Theorem cnimass 15888

Description: Restriction of the image of a continuous function.

Hypotheses

Ref	Expression
cnimass.1	|- X = U.J
cnimass.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cnimass	|- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)))

Distinct variable groups:   x,J   x,K   x,X   x,Y   x,A   x,F

Proof of Theorem cnimass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnimass.1	. . . . . . 7 |- X = U.J
2		eqid 1884	. . . . . . 7 |- U.(subSp` <.A, K>.) = U.(subSp` <.A, K>.)
3	1, 2	iscn 9034	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ (subSp` <.A, K>.) e. Top) -> (F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)) <-> (F:X-->U.(subSp` <.A, K>.) /\ A.y e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"y) e. J)))
4		stoig3 10253	. . . . . . 7 |- ((K e. Top /\ A C_ U.K) -> (subSp` <.A, K>.) e. Top)
5		cnimass.2	. . . . . . . 8 |- Y = U.K
6	5	sseq2i 2642	. . . . . . 7 |- (A C_ Y <-> A C_ U.K)
7	4, 6	sylan2b 501	. . . . . 6 |- ((K e. Top /\ A C_ Y) -> (subSp` <.A, K>.) e. Top)
8	3, 7	sylan2 500	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ (K e. Top /\ A C_ Y)) -> (F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)) <-> (F:X-->U.(subSp` <.A, K>.) /\ A.y e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"y) e. J)))
9	8	anassrs 489	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ A C_ Y) -> (F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)) <-> (F:X-->U.(subSp` <.A, K>.) /\ A.y e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"y) e. J)))
10	9	adantrr 431	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> (F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)) <-> (F:X-->U.(subSp` <.A, K>.) /\ A.y e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"y) e. J)))
11	10	3adantl3 1034	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> (F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)) <-> (F:X-->U.(subSp` <.A, K>.) /\ A.y e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"y) e. J)))
12		df-f 4010	. . 3 |- (F:X-->U.(subSp` <.A, K>.) <-> (F Fn X /\ ran F C_ U.(subSp` <.A, K>.)))
13	1, 5	cnf 9038	. . . . 5 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> F:X-->Y)
14	13	adantr 425	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> F:X-->Y)
15		ffn 4562	. . . 4 |- (F:X-->Y -> F Fn X)
16	14, 15	syl 12	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> F Fn X)
17		fnfvrnss 4803	. . . . . 6 |- ((F Fn X /\ A.x e. X (F` x) e. A) -> ran F C_ A)
18	13, 15	syl 12	. . . . . 6 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> F Fn X)
19	17, 18	sylan 497	. . . . 5 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ A.x e. X (F` x) e. A) -> ran F C_ A)
20	19	adantrl 430	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> ran F C_ A)
21		stoig2 10252	. . . . . . 7 |- ((K e. Top /\ A C_ U.K) -> U.(subSp` <.A, K>.) = A)
22	21, 6	sylan2b 501	. . . . . 6 |- ((K e. Top /\ A C_ Y) -> U.(subSp` <.A, K>.) = A)
23	22	adantrr 431	. . . . 5 |- ((K e. Top /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> U.(subSp` <.A, K>.) = A)
24	23	3ad2antl2 1039	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> U.(subSp` <.A, K>.) = A)
25	20, 24	sseqtr4d 2654	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> ran F C_ U.(subSp` <.A, K>.))
26	12, 16, 25	sylanbrc 527	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> F:X-->U.(subSp` <.A, K>.))
27		ssexg 3457	. . . . . . . . 9 |- ((A C_ Y /\ Y e. _V) -> A e. _V)
28	27	ancoms 484	. . . . . . . 8 |- ((Y e. _V /\ A C_ Y) -> A e. _V)
29		uniexg 3795	. . . . . . . . 9 |- (K e. Top -> U.K e. _V)
30	29, 5	syl5eqel 1975	. . . . . . . 8 |- (K e. Top -> Y e. _V)
31	28, 30	sylan 497	. . . . . . 7 |- ((K e. Top /\ A C_ Y) -> A e. _V)
32		visset 2295	. . . . . . . 8 |- y e. _V
33		issubspt 10247	. . . . . . . 8 |- ((K e. Top /\ y e. _V /\ A e. _V) -> (y e. (subSp` <.A, K>.) <-> E.z e. K y = (z i^i A)))
34	32, 33	mp3an2 1179	. . . . . . 7 |- ((K e. Top /\ A e. _V) -> (y e. (subSp` <.A, K>.) <-> E.z e. K y = (z i^i A)))
35	31, 34	syldan 516	. . . . . 6 |- ((K e. Top /\ A C_ Y) -> (y e. (subSp` <.A, K>.) <-> E.z e. K y = (z i^i A)))
36	35	adantrr 431	. . . . 5 |- ((K e. Top /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> (y e. (subSp` <.A, K>.) <-> E.z e. K y = (z i^i A)))
