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Theorem cnllycmp 20661
Description: The topology on the complex numbers is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllycmp.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnllycmp  |-  J  e. 𝑛Locally  Comp

Proof of Theorem cnllycmp
Dummy variables  s 
r  u  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllycmp.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 20496 . 2  |-  J  e. 
Top
3 cnxmet 20485 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
41cnfldtopn 20494 . . . . . 6  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
54mopni2 20201 . . . . 5  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
63, 5mp3an1 1302 . . . 4  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. r  e.  RR+  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) 
C_  x )
72a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  J  e.  Top )
83a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
9 elssuni 4230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  J  ->  x  C_ 
U. J )
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  C_ 
U. J )
111cnfldtopon 20495 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1211toponunii 18670 . . . . . . . . . . 11  |-  CC  =  U. J
1310, 12syl6sseqr 3512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  x  C_  CC )
14 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  x )
1513, 14sseldd 3466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  CC )
16 rphalfcl 11127 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  e.  RR+ )
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR+ )
1817rpxrd 11140 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR* )
194blopn 20208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  e.  J
)
208, 15, 18, 19syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  e.  J
)
21 blcntr 20121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR+ )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) )
228, 15, 17, 21syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) )
23 opnneip 18856 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) )  e.  J  /\  y  e.  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) )  ->  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) )  e.  ( ( nei `  J ) `
 { y } ) )
247, 20, 22, 23syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
25 blssm 20126 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  CC )
268, 15, 18, 25syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  CC )
2712sscls 18793 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) 
C_  CC )  -> 
( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) 
C_  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) ) )
287, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )
29 rpxr 11110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  r  e. 
RR* )
3029ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  r  e.  RR* )
31 rphalflt 11129 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  RR+  ->  ( r  /  2 )  < 
r )
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  <  r )
334blsscls 20215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC )  /\  ( ( r  /  2 )  e. 
RR*  /\  r  e.  RR* 
/\  ( r  / 
2 )  <  r
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
348, 15, 18, 30, 32, 33syl23anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r ) )
35 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
)
3634, 35sstrd 3475 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  x
)
3736, 13sstrd 3475 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  CC )
3812ssnei2 18853 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) )  e.  ( ( nei `  J ) `  {
y } ) )  /\  ( ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) )  C_  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  /\  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  CC ) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
397, 24, 28, 37, 38syl22anc 1220 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( nei `  J
) `  { y } ) )
40 vex 3081 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
4140elpw2 4565 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ~P x 
<->  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  x
)
4236, 41sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ~P x )
4339, 42elind 3649 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) )
4412clscld 18784 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) 
C_  CC )  -> 
( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
457, 26, 44syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  (
Clsd `  J )
)
4615abscld 13041 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
4717rpred 11139 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR )
4846, 47readdcld 9525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR )
49 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  =  {
w  e.  CC  | 
( y ( abs 
o.  -  ) w
)  <_  ( r  /  2 ) }
504, 49blcls 20214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  y  e.  CC  /\  (
r  /  2 )  e.  RR* )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) } )
518, 15, 18, 50syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) } )
52 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  z  e.  CC )
5315adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  y  e.  CC )
5452, 53abs2difd 13062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( abs `  (
z  -  y ) ) )
5552abscld 13041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  z )  e.  RR )
5646adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  y )  e.  RR )
5755, 56resubcld 9888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  e.  RR )
5852, 53subcld 9831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
z  -  y )  e.  CC )
5958abscld 13041 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  e.  RR )
6047adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
r  /  2 )  e.  RR )
61 letr 9580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  e.  RR  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  e.  RR  /\  ( r  /  2
)  e.  RR )  ->  ( ( ( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( abs `  (
z  -  y ) )  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <_  (
r  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  y ) )  <_  ( r  /  2 ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( ( ( abs `  z )  -  ( abs `  y ) )  <_  ( abs `  (
z  -  y ) )  /\  ( abs `  ( z  -  y
) )  <_  (
