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Theorem cniccbdd 20786
Description: A continuous function on a closed interval is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cniccbdd |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y
Proof of Theorem cniccbdd
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9373 . . 3 |- 0 e. RR
2 ral0 3772 . . . 4 |- A. y e. (/) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0
3 simp1 981 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> A e. RR )
43rexrd 9420 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> A e. RR* )
5 simp2 982 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> B e. RR )
65rexrd 9420 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> B e. RR* )
7 icc0 11335 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
84, 6, 7syl2anc 654 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
98biimpar 482 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ B < A ) -> ( A [,] B ) = (/) )
109raleqdv 2913 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ B < A ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 <-> A. y e. (/) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 ) )
112, 10mpbiri 233 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ B < A ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 )
12 breq2 4284 . . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 ) )
1312ralbidv 2725 . . . 4 |- ( x = 0 -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 ) )
1413rspcev 3062 . . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
151, 11, 14sylancr 656 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ B < A ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
163adantr 462 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> A e. RR )
175adantr 462 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> B e. RR )
18 simpr 458 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> A <_ B )
19 simp3 983 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
20 abscncf 20318 . . . . . . . 8 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
2120a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> abs e. ( CC -cn-> RR ) )
2219, 21cncfco 20324 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( abs o. F ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2322adantr 462 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs o. F ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2416, 17, 18, 23evthicc 20784 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> ( E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) /\ E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` z ) <_ ( ( abs o. F ) ` y ) ) )
2524simpld 456 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) )
26 cncff 20310 . . . . . . . 8 |- ( ( abs o. F ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( abs o. F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2722, 26syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( abs o. F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2827ffvelrnda 5831 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( ( abs o. F ) ` z ) e. RR )
29 cncff 20310 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
3019, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
3130adantr 462 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
32 fvco3 5756 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : ( A [,] B ) --> CC /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( abs o. F ) ` y ) = ( abs ` ( F ` y ) ) )
3331, 32sylan 468 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( abs o. F ) ` y ) = ( abs ` ( F ` y ) ) )
3433breq1d 4290 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) <-> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
3534ralbidva 2721 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
3635biimpd 207 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
37 breq2 4284 . . . . . . . 8 |- ( x = ( ( abs o. F ) ` z ) -> ( ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
3837ralbidv 2725 . . . . . . 7 |- ( x = ( ( abs o. F ) ` z ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
3938rspcev 3062 . . . . . 6 |- ( ( ( ( abs o. F ) ` z ) e. RR /\ A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
4028, 36, 39syl6an 540 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) )
4140rexlimdva 2831 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) )
4241imp 429 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
4325, 42syldan 467 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
4415, 43, 5, 3ltlecasei 9469 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   e. wcel 1755   A.wral 2705   E.wrex 2706   (/)c0 3625   class class class wbr 4280   o. ccom 4831   -->wf 5402   ` cfv 5406  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   RR*cxr 9404   < clt 9405   <_ cle 9406   [,]cicc 11290   abscabs 12706   -cn->ccncf 20293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346  ax-pre-sup 9347  ax-mulf 9349
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-iin 4162  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-of 6309  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-ixp 7252  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-fi 7649  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-cda 8325  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585  df-div 9981  df-nn 10310  df-2 10367  df-3 10368  df-4 10369  df-5 10370  df-6 10371  df-7 10372  df-8 10373  df-9 10374  df-10 10375  df-n0 10567  df-z 10634  df-dec 10743  df-uz 10849  df-q 10941  df-rp 10979  df-xneg 11076  df-xadd 11077  df-xmul 11078  df-ioo 11291  df-icc 11294  df-fz 11424  df-fzo 11532  df-seq 11790  df-exp 11849  df-hash 12087  df-cj 12571  df-re 12572  df-im 12573  df-sqr 12707  df-abs 12708  df-struct 14158  df-ndx 14159  df-slot 14160  df-base 14161  df-sets 14162  df-ress 14163  df-plusg 14233  df-mulr 14234  df-starv 14235  df-sca 14236  df-vsca 14237  df-ip 14238  df-tset 14239  df-ple 14240  df-ds 14242  df-unif 14243  df-hom 14244  df-cco 14245  df-rest 14343  df-topn 14344  df-0g 14362  df-gsum 14363  df-topgen 14364  df-pt 14365  df-prds 14368  df-xrs 14422  df-qtop 14427  df-imas 14428  df-xps 14430  df-mre 14506  df-mrc 14507  df-acs 14509  df-mnd 15397  df-submnd 15447  df-mulg 15527  df-cntz 15814  df-cmn 16258  df-psmet 17652  df-xmet 17653  df-met 17654  df-bl 17655  df-mopn 17656  df-cnfld 17662  df-top 18344  df-bases 18346  df-topon 18347  df-topsp 18348  df-cn 18672  df-cnp 18673  df-cmp 18831  df-tx 18976  df-hmeo 19169  df-xms 19736  df-ms 19737  df-tms 19738  df-cncf 20295
This theorem is referenced by:  cniccibl  21159  c1liplem1  21309  itgsubstlem  21361  cnicciblnc  28304
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