnlly 20415 . 2 |- ( J e. 𝑛Locally Comp <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp ) )
942, 92, 93mpbir2an 928 1 |- J e. 𝑛Locally Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   i^i cin 3441   C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   {csn 4002   U.cuni 4222   class class class wbr 4426   o. ccom 4858   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   + caddc 9541   RR*cxr 9673   < clt 9674   <_ cle 9675   - cmin 9859   / cdiv 10268   2c2 10659   RR+crp 11302   abscabs 13276   ↾t crest 15278   TopOpenctopn 15279   *Metcxmt 18890   ballcbl 18892  ℂfldccnfld 18905   Topctop 19848   Clsdccld 19962   clsccl 19964   neicnei 20044   Compccmp 20332  𝑛Locally cnlly 20411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-nlly 20413  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806
This theorem is referenced by:  rellycmp  21881
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