37	36	3ad2antl2 1039	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> (y e. (subSp` <.A, K>.) <-> E.z e. K y = (z i^i A)))
38		imaeq2 4260	. . . . . . 7 |- (y = (z i^i A) -> (`'F"y) = (`'F"(z i^i A)))
39	38	eleq1d 1963	. . . . . 6 |- (y = (z i^i A) -> ((`'F"y) e. J <-> (`'F"(z i^i A)) e. J))
40		fnfun 4510	. . . . . . . . . . 11 |- (F Fn X -> Fun F)
41	13, 15, 40	3syl 24	. . . . . . . . . 10 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> Fun F)
42	41	ad2antrr 440	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) /\ z e. K) -> Fun F)
43		inpreima 15682	. . . . . . . . 9 |- (Fun F -> (`'F"(z i^i A)) = ((`'F"z) i^i (`'F"A)))
44	42, 43	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) /\ z e. K) -> (`'F"(z i^i A)) = ((`'F"z) i^i (`'F"A)))
45		imassrn 4278	. . . . . . . . . . . . 13 |- (`'F"z) C_ ran `' F
46	45	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> (`'F"z) C_ ran `' F)
47		fndm 4512	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (F Fn X -> dom F = X)
48	13, 15, 47	3syl 24	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> dom F = X)
49		dfdm4 4151	. . . . . . . . . . . . 13 |- dom F = ran `' F
50	48, 49	syl5eqr 1942	. . . . . . . . . . . 12 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> ran `' F = X)
51	46, 50	sseqtrd 2653	. . . . . . . . . . 11 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> (`'F"z) C_ X)
52	51	ad2antrr 440	. . . . . . . . . 10 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) /\ z e. K) -> (`'F"z) C_ X)
53		ssid 2634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- X C_ X
54	53	a1i 8	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> X C_ X)
55	54, 48	sseqtr4d 2654	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> X C_ dom F)
56		funimass5 4780	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((Fun F /\ X C_ dom F) -> (X C_ (`'F"A) <-> A.x e. X (F` x) e. A))
57	41, 55, 56	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) -> (X C_ (`'F"A) <-> A.x e. X (F` x) e. A))
58	57	biimpar 461	. . . . . . . . . . . 12 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ A.x e. X (F` x) e. A) -> X C_ (`'F"A))
59	58	adantrl 430	. . . . . . . . . . 11 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> X C_ (`'F"A))
60	59	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) /\ z e. K) -> X C_ (`'F"A))
61	52, 60	sstrd 2627	. . . . . . . . 9 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) /\ z e. K) -> (`'F"z) C_ (`'F"A))
62		df-ss 2605	. . . . . . . . 9 |- ((`'F"z) C_ (`'F"A) <-> ((`'F"z) i^i (`'F"A)) = (`'F"z))
63	61, 62	sylib 215	. . . . . . . 8 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) /\ z e. K) -> ((`'F"z) i^i (`'F"A)) = (`'F"z))
64	44, 63	eqtrd 1925	. . . . . . 7 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) /\ z e. K) -> (`'F"(z i^i A)) = (`'F"z))
65		cnima 9044	. . . . . . . 8 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ z e. K) -> (`'F"z) e. J)
66	65	adantlr 429	. . . . . . 7 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) /\ z e. K) -> (`'F"z) e. J)
67	64, 66	eqeltrd 1971	. . . . . 6 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) /\ z e. K) -> (`'F"(z i^i A)) e. J)
68	39, 67	syl5cbir 228	. . . . 5 |- ((((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) /\ z e. K) -> (y = (z i^i A) -> (`'F"y) e. J))
69	68	r19.23adva 2216	. . . 4 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> (E.z e. K y = (z i^i A) -> (`'F"y) e. J))
70	37, 69	sylbid 220	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> (y e. (subSp` <.A, K>.) -> (`'F"y) e. J))
71	70	r19.21aiv 2175	. 2 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> A.y e. (subSp` <.A, K>.)(`'F"y) e. J)
72	11, 26, 71	mpbir2and 802	1 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F e. (J Cn K)) /\ (A C_ Y /\ A.x e. X (F` x) e. A)) -> F e. (J Cn (subSp` <.A, K>.)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106  _Vcvv 2292   i^i cin 2592   C_ wss 2593  <.cop 3046  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  dom cdm 3986  ran crn 3987  "cima 3989  Fun wfun 3992   Fn wfn 3993  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Cn ccn 9028  subSpcsubsp 10242

This theorem is referenced by:  cnres2 15890  reparphtlem2 16064

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-top 8861  df-topsp 8862  df-cn 9030  df-subsp 10243

Copyright terms: Public domain