MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnima Structured version   Unicode version

Theorem cnima 19560
Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnima  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)

Proof of Theorem cnima
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 19533 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simprbi 464 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
54simprd 463 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )
6 imaeq2 5333 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " A ) )
76eleq1d 2536 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( `' F "
x )  e.  J  <->  ( `' F " A )  e.  J ) )
87rspccva 3213 . 2  |-  ( ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J )
95, 8sylan 471 1  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   U.cuni 4245   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5584  (class class class)co 6284   Topctop 19189    Cn ccn 19519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-map 7422  df-top 19194  df-topon 19197  df-cn 19522
This theorem is referenced by:  cnco  19561  cnclima  19563  cnntri  19566  cnss1  19571  cnss2  19572  cncnpi  19573  cnrest  19580  cnt0  19641  cnhaus  19649  cncmp  19686  cnconn  19717  2ndcomap  19753  kgencn3  19822  txcnmpt  19888  txdis1cn  19899  pthaus  19902  ptrescn  19903  txkgen  19916  xkoco2cn  19922  xkococnlem  19923  txcon  19953  imasnopn  19954  qtopkgen  19974  qtopss  19979  isr0  20001  kqreglem1  20005  kqreglem2  20006  kqnrmlem1  20007  kqnrmlem2  20008  hmeoima  20029  hmeoopn  20030  hmeoimaf1o  20034  reghmph  20057  nrmhmph  20058  tmdgsum2  20358  symgtgp  20363  ghmcnp  20376  tgpt0  20380  divstgpopn  20381  divstgplem  20382  nmhmcn  21366  mbfimaopnlem  21825  cncombf  21828  cnmbf  21829  dvloglem  22785  efopnlem2  22794  efopn  22795  atansopn  23019  cnmbfm  27902  cvmsss2  28387  cvmliftmolem2  28395  cvmliftlem15  28411  cvmlift2lem9a  28416  cvmlift2lem9  28424  cvmlift2lem10  28425  cvmlift3lem6  28437  cvmlift3lem8  28439  rfcnpre1  31000  rfcnpre2  31012  icccncfext  31254
  Copyright terms: Public domain W3C validator