Users' Mathboxes Mathbox for Jon Pennant < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cnioobibld Structured version   Unicode version

Theorem cnioobibld 35797
Description: A bounded, continuous function on an open bounded interval is integrable. The function must be bounded. For a counterexample, consider  F  =  ( x  e.  ( 0 (,) 1 )  |->  ( 1  /  x ) ). See cniccibl 22675 for closed bounded intervals. (Contributed by Jon Pennant, 31-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnioobibld.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
cnioobibld.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
cnioobibld.3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
cnioobibld.4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
Assertion
Ref Expression
cnioobibld  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
Distinct variable group:    x, y, F
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x, y)    B( x, y)

Proof of Theorem cnioobibld
StepHypRef Expression
1 ioombl 22395 . . 3  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
2 cnioobibld.3 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )
3 cnmbf 22492 . . 3  |-  ( ( ( A (,) B
)  e.  dom  vol  /\  F  e.  ( ( A (,) B )
-cn-> CC ) )  ->  F  e. MblFn )
41, 2, 3sylancr 667 . 2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
5 cncff 21821 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A (,) B
) --> CC )
6 fdm 5750 . . . . 5  |-  ( F : ( A (,) B ) --> CC  ->  dom 
F  =  ( A (,) B ) )
72, 5, 63syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  F  =  ( A (,) B ) )
87fveq2d 5885 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol `  dom  F )  =  ( vol `  ( A (,) B
) ) )
9 cnioobibld.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
10 cnioobibld.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
11 ioovolcl 22399 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
129, 10, 11syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
138, 12eqeltrd 2517 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol `  dom  F )  e.  RR )
14 cnioobibld.4 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
15 bddibl 22674 . 2  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  ( vol `  dom  F )  e.  RR  /\  E. x  e.  RR  A. y  e.  dom  F ( abs `  ( F `  y
) )  <_  x
)  ->  F  e.  L^1 )
164, 13, 14, 15syl3anc 1264 1  |-  ( ph  ->  F  e.  L^1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   class class class wbr 4426   dom cdm 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537    <_ cle 9675   (,)cioo 11635   abscabs 13276   -cn->ccncf 21804   volcvol 22295  MblFncmbf 22449   L^1cibl 22452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-limsup 13504  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455  df-itg2 22456  df-ibl 22457  df-0p 22505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator