Theorem cnheiborlem 20661

Description: Lemma for cnheibor 20662. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnheibor.2	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cnheibor.3	|- T = ( J ↾t X )
cnheibor.4	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
cnheibor.5	|- Y = ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnheiborlem	|- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> T e. Comp )

Distinct variable groups:   x, y, z   z, F   z, R   x, T, y, z   x, J, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   Y( x, y, z)

Proof of Theorem cnheiborlem

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnheibor.2	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtop 20498	. . . . 5 |- J e. Top
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> J e. Top )
4		cnheibor.4	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
5	4	cnref1o 11100	. . . . . . . . 9 |- F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC
6		f1ofn 5753	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F Fn ( RR X. RR ) )
7		elpreima 5935	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( RR X. RR ) -> ( u e. ( `' F " X ) <-> ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( `' F " X ) <-> ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) )
9		1st2nd2 6726	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
10	9	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
11		xp1st 6719	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> ( 1st ` u ) e. RR )
12	11	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. RR )
13	12	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. CC )
14	13	abscld 13043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) e. RR )
15	1	cnfldtopon 20497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- J e. (TopOn ` CC )
16	15	toponunii 18672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC = U. J
17	16	cldss 18768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. ( Clsd ` J ) -> X C_ CC )
18	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ CC )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> X C_ CC )
20		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( F ` u ) e. X )
21	19, 20	sseldd 3468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( F ` u ) e. CC )
22	21	abscld 13043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( F ` u ) ) e. RR )
23		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> R e. RR )
24		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u e. ( RR X. RR ) )
25		f1ocnvfv1 6095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC /\ u e. ( RR X. RR ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = u )
26	5, 24, 25	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = u )
27		fveq2 5802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( F ` u ) -> ( Re ` z ) = ( Re ` ( F ` u ) ) )
28		fveq2 5802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( F ` u ) -> ( Im ` z ) = ( Im ` ( F ` u ) ) )
29	27, 28	opeq12d 4178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( F ` u ) