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Theorem cnllycmp 21880
Description: The topology on the complex numbers is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllycmp.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnllycmp  |-  J  e. 𝑛Locally  Comp

Proof of Theorem cnllycmp
Dummy variables  s 
r  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllycmp.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 21715 . 2  |-  J  e. 
Top
3 cnxmet 21704 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
41cnfldtopn 21713 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
54mopni2 21439 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
63, 5mp3an1 1347 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
72a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  J  e.  Top )
83a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
9 elssuni 4251 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
109ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  C_ 
U. J )
111cnfldtopon 21714 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1211toponunii 19878 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  U. J
1310, 12syl6sseqr 3517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  C_  CC )
14 simplr 760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  x )
1513, 14sseldd 3471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  CC )
16 rphalfcl 11327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
1716ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
1817rpxrd 11342 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR* )
194blopn 21446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  e.  J
)
208, 15, 18, 19syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  e.  J
)
21 blcntr 21359 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) )
228, 15, 17, 21syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) )
23 opnneip 20066 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) )  e.  J  /\  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) )  ->  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) )  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )
247, 20, 22, 23syl3anc 1264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
25 blssm 21364 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  CC )
268, 15, 18, 25syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  CC )
2712sscls 20002 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) 
C_  CC )  -> 
( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) ) )
287, 26, 27syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )
29 rpxr 11309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
3029ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  r  e.  RR* )
31 rphalflt 11329 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  < 
r )
3231ad2antrl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  <  r )
334blsscls 21453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC )  /\  ( ( r  /  2 )  e. 
RR*  /\  r  e.  RR* 
/\  ( r  / 
2 )  <  r
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
348, 15, 18, 30, 32, 33syl23anc 1271 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
35 simprr 764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
)
3634, 35sstrd 3480 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  x
)
3736, 13sstrd 3480 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  CC )
3812ssnei2 20063 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) )  e.  ( ( nei `  J ) `  {
y } ) )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  /\  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  CC ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
397, 24, 28, 37, 38syl22anc 1265 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
40 vex 3090 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
4140elpw2 4589 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ~P x 
<->  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  x
)
4236, 41sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ~P x )
4339, 42elind 3656 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) )
4412clscld 19993 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) 
C_  CC )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
457, 26, 44syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
4615abscld 13476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
4717rpred 11341 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR )
4846, 47readdcld 9669 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR )
49 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  =  {
w  e.  CC  | 
( y ( abs 
o.  -  ) w
)  <_  ( r  /  2 ) }
504, 49blcls 21452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) } )
518, 15, 18, 50syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) } )
52 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
5315adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
5452, 53abs2difd 13497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( abs `  (
z  -  y ) ) )
5552abscld 13476 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
5646adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
5755, 56resubcld 10046 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  e.  RR )
5852, 53subcld 9985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  -  y )  e.  CC )
5958abscld 13476 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  e.  RR )
6047adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR )
61 letr 9726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( abs `  (
z  -  y ) )  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <_  (
r  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  y ) )  <_  ( r  /  2 ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( ( ( abs `  z )  -  ( abs `  y ) )  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <_  (
r  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  y ) )  <_  ( r  /  2 ) ) )
6354, 62mpand 679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <_  ( r  /  2 )  -> 
( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( r  /  2
) ) )
6452, 53abssubd 13493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
65 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
6665cnmetdval 21702 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
6715, 66sylan 473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
y ( abs  o.  -  ) z )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
6864, 67eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( y ( abs 
o.  -  ) z
) )
6968breq1d 4436 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <_  ( r  /  2 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <_  (
r  /  2 ) ) )
7055, 56, 60lesubadd2d 10211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( r  /  2
)  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
7163, 69, 703imtr3d 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( y ( abs 
o.  -  ) z
)  <_  ( r  /  2 )  -> 
( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
7271ralrimiva 2846 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  A. z  e.  CC  ( ( y ( abs  o.  -  ) z )  <_ 
( r  /  2
)  ->  ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) ) )
73 oveq2 6313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
y ( abs  o.  -  ) w )  =  ( y ( abs  o.  -  )
z ) )
7473breq1d 4436 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( y ( abs 
o.  -  ) w
)  <_  ( r  /  2 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <_  (
r  /  2 ) ) )
7574ralrab 3239 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  <->  A. z  e.  CC  ( ( y ( abs  o.  -  )
z )  <_  (
r  /  2 )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
7672, 75sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  A. z  e.  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  )
w )  <_  (
r  /  2 ) }  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) )
77 ssralv 3531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  ->  ( A. z  e.  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  ->  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) ) )
7851, 76, 77sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) )
79 breq2 4430 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  z )  <_ 
s  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
8079ralbidv 2871 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2 ) )  ->  ( A. z  e.  ( ( cls `  J ) `  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z
)  <_  s  <->  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) ) )
8180rspcev 3188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ( ( cls `  J ) `  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) )  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
)
8248, 78, 81syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
)
83 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  =  ( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) ) )
841, 83cnheibor 21879 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  CC  ->  ( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp 
<->  ( ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
) ) )
8537, 84syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) ) )  e.  Comp  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  (
Clsd `  J )  /\  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
) ) )
8645, 82, 85mpbir2and 930 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp )
87 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) )  -> 
( Jt  u )  =  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ) )
8887eleq1d 2498 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) )  -> 
( ( Jt  u )  e.  Comp  <->  ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp ) )
8988rspcev 3188 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
9043, 86, 89syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
916, 90rexlimddv 2928 . . 3  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
9291rgen2 2857 . 2  |-  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp
93 isnlly 20415 . 2  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  (
( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
)
942, 92, 93mpbir2an 928 1  |-  J  e. 𝑛Locally  Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786    i^i cin 3441    C_ wss 3442   ~Pcpw 3985   {csn 4002   U.cuni 4222   class class class wbr 4426    o. ccom 4858   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537    + caddc 9541   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675    - cmin 9859    / cdiv 10268   2c2 10659   RR+crp 11302   abscabs 13276   ↾t crest 15278   TopOpenctopn 15279   *Metcxmt 18890   ballcbl 18892  ℂfldccnfld 18905   Topctop 19848   Clsdccld 19962   clsccl 19964   neicnei 20044   Compccmp 20332  𝑛Locally cnlly 20411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-haus 20262  df-cmp 20333  df-nlly 20413  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806
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