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Theorem cniccbdd 21601
Description: A continuous function on a closed interval is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cniccbdd |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y
Proof of Theorem cniccbdd
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9585 . . 3 |- 0 e. RR
2 ral0 3925 . . . 4 |- A. y e. (/) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0
3 simp1 991 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> A e. RR )
43rexrd 9632 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> A e. RR* )
5 simp2 992 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> B e. RR )
65rexrd 9632 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> B e. RR* )
7 icc0 11566 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
84, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
98biimpar 485 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ B < A ) -> ( A [,] B ) = (/) )
109raleqdv 3057 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ B < A ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 <-> A. y e. (/) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 ) )
112, 10mpbiri 233 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ B < A ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 )
12 breq2 4444 . . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 ) )
1312ralbidv 2896 . . . 4 |- ( x = 0 -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 ) )
1413rspcev 3207 . . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
151, 11, 14sylancr 663 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ B < A ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
163adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> A e. RR )
175adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> B e. RR )
18 simpr 461 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> A <_ B )
19 simp3 993 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
20 abscncf 21133 . . . . . . . 8 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
2120a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> abs e. ( CC -cn-> RR ) )
2219, 21cncfco 21139 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( abs o. F ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2322adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs o. F ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2416, 17, 18, 23evthicc 21599 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> ( E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) /\ E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` z ) <_ ( ( abs o. F ) ` y ) ) )
2524simpld 459 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) )
26 cncff 21125 . . . . . . . 8 |- ( ( abs o. F ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( abs o. F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2722, 26syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( abs o. F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2827ffvelrnda 6012 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( ( abs o. F ) ` z ) e. RR )
29 cncff 21125 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
3019, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
3130adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
32 fvco3 5935 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : ( A [,] B ) --> CC /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( abs o. F ) ` y ) = ( abs ` ( F ` y ) ) )
3331, 32sylan 471 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( abs o. F ) ` y ) = ( abs ` ( F ` y ) ) )
3433breq1d 4450 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) <-> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
3534ralbidva 2893 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
3635biimpd 207 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
37 breq2 4444 . . . . . . . 8 |- ( x = ( ( abs o. F ) ` z ) -> ( ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
3837ralbidv 2896 . . . . . . 7 |- ( x = ( ( abs o. F ) ` z ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
3938rspcev 3207 . . . . . 6 |- ( ( ( ( abs o. F ) ` z ) e. RR /\ A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
4028, 36, 39syl6an 545 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) )
4140rexlimdva 2948 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) )
4241imp 429 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
4325, 42syldan 470 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
4415, 43, 5, 3ltlecasei 9681 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   E.wrex 2808   (/)c0 3778   class class class wbr 4440   o. ccom 4996   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   [,]cicc 11521   abscabs 13017   -cn->ccncf 21108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-cmp 19646  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110
This theorem is referenced by:  cniccibl  21975  c1liplem1  22125  itgsubstlem  22177  cnicciblnc  29514  cncfioobd  31055  fourierdlem39  31265
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