MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnllycmp Structured version   Unicode version
Theorem cnllycmp 20661
Description: The topology on the complex numbers is locally compact. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnllycmp.1 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
Assertion
Ref Expression
cnllycmp |- J e. 𝑛Locally Comp
Proof of Theorem cnllycmp
Dummy variables s r u w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnllycmp.1 . . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
21cnfldtop 20496 . 2 |- J e. Top
3 cnxmet 20485 . . . . 5 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
41cnfldtopn 20494 . . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
54mopni2 20201 . . . . 5 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ x e. J /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
63, 5mp3an1 1302 . . . 4 |- ( ( x e. J /\ y e. x ) -> E. r e. RR+ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
72a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> J e. Top )
83a1i 11 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
9 elssuni 4230 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. J -> x C_ U. J )
109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> x C_ U. J )
111cnfldtopon 20495 . . . . . . . . . . . 12 |- J e. (TopOn ` CC )
1211toponunii 18670 . . . . . . . . . . 11 |- CC = U. J
1310, 12syl6sseqr 3512 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> x C_ CC )
14 simplr 754 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. x )
1513, 14sseldd 3466 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. CC )
16 rphalfcl 11127 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) e. RR+ )
1716ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR+ )
1817rpxrd 11140 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR* )
194blopn 20208 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J )
208, 15, 18, 19syl3anc 1219 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J )
21 blcntr 20121 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR+ ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) )
228, 15, 17, 21syl3anc 1219 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) )
23 opnneip 18856 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. J /\ y e. ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
247, 20, 22, 23syl3anc 1219 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
25 blssm 20126 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC )
268, 15, 18, 25syl3anc 1219 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC )
2712sscls 18793 . . . . . . . 8 |- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) )
287, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) )
29 rpxr 11110 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
3029ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> r e. RR* )
31 rphalflt 11129 . . . . . . . . . . 11 |- ( r e. RR+ -> ( r / 2 ) < r )
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) < r )
334blsscls 20215 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC ) /\ ( ( r / 2 ) e. RR* /\ r e. RR* /\ ( r / 2 ) < r ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
348, 15, 18, 30, 32, 33syl23anc 1226 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) )
35 simprr 756 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x )
3634, 35sstrd 3475 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ x )
3736, 13sstrd 3475 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC )
3812ssnei2 18853 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) ) /\ ( ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) /\ ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
397, 24, 28, 37, 38syl22anc 1220 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( nei ` J ) ` { y } ) )
40 vex 3081 . . . . . . . 8 |- x e. _V
4140elpw2 4565 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ~P x <-> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ x )
4236, 41sylibr 212 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ~P x )
4339, 42elind 3649 . . . . 5 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) )
4412clscld 18784 . . . . . . 7 |- ( ( J e. Top /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) C_ CC ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) )
457, 26, 44syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) )
4615abscld 13041 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( abs ` y ) e. RR )
4717rpred 11139 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( r / 2 ) e. RR )
4846, 47readdcld 9525 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) e. RR )
49 eqid 2454 . . . . . . . . . 10 |- { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } = { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) }
504, 49blcls 20214 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ y e. CC /\ ( r / 2 ) e. RR* ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } )
518, 15, 18, 50syl3anc 1219 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } )
52 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> z e. CC )
5315adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> y e. CC )
5452, 53abs2difd 13062 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) )
5552abscld 13041 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` z ) e. RR )
5646adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` y ) e. RR )
5755, 56resubcld 9888 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) e. RR )
5852, 53subcld 9831 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( z - y ) e. CC )
5958abscld 13041 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) e. RR )
6047adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( r / 2 ) e. RR )
61 letr 9580 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) e. RR /\ ( abs ` ( z - y ) ) e. RR /\ ( r / 2 ) e. RR ) -> ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) )
6257, 59, 60, 61syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( abs ` ( z - y ) ) /\ ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) )
6354, 62mpand 675 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) -> ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) ) )
6452, 53abssubd 13058 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
65 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
