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Theorem cniccbdd 21063
Description: A continuous function on a closed interval is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cniccbdd |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, F, y
Proof of Theorem cniccbdd
Dummy variable z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9489 . . 3 |- 0 e. RR
2 ral0 3884 . . . 4 |- A. y e. (/) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0
3 simp1 988 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> A e. RR )
43rexrd 9536 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> A e. RR* )
5 simp2 989 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> B e. RR )
65rexrd 9536 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> B e. RR* )
7 icc0 11451 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
84, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( ( A [,] B ) = (/) <-> B < A ) )
98biimpar 485 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ B < A ) -> ( A [,] B ) = (/) )
109raleqdv 3021 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ B < A ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 <-> A. y e. (/) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 ) )
112, 10mpbiri 233 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ B < A ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 )
12 breq2 4396 . . . . 5 |- ( x = 0 -> ( ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 ) )
1312ralbidv 2838 . . . 4 |- ( x = 0 -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 ) )
1413rspcev 3171 . . 3 |- ( ( 0 e. RR /\ A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ 0 ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
151, 11, 14sylancr 663 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ B < A ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
163adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> A e. RR )
175adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> B e. RR )
18 simpr 461 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> A <_ B )
19 simp3 990 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
20 abscncf 20595 . . . . . . . 8 |- abs e. ( CC -cn-> RR )
2120a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> abs e. ( CC -cn-> RR ) )
2219, 21cncfco 20601 . . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( abs o. F ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2322adantr 465 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> ( abs o. F ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2416, 17, 18, 23evthicc 21061 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> ( E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) /\ E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` z ) <_ ( ( abs o. F ) ` y ) ) )
2524simpld 459 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) )
26 cncff 20587 . . . . . . . 8 |- ( ( abs o. F ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) -> ( abs o. F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2722, 26syl 16 . . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( abs o. F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2827ffvelrnda 5944 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( ( abs o. F ) ` z ) e. RR )
29 cncff 20587 . . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
3019, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
3130adantr 465 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
32 fvco3 5869 . . . . . . . . . 10 |- ( ( F : ( A [,] B ) --> CC /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( abs o. F ) ` y ) = ( abs ` ( F ` y ) ) )
3331, 32sylan 471 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( abs o. F ) ` y ) = ( abs ` ( F ` y ) ) )
3433breq1d 4402 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) <-> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
3534ralbidva 2836 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) <-> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
3635biimpd 207 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) -> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
37 breq2 4396 . . . . . . . 8 |- ( x = ( ( abs o. F ) ` z ) -> ( ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
3837ralbidv 2838 . . . . . . 7 |- ( x = ( ( abs o. F ) ` z ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x <-> A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) )
3938rspcev 3171 . . . . . 6 |- ( ( ( ( abs o. F ) ` z ) e. RR /\ A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
4028, 36, 39syl6an 545 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ z e. ( A [,] B ) ) -> ( A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) )
4140rexlimdva 2939 . . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> ( E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x ) )
4241imp 429 . . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ E. z e. ( A [,] B ) A. y e. ( A [,] B ) ( ( abs o. F ) ` y ) <_ ( ( abs o. F ) ` z ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
4325, 42syldan 470 . 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) /\ A <_ B ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
4415, 43, 5, 3ltlecasei 9585 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) ) -> E. x e. RR A. y e. ( A [,] B ) ( abs ` ( F ` y ) ) <_ x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   (/)c0 3737   class class class wbr 4392   o. ccom 4944   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   CCcc 9383   RRcr 9384   0cc0 9385   RR*cxr 9520   < clt 9521   <_ cle 9522   [,]cicc 11406   abscabs 12827   -cn->ccncf 20570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463  ax-mulf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-supp 6793  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-ixp 7366  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-fsupp 7724  df-fi 7764  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-10 10491  df-n0 10683  df-z 10750  df-dec 10859  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xneg 11192  df-xadd 11193  df-xmul 11194  df-ioo 11407  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-sets 14284  df-ress 14285  df-plusg 14355  df-mulr 14356  df-starv 14357  df-sca 14358  df-vsca 14359  df-ip 14360  df-tset 14361  df-ple 14362  df-ds 14364  df-unif 14365  df-hom 14366  df-cco 14367  df-rest 14465  df-topn 14466  df-0g 14484  df-gsum 14485  df-topgen 14486  df-pt 14487  df-prds 14490  df-xrs 14544  df-qtop 14549  df-imas 14550  df-xps 14552  df-mre 14628  df-mrc 14629  df-acs 14631  df-mnd 15519  df-submnd 15569  df-mulg 15652  df-cntz 15939  df-cmn 16385  df-psmet 17920  df-xmet 17921  df-met 17922  df-bl 17923  df-mopn 17924  df-cnfld 17930  df-top 18621  df-bases 18623  df-topon 18624  df-topsp 18625  df-cn 18949  df-cnp 18950  df-cmp 19108  df-tx 19253  df-hmeo 19446  df-xms 20013  df-ms 20014  df-tms 20015  df-cncf 20572
This theorem is referenced by:  cniccibl  21436  c1liplem1  21586  itgsubstlem  21638  cnicciblnc  28603
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