Theorem cnid 9435

Description: The group identity element of complex number addition is zero. (Contributed by Steve Rodriguez, 3-Dec-2006.)

Assertion

Ref	Expression
cnid	|- 0 = (Id` + )

Proof of Theorem cnid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addid2 6482	. . . 4 |- (x e. CC -> (0 + x) = x)
2	1	rgen 2159	. . 3 |- A.x e. CC (0 + x) = x
3		0cn 6481	. . . 4 |- 0 e. CC
4		opreq1 4889	. . . . . . . 8 |- (y = 0 -> (y + x) = (0 + x))
5	4	eqeq1d 1892	. . . . . . 7 |- (y = 0 -> ((y + x) = x <-> (0 + x) = x))
6	5	ralbidv 2123	. . . . . 6 |- (y = 0 -> (A.x e. CC (y + x) = x <-> A.x e. CC (0 + x) = x))
7		cnaddabl 9434	. . . . . . . . . . 11 |- + e. Abel
8		ablgrp 9410	. . . . . . . . . . 11 |- ( + e. Abel -> + e. Grp)
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 |- + e. Grp
10		axaddopr 6417	. . . . . . . . . . . . 13 |- + :(CC X. CC)-->CC
11	10	fdmi 4568	. . . . . . . . . . . 12 |- dom + = (CC X. CC)
12	9, 11	grprn 9336	. . . . . . . . . . 11 |- CC = ran +
13		eqid 1884	. . . . . . . . . . 11 |- (Id` + ) = (Id` + )
14	12, 13	grpidval 9342	. . . . . . . . . 10 |- ( + e. Grp -> (Id` + ) = U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x})
15	9, 14	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- (Id` + ) = U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x}
16	15	eqcomi 1888	. . . . . . . 8 |- U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x} = (Id` + )
17	16	a1i 8	. . . . . . 7 |- (y = 0 -> U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x} = (Id` + ))
18		id 73	. . . . . . 7 |- (y = 0 -> y = 0)
19	17, 18	eqeq12d 1899	. . . . . 6 |- (y = 0 -> (U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x} = y <-> (Id` + ) = 0))
20	6, 19	bibi12d 691	. . . . 5 |- (y = 0 -> ((A.x e. CC (y + x) = x <-> U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x} = y) <-> (A.x e. CC (0 + x) = x <-> (Id` + ) = 0)))
21	12	grpideu 9333	. . . . . . 7 |- ( + e. Grp -> E!y e. CC A.x e. CC (y + x) = x)
22	9, 21	ax-mp 7	. . . . . 6 |- E!y e. CC A.x e. CC (y + x) = x
23		reuuni1 3808	. . . . . 6 |- ((y e. CC /\ E!y e. CC A.x e. CC (y + x) = x) -> (A.x e. CC (y + x) = x <-> U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x} = y))
24	22, 23	mpan2 760	. . . . 5 |- (y e. CC -> (A.x e. CC (y + x) = x <-> U.{y e. CC | A.x e. CC (y + x) = x} = y))
25	20, 24	vtoclga 2352	. . . 4 |- (0 e. CC -> (A.x e. CC (0 + x) = x <-> (Id` + ) = 0))
26	3, 25	ax-mp 7	. . 3 |- (A.x e. CC (0 + x) = x <-> (Id` + ) = 0)
27	2, 26	mpbi 206	. 2 |- (Id` + ) = 0
28	27	eqcomi 1888	1 |- 0 = (Id` + )

Syntax hints:   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E!wreu 2107  {crab 2108  U.cuni 3177   X. cxp 3984  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386   + caddc 6389  Grpcgr 9311  Idcgi 9312  Abelcabl 9407

This theorem is referenced by:  addinv 9436  readdsubg 9437  zaddsubg 9438  cnnv 9639

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-sub 6511  df-neg 6513  df-grp 9316  df-gid 9317  df-abl 9408

Copyright terms: Public domain