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Theorem cnllycmp 22062
Description: The topology on the complex numbers is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllycmp.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnllycmp  |-  J  e. 𝑛Locally  Comp

Proof of Theorem cnllycmp
Dummy variables  s 
r  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllycmp.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 21882 . 2  |-  J  e. 
Top
3 cnxmet 21871 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
41cnfldtopn 21880 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
54mopni2 21586 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
63, 5mp3an1 1377 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
72a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  J  e.  Top )
83a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
9 elssuni 4219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
109ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  C_ 
U. J )
111cnfldtopon 21881 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1211toponunii 20024 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  U. J
1310, 12syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  C_  CC )
14 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  x )
1513, 14sseldd 3419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  CC )
16 rphalfcl 11350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
1716ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
1817rpxrd 11365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR* )
194blopn 21593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  e.  J
)
208, 15, 18, 19syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  e.  J
)
21 blcntr 21506 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) )
228, 15, 17, 21syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) )
23 opnneip 20212 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) )  e.  J  /\  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) )  ->  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) )  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )
247, 20, 22, 23syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
25 blssm 21511 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  CC )
268, 15, 18, 25syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  CC )
2712sscls 20148 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) 
C_  CC )  -> 
( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) ) )
287, 26, 27syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )
29 rpxr 11332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
3029ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  r  e.  RR* )
31 rphalflt 11352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  < 
r )
3231ad2antrl 742 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  <  r )
334blsscls 21600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC )  /\  ( ( r  /  2 )  e. 
RR*  /\  r  e.  RR* 
/\  ( r  / 
2 )  <  r
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
348, 15, 18, 30, 32, 33syl23anc 1299 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
35 simprr 774 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
)
3634, 35sstrd 3428 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  x
)
3736, 13sstrd 3428 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  CC )
3812ssnei2 20209 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) )  e.  ( ( nei `  J ) `  {
y } ) )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  /\  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  CC ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
397, 24, 28, 37, 38syl22anc 1293 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
40 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
4140elpw2 4565 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ~P x 
<->  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  x
)
4236, 41sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ~P x )
4339, 42elind 3609 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) )
4412clscld 20139 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) 
C_  CC )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
457, 26, 44syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
4615abscld 13575 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
4717rpred 11364 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR )
4846, 47readdcld 9688 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR )
49 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  =  {
w  e.  CC  | 
( y ( abs 
o.  -  ) w
)  <_  ( r  /  2 ) }
504, 49blcls 21599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) } )
518, 15, 18, 50syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) } )
52 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
5315adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
5452, 53abs2difd 13596 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( abs `  (
z  -  y ) ) )
5552abscld 13575 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
5646adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
5755, 56resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  e.  RR )
5852, 53subcld 10005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  -  y )  e.  CC )
5958abscld 13575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  e.  RR )
6047adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR )
61 letr 9745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( abs `  (
z  -  y ) )  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <_  (
r  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  y ) )  <_  ( r  /  2 ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( ( ( abs `  z )  -  ( abs `  y ) )  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <_  (
r  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  y ) )  <_  ( r  /  2 ) ) )
6354, 62mpand 689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <_  ( r  /  2 )  -> 
( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( r  /  2
) ) )
6452, 53abssubd 13592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
65 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
6665cnmetdval 21869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
6715, 66sylan 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
y ( abs  o.  -  ) z )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
6864, 67eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( y ( abs 
o.  -  ) z
) )
6968breq1d 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <_  ( r  /  2 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <_  (
r  /  2 ) ) )
7055, 56, 60lesubadd2d 10233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( r  /  2
)  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
7163, 69, 703imtr3d 275 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( y ( abs 
o.  -  ) z
)  <_  ( r  /  2 )  -> 
( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
7271ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  A. z  e.  CC  ( ( y ( abs  o.  -  ) z )  <_ 
( r  /  2
)  ->  ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) ) )
73 oveq2 6316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
y ( abs  o.  -  ) w )  =  ( y ( abs  o.  -  )
z ) )
7473breq1d 4405 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( y ( abs 
o.  -  ) w
)  <_  ( r  /  2 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <_  (
r  /  2 ) ) )
7574ralrab 3188 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  <->  A. z  e.  CC  ( ( y ( abs  o.  -  )
z )  <_  (
r  /  2 )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
7672, 75sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  A. z  e.  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  )
w )  <_  (
r  /  2 ) }  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) )
77 ssralv 3479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  ->  ( A. z  e.  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  ->  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) ) )
7851, 76, 77sylc 61 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) )
79 breq2 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  z )  <_ 
s  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
8079ralbidv 2829 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2 ) )  ->  ( A. z  e.  ( ( cls `  J ) `  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z
)  <_  s  <->  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) ) )
8180rspcev 3136 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ( ( cls `  J ) `  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) )  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
)
8248, 78, 81syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
)
83 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  =  ( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) ) )
841, 83cnheibor 22061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  CC  ->  ( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp 
<->  ( ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
) ) )
8537, 84syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) ) )  e.  Comp  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  (
Clsd `  J )  /\  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
) ) )
8645, 82, 85mpbir2and 936 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp )
87 oveq2 6316 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) )  -> 
( Jt  u )  =  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ) )
8887eleq1d 2533 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) )  -> 
( ( Jt  u )  e.  Comp  <->  ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp ) )
8988rspcev 3136 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
9043, 86, 89syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
916, 90rexlimddv 2875 . . 3  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
9291rgen2 2818 . 2  |-  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp
93 isnlly 20561 . 2  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  (
( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
)
942, 92, 93mpbir2an 934 1  |-  J  e. 𝑛Locally  Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    i^i cin 3389    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190   class class class wbr 4395    o. ccom 4843   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556    + caddc 9560   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   2c2 10681   RR+crp 11325   abscabs 13374   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   *Metcxmt 19032   ballcbl 19034  ℂfldccnfld 19047   Topctop 19994   Clsdccld 20108   clsccl 20110   neicnei 20190   Compccmp 20478  𝑛Locally cnlly 20557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-cls 20113  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-nlly 20559  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988
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