r  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  z )  -  ( abs `  y ) )  <_  ( r  /  2 ) ) )
6354, 62mpand 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <_  ( r  /  2 )  -> 
( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( r  /  2
) ) )
6452, 53abssubd 13058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
65 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
6665cnmetdval 20483 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  ( y ( abs 
o.  -  ) z
)  =  ( abs `  ( y  -  z
) ) )
6715, 66sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
y ( abs  o.  -  ) z )  =  ( abs `  (
y  -  z ) ) )
6864, 67eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  ( abs `  ( z  -  y ) )  =  ( y ( abs 
o.  -  ) z
) )
6968breq1d 4411 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( abs `  (
z  -  y ) )  <_  ( r  /  2 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <_  (
r  /  2 ) ) )
7055, 56, 60lesubadd2d 10050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( ( abs `  z
)  -  ( abs `  y ) )  <_ 
( r  /  2
)  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
7163, 69, 703imtr3d 267 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  /\  (
r  e.  RR+  /\  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  /\  z  e.  CC )  ->  (
( y ( abs 
o.  -  ) z
)  <_  ( r  /  2 )  -> 
( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
7271ralrimiva 2830 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  A. z  e.  CC  ( ( y ( abs  o.  -  ) z )  <_ 
( r  /  2
)  ->  ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) ) )
73 oveq2 6209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  z  ->  (
y ( abs  o.  -  ) w )  =  ( y ( abs  o.  -  )
z ) )
7473breq1d 4411 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  (
( y ( abs 
o.  -  ) w
)  <_  ( r  /  2 )  <->  ( y
( abs  o.  -  )
z )  <_  (
r  /  2 ) ) )
7574ralrab 3228 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  <->  A. z  e.  CC  ( ( y ( abs  o.  -  )
z )  <_  (
r  /  2 )  ->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
7672, 75sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  A. z  e.  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  )
w )  <_  (
r  /  2 ) }  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) )
77 ssralv 3525 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  ->  ( A. z  e.  { w  e.  CC  |  ( y ( abs  o.  -  ) w )  <_ 
( r  /  2
) }  ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  ->  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) ) )
7851, 76, 77sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) )
79 breq2 4405 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2 ) )  ->  ( ( abs `  z )  <_ 
s  <->  ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) ) )
8079ralbidv 2846 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2 ) )  ->  ( A. z  e.  ( ( cls `  J ) `  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z
)  <_  s  <->  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  (
( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) ) ) )
8180rspcev 3179 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  y
)  +  ( r  /  2 ) )  e.  RR  /\  A. z  e.  ( ( cls `  J ) `  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z
)  <_  ( ( abs `  y )  +  ( r  /  2
) ) )  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
)
8248, 78, 81syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
)
83 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  =  ( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) ) )
841, 83cnheibor 20660 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  C_  CC  ->  ( ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp 
<->  ( ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) )  e.  ( Clsd `  J
)  /\  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
) ) )
8537, 84syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  (
( Jt  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) ) )  e.  Comp  <->  ( ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  (
Clsd `  J )  /\  E. s  e.  RR  A. z  e.  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ( abs `  z )  <_  s
) ) )
8645, 82, 85mpbir2and 913 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp )
87 oveq2 6209 . . . . . . 7  |-  ( u  =  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) )  -> 
( Jt  u )  =  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) ) )
8887eleq1d 2523 . . . . . 6  |-  ( u  =  ( ( cls `  J ) `  (
y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( r  /  2
) ) )  -> 
( ( Jt  u )  e.  Comp  <->  ( Jt  ( ( cls `  J ) `
 ( y (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp ) )
8988rspcev 3179 . . . . 5  |-  ( ( ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) )  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x )  /\  ( Jt  ( ( cls `  J
) `  ( y
( ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( r  /  2 ) ) ) )  e. 
Comp )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
9043, 86, 89syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x
)  /\  ( r  e.  RR+  /\  ( y ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  C_  x
) )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
916, 90rexlimddv 2951 . . 3  |-  ( ( x  e.  J  /\  y  e.  x )  ->  E. u  e.  ( ( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
9291rgen2 2918 . 2  |-  A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  ( ( ( nei `  J ) `  {
y } )  i^i 
~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp
93 isnlly 19206 . 2  |-  ( J  e. 𝑛Locally 
Comp 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  J  A. y  e.  x  E. u  e.  (
( ( nei `  J
) `  { y } )  i^i  ~P x ) ( Jt  u )  e.  Comp )
)
942, 92, 93mpbir2an 911 1  |-  J  e. 𝑛Locally  Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ~Pcpw 3969   {csn 3986   U.cuni 4200   class class class wbr 4401    o. ccom 4953   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393    + caddc 9397   RR*cxr 9529    < clt 9530    <_ cle 9531    - cmin 9707    / cdiv 10105   2c2 10483   RR+crp 11103   abscabs 12842   ↾t crest 14479   TopOpenctopn 14480   *Metcxmt 17927   ballcbl 17929  ℂfldccnfld 17944   Topctop 18631   Clsdccld 18753   clsccl 18755   neicnei 18834   Compccmp 19122  𝑛Locally cnlly 19202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-cls 18758  df-nei 18835  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-cmp 19123  df-nlly 19204  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cncf 20587
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