MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnima Unicode version

Theorem cnima 17283
Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnima  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)

Proof of Theorem cnima
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 17256 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simprbi 451 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
54simprd 450 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )
6 imaeq2 5158 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " A ) )
76eleq1d 2470 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( `' F "
x )  e.  J  <->  ( `' F " A )  e.  J ) )
87rspccva 3011 . 2  |-  ( ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J )
95, 8sylan 458 1  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   U.cuni 3975   `'ccnv 4836   "cima 4840   -->wf 5409  (class class class)co 6040   Topctop 16913    Cn ccn 17242
This theorem is referenced by:  cnco  17284  cnclima  17286  cnntri  17289  cnss1  17294  cnss2  17295  cncnpi  17296  cnrest  17303  cnt0  17364  cnhaus  17372  cncmp  17409  cnconn  17438  2ndcomap  17474  kgencn3  17543  txcnmpt  17609  txdis1cn  17620  pthaus  17623  ptrescn  17624  txkgen  17637  xkoco2cn  17643  xkococnlem  17644  txcon  17674  imasnopn  17675  qtopkgen  17695  qtopss  17700  isr0  17722  kqreglem1  17726  kqreglem2  17727  kqnrmlem1  17728  kqnrmlem2  17729  hmeoima  17750  hmeoopn  17751  hmeoimaf1o  17755  reghmph  17778  nrmhmph  17779  tmdgsum2  18079  symgtgp  18084  ghmcnp  18097  tgpt0  18101  divstgpopn  18102  divstgplem  18103  nmhmcn  19081  mbfimaopnlem  19500  cncombf  19503  cnmbf  19504  dvloglem  20492  efopnlem2  20501  efopn  20502  atansopn  20725  cnmbfm  24566  cvmsss2  24914  cvmliftmolem2  24922  cvmliftlem15  24938  cvmlift2lem9a  24943  cvmlift2lem9  24951  cvmlift2lem10  24952  cvmlift3lem6  24964  cvmlift3lem8  24966  rfcnpre1  27557  rfcnpre2  27569
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-map 6979  df-top 16918  df-topon 16921  df-cn 17245
  Copyright terms: Public domain W3C validator