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Theorem cniccbdd 22293
Description: A continuous function on a closed interval is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cniccbdd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem cniccbdd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9642 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ral0 3908 . . . 4  |-  A. y  e.  (/)  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0
3 simp1 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  A  e.  RR )
43rexrd 9689 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  A  e.  RR* )
5 simp2 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  B  e.  RR )
65rexrd 9689 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  B  e.  RR* )
7 icc0 11684 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
84, 6, 7syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( ( A [,] B )  =  (/) 
<->  B  <  A ) )
98biimpar 487 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
109raleqdv 3038 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  0  <->  A. y  e.  (/)  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0 ) )
112, 10mpbiri 236 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0 )
12 breq2 4430 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  0
) )
1312ralbidv 2871 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0 ) )
1413rspcev 3188 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  0 )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x )
151, 11, 14sylancr 667 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
163adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
175adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
18 simpr 462 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
19 simp3 1007 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
20 abscncf 21829 . . . . . . . 8  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  abs  e.  ( CC -cn-> RR ) )
2219, 21cncfco 21835 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  F )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> RR ) )
2322adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  ( abs  o.  F )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2416, 17, 18, 23evthicc 22291 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `
 y )  <_ 
( ( abs  o.  F ) `  z
)  /\  E. z  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  z )  <_  (
( abs  o.  F
) `  y )
) )
2524simpld 460 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  E. z  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  y )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
)
26 cncff 21821 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  F )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  ( abs  o.  F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2722, 26syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2827ffvelrnda 6037 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  z )  e.  RR )
29 cncff 21821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
3019, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
3130adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
32 fvco3 5958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> CC 
/\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
3331, 32sylan 473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  y )  =  ( abs `  ( F `  y )
) )
3433breq1d 4436 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( ( abs  o.  F ) `  y
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z )  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
) )
3534ralbidva 2868 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  <->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z ) ) )
3635biimpd 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z ) ) )
37 breq2 4430 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( abs 
o.  F ) `  z )  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
) )
3837ralbidv 2871 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( abs 
o.  F ) `  z )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z ) ) )
3938rspcev 3188 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs  o.  F ) `  z
)  e.  RR  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  ( ( abs 
o.  F ) `  z ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x )
4028, 36, 39syl6an 547 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)
4140rexlimdva 2924 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  y )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )
4241imp 430 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  y )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
4325, 42syldan 472 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
4415, 43, 5, 3ltlecasei 9741 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   (/)c0 3767   class class class wbr 4426    o. ccom 4858   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   RR*cxr 9673    < clt 9674    <_ cle 9675   [,]cicc 11638   abscabs 13276   -cn->ccncf 21804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-cmp 20333  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cncf 21806
This theorem is referenced by:  cniccibl  22675  c1liplem1  22825  itgsubstlem  22877  cnicciblnc  31717  cncfioobd  37347  fourierdlem39  37577
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