Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnindis Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnindis 20308
 Description: Every function is continuous when the codomain is indiscrete (trivial). (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnindis TopOn

Proof of Theorem cnindis
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpri 3985 . . . . . . 7
2 topontop 19941 . . . . . . . . . . 11 TopOn
32ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10 TopOn
4 0opn 19934 . . . . . . . . . 10
53, 4syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn
6 imaeq2 5164 . . . . . . . . . . 11
7 ima0 5183 . . . . . . . . . . 11
86, 7syl6eq 2501 . . . . . . . . . 10
98eleq1d 2513 . . . . . . . . 9
105, 9syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8 TopOn
11 fimacnv 6012 . . . . . . . . . . 11
1211adantl 468 . . . . . . . . . 10 TopOn
13 toponmax 19943 . . . . . . . . . . 11 TopOn
1413ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10 TopOn
1512, 14eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9 TopOn
16 imaeq2 5164 . . . . . . . . . 10
1716eleq1d 2513 . . . . . . . . 9
1815, 17syl5ibrcom 226 . . . . . . . 8 TopOn
1910, 18jaod 382 . . . . . . 7 TopOn
201, 19syl5 33 . . . . . 6 TopOn
2120ralrimiv 2800 . . . . 5 TopOn
2221ex 436 . . . 4 TopOn
2322pm4.71d 640 . . 3 TopOn
24 id 22 . . . 4
25 elmapg 7485 . . . 4
2624, 13, 25syl2anr 481 . . 3 TopOn
27 indistopon 20016 . . . 4 TopOn
28 iscn 20251 . . . 4 TopOn TopOn
2927, 28sylan2 477 . . 3 TopOn
3023, 26, 293bitr4rd 290 . 2 TopOn
3130eqrdv 2449 1 TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  c0 3731  cpr 3970  ccnv 4833  cima 4837  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cmap 7472  ctop 19917  TopOnctopon 19918   ccn 20240 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-map 7474  df-top 19921  df-topon 19923  df-cn 20243 This theorem is referenced by:  indishmph  20813  indistgp  21115  indispcon  29957
 Copyright terms: Public domain W3C validator