MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnima Structured version   Unicode version

Theorem cnima 19933
Description: An open subset of the codomain of a continuous function has an open preimage. (Contributed by FL, 15-Dec-2006.)
Assertion
Ref Expression
cnima  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)

Proof of Theorem cnima
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
31, 2iscn2 19906 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  <->  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) ) )
43simprbi 462 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  ( F : U. J --> U. K  /\  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J ) )
54simprd 461 . 2  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J )
6 imaeq2 5321 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( `' F " x )  =  ( `' F " A ) )
76eleq1d 2523 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( `' F "
x )  e.  J  <->  ( `' F " A )  e.  J ) )
87rspccva 3206 . 2  |-  ( ( A. x  e.  K  ( `' F " x )  e.  J  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J )
95, 8sylan 469 1  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  A  e.  K )  ->  ( `' F " A )  e.  J
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   U.cuni 4235   `'ccnv 4987   "cima 4991   -->wf 5566  (class class class)co 6270   Topctop 19561    Cn ccn 19892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-map 7414  df-top 19566  df-topon 19569  df-cn 19895
This theorem is referenced by:  cnco  19934  cnclima  19936  cnntri  19939  cnss1  19944  cnss2  19945  cncnpi  19946  cnrest  19953  cnt0  20014  cnhaus  20022  cncmp  20059  cnconn  20089  2ndcomap  20125  kgencn3  20225  txcnmpt  20291  txdis1cn  20302  pthaus  20305  ptrescn  20306  txkgen  20319  xkoco2cn  20325  xkococnlem  20326  txcon  20356  imasnopn  20357  qtopkgen  20377  qtopss  20382  isr0  20404  kqreglem1  20408  kqreglem2  20409  kqnrmlem1  20410  kqnrmlem2  20411  hmeoima  20432  hmeoopn  20433  hmeoimaf1o  20437  reghmph  20460  nrmhmph  20461  tmdgsum2  20761  symgtgp  20766  ghmcnp  20779  tgpt0  20783  qustgpopn  20784  qustgplem  20785  nmhmcn  21769  mbfimaopnlem  22228  cncombf  22231  cnmbf  22232  dvloglem  23197  efopnlem2  23206  efopn  23207  atansopn  23460  cnmbfm  28471  cvmsss2  28983  cvmliftmolem2  28991  cvmliftlem15  29007  cvmlift2lem9a  29012  cvmlift2lem9  29020  cvmlift2lem10  29021  cvmlift3lem6  29033  cvmlift3lem8  29035  rfcnpre1  31634  rfcnpre2  31646  icccncfext  31929
  Copyright terms: Public domain W3C validator