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Theorem cniccbdd 22039
Description: A continuous function on a closed interval is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
cniccbdd  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, F, y

Proof of Theorem cniccbdd
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0re 9585 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ral0 3922 . . . 4  |-  A. y  e.  (/)  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0
3 simp1 994 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  A  e.  RR )
43rexrd 9632 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  A  e.  RR* )
5 simp2 995 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  B  e.  RR )
65rexrd 9632 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  B  e.  RR* )
7 icc0 11580 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR* )  ->  (
( A [,] B
)  =  (/)  <->  B  <  A ) )
84, 6, 7syl2anc 659 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( ( A [,] B )  =  (/) 
<->  B  <  A ) )
98biimpar 483 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  ( A [,] B )  =  (/) )
109raleqdv 3057 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  0  <->  A. y  e.  (/)  ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0 ) )
112, 10mpbiri 233 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0 )
12 breq2 4443 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  0
) )
1312ralbidv 2893 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  0 ) )
1413rspcev 3207 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  0 )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x )
151, 11, 14sylancr 661 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  B  <  A )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
163adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  A  e.  RR )
175adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  B  e.  RR )
18 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  A  <_  B )
19 simp3 996 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
20 abscncf 21571 . . . . . . . 8  |-  abs  e.  ( CC -cn-> RR )
2120a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  abs  e.  ( CC -cn-> RR ) )
2219, 21cncfco 21577 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  F )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> RR ) )
2322adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  ( abs  o.  F )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR ) )
2416, 17, 18, 23evthicc 22037 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F ) `
 y )  <_ 
( ( abs  o.  F ) `  z
)  /\  E. z  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  z )  <_  (
( abs  o.  F
) `  y )
) )
2524simpld 457 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  E. z  e.  ( A [,] B
) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  y )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
)
26 cncff 21563 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  F )  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> RR )  ->  ( abs  o.  F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2722, 26syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( abs  o.  F ) : ( A [,] B ) --> RR )
2827ffvelrnda 6007 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  z )  e.  RR )
29 cncff 21563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
3019, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
3130adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
32 fvco3 5925 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : ( A [,] B ) --> CC 
/\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( abs  o.  F ) `  y )  =  ( abs `  ( F `
 y ) ) )
3331, 32sylan 469 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( abs  o.  F
) `  y )  =  ( abs `  ( F `  y )
) )
3433breq1d 4449 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  /\  y  e.  ( A [,] B
) )  ->  (
( ( abs  o.  F ) `  y
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z )  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
) )
3534ralbidva 2890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  <->  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z ) ) )
3635biimpd 207 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  ->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z ) ) )
37 breq2 4443 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( abs 
o.  F ) `  z )  ->  (
( abs `  ( F `  y )
)  <_  x  <->  ( abs `  ( F `  y
) )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
) )
3837ralbidv 2893 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( abs 
o.  F ) `  z )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x  <->  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z ) ) )
3938rspcev 3207 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs  o.  F ) `  z
)  e.  RR  /\  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  ( ( abs 
o.  F ) `  z ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x )
4028, 36, 39syl6an 543 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  z  e.  ( A [,] B
) )  ->  ( A. y  e.  ( A [,] B ) ( ( abs  o.  F
) `  y )  <_  ( ( abs  o.  F ) `  z
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
)
4140rexlimdva 2946 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  y )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B ) ( abs `  ( F `
 y ) )  <_  x ) )
4241imp 427 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) A. y  e.  ( A [,] B
) ( ( abs 
o.  F ) `  y )  <_  (
( abs  o.  F
) `  z )
)  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
4325, 42syldan 468 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  /\  A  <_  B )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
4415, 43, 5, 3ltlecasei 9681 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  ( A [,] B
) ( abs `  ( F `  y )
)  <_  x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   (/)c0 3783   class class class wbr 4439    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   [,]cicc 11535   abscabs 13149   -cn->ccncf 21546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548
This theorem is referenced by:  cniccibl  22413  c1liplem1  22563  itgsubstlem  22615  cnicciblnc  30326  cncfioobd  31939  fourierdlem39  32167
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