MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnlimci Structured version   Unicode version

Theorem cnlimci 21482
Description: If  F is a continuous function, then the limit of the function at any point equals its value. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
cnlimci.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> D ) )
cnlimci.c  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
Assertion
Ref Expression
cnlimci  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  ( F lim
CC  B ) )

Proof of Theorem cnlimci
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnlimci.c . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  A )
2 cnlimci.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> D ) )
3 cncfrss 20585 . . . 4  |-  ( F  e.  ( A -cn-> D )  ->  A  C_  CC )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  CC )
5 cncfrss2 20586 . . . . . 6  |-  ( F  e.  ( A -cn-> D )  ->  D  C_  CC )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  C_  CC )
7 ssid 3475 . . . . 5  |-  CC  C_  CC
8 cncfss 20593 . . . . 5  |-  ( ( D  C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( A -cn-> D )  C_  ( A -cn-> CC ) )
96, 7, 8sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A -cn-> D ) 
C_  ( A -cn-> CC ) )
109, 2sseldd 3457 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( A
-cn-> CC ) )
11 cnlimc 21481 . . . 4  |-  ( A 
C_  CC  ->  ( F  e.  ( A -cn-> CC )  <->  ( F : A
--> CC  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  ( F lim CC  x ) ) ) )
1211simplbda 624 . . 3  |-  ( ( A  C_  CC  /\  F  e.  ( A -cn-> CC ) )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  ( F lim CC  x ) )
134, 10, 12syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  ( F lim CC  x ) )
14 fveq2 5791 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
15 oveq2 6200 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( F lim CC  x )  =  ( F lim CC  B
) )
1614, 15eleq12d 2533 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
)  e.  ( F lim
CC  x )  <->  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B ) ) )
1716rspcv 3167 . 2  |-  ( B  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( F `  x )  e.  ( F lim CC  x )  ->  ( F `  B )  e.  ( F lim CC  B
) ) )
181, 13, 17sylc 60 1  |-  ( ph  ->  ( F `  B
)  e.  ( F lim
CC  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795    C_ wss 3428   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   -cn->ccncf 20570   lim CC climc 21455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fi 7764  df-sup 7794  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-fz 11541  df-seq 11910  df-exp 11969  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-rest 14465  df-topn 14466  df-topgen 14486  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-xms 20013  df-ms 20014  df-cncf 20572  df-limc 21459
This theorem is referenced by:  cnmptlimc  21483  dvcnvlem  21566
  Copyright terms: Public domain W3C validator