6665cnmetdval 20483 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. CC /\ z e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
6715, 66sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( y ( abs o. - ) z ) = ( abs ` ( y - z ) ) )
6864, 67eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( abs ` ( z - y ) ) = ( y ( abs o. - ) z ) )
6968breq1d 4411 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( abs ` ( z - y ) ) <_ ( r / 2 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) ) )
7055, 56, 60lesubadd2d 10050 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( ( abs ` z ) - ( abs ` y ) ) <_ ( r / 2 ) <-> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7163, 69, 703imtr3d 267 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) /\ z e. CC ) -> ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7271ralrimiva 2830 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. CC ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
73 oveq2 6209 . . . . . . . . . . 11 |- ( w = z -> ( y ( abs o. - ) w ) = ( y ( abs o. - ) z ) )
7473breq1d 4411 . . . . . . . . . 10 |- ( w = z -> ( ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) <-> ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) ) )
7574ralrab 3228 . . . . . . . . 9 |- ( A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) <-> A. z e. CC ( ( y ( abs o. - ) z ) <_ ( r / 2 ) -> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7672, 75sylibr 212 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) )
77 ssralv 3525 . . . . . . . 8 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } -> ( A. z e. { w e. CC | ( y ( abs o. - ) w ) <_ ( r / 2 ) } ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
7851, 76, 77sylc 60 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) )
79 breq2 4405 . . . . . . . . 9 |- ( s = ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> ( ( abs ` z ) <_ s <-> ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
8079ralbidv 2846 . . . . . . . 8 |- ( s = ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) -> ( A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s <-> A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) )
8180rspcev 3179 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) e. RR /\ A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ ( ( abs ` y ) + ( r / 2 ) ) ) -> E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s )
8248, 78, 81syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s )
83 eqid 2454 . . . . . . . 8 |- ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) = ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) )
841, 83cnheibor 20660 . . . . . . 7 |- ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) C_ CC -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp <-> ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) /\ E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s ) ) )
8537, 84syl 16 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp <-> ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( Clsd ` J ) /\ E. s e. RR A. z e. ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ( abs ` z ) <_ s ) ) )
8645, 82, 85mpbir2and 913 . . . . 5 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp )
87 oveq2 6209 . . . . . . 7 |- ( u = ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( J ↾t u ) = ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) )
8887eleq1d 2523 . . . . . 6 |- ( u = ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) -> ( ( J ↾t u ) e. Comp <-> ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp ) )
8988rspcev 3179 . . . . 5 |- ( ( ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) /\ ( J ↾t ( ( cls ` J ) ` ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) ( r / 2 ) ) ) ) e. Comp ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp )
9043, 86, 89syl2anc 661 . . . 4 |- ( ( ( x e. J /\ y e. x ) /\ ( r e. RR+ /\ ( y ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) C_ x ) ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp )
916, 90rexlimddv 2951 . . 3 |- ( ( x e. J /\ y e. x ) -> E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp )
9291rgen2 2918 . 2 |- A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp
93 isnlly 19206 . 2 |- ( J e. 𝑛Locally Comp <-> ( J e. Top /\ A. x e. J A. y e. x E. u e. ( ( ( nei ` J ) ` { y } ) i^i ~P x ) ( J ↾t u ) e. Comp ) )
942, 92, 93mpbir2an 911 1 |- J e. 𝑛Locally Comp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   {crab 2803   i^i cin 3436   C_ wss 3437   ~Pcpw 3969   {csn 3986   U.cuni 4200   class class class wbr 4401   o. ccom 4953   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   CCcc 9392   RRcr 9393   + caddc 9397   RR*cxr 9529   < clt 9530   <_ cle 9531   - cmin 9707   / cdiv 10105   2c2 10483   RR+crp 11103   abscabs 12842   ↾t crest 14479   TopOpenctopn 14480   *Metcxmt 17927   ballcbl 17929  ℂfldccnfld 17944   Topctop 18631   Clsdccld 18753   clsccl 18755   neicnei 18834   Compccmp 19122  𝑛Locally cnlly 19202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-pre-sup 9472  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-iin 4283  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-fi 7773  df-sup 7803  df-oi 7836  df-card 8221  df-cda 8449  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-div 10106  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-q 11066  df-rp 11104  df-xneg 11201  df-xadd 11202  df-xmul 11203  df-ioo 11416  df-icc 11419  df-fz 11556  df-fzo 11667  df-seq 11925  df-exp 11984  df-hash 12222  df-cj 12707  df-re 12708  df-im 12709  df-sqr 12843  df-abs 12844  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-rest 14481  df-topn 14482  df-0g 14500  df-gsum 14501  df-topgen 14502  df-pt 14503  df-prds 14506  df-xrs 14560  df-qtop 14565  df-imas 14566  df-xps 14568  df-mre 14644  df-mrc 14645  df-acs 14647  df-mnd 15535  df-submnd 15585  df-mulg 15668  df-cntz 15955  df-cmn 16401  df-psmet 17935  df-xmet 17936  df-met 17937  df-bl 17938  df-mopn 17939  df-cnfld 17945  df-top 18636  df-bases 18638  df-topon 18639  df-topsp 18640  df-cld 18756  df-cls 18758  df-nei 18835  df-cn 18964  df-cnp 18965  df-haus 19052  df-cmp 19123  df-nlly 19204  df-tx 19268  df-hmeo 19461  df-xms 20028  df-ms 20029  df-tms 20030  df-cncf 20587
This theorem is referenced by:  rellycmp  20662
  Copyright terms: Public domain W3C validator