MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnima Structured version   Unicode version

Theorem cnima 18769
Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnima  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)

Proof of Theorem cnima
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2441 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 18742 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simprbi 461 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
54simprd 460 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )
6 imaeq2 5162 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " A ) )
76eleq1d 2507 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( `' F "
x )  e.  J  <->  ( `' F " A )  e.  J ) )
87rspccva 3069 . 2  |-  ( ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J )
95, 8sylan 468 1  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   U.cuni 4088   `'ccnv 4835   "cima 4839   -->wf 5411  (class class class)co 6090   Topctop 18398    Cn ccn 18728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-map 7212  df-top 18403  df-topon 18406  df-cn 18731
This theorem is referenced by:  cnco  18770  cnclima  18772  cnntri  18775  cnss1  18780  cnss2  18781  cncnpi  18782  cnrest  18789  cnt0  18850  cnhaus  18858  cncmp  18895  cnconn  18926  2ndcomap  18962  kgencn3  19031  txcnmpt  19097  txdis1cn  19108  pthaus  19111  ptrescn  19112  txkgen  19125  xkoco2cn  19131  xkococnlem  19132  txcon  19162  imasnopn  19163  qtopkgen  19183  qtopss  19188  isr0  19210  kqreglem1  19214  kqreglem2  19215  kqnrmlem1  19216  kqnrmlem2  19217  hmeoima  19238  hmeoopn  19239  hmeoimaf1o  19243  reghmph  19266  nrmhmph  19267  tmdgsum2  19567  symgtgp  19572  ghmcnp  19585  tgpt0  19589  divstgpopn  19590  divstgplem  19591  nmhmcn  20575  mbfimaopnlem  21033  cncombf  21036  cnmbf  21037  dvloglem  22036  efopnlem2  22045  efopn  22046  atansopn  22270  cnmbfm  26598  cvmsss2  27077  cvmliftmolem2  27085  cvmliftlem15  27101  cvmlift2lem9a  27106  cvmlift2lem9  27114  cvmlift2lem10  27115  cvmlift3lem6  27127  cvmlift3lem8  27129  rfcnpre1  29650  rfcnpre2  29662
  Copyright terms: Public domain W3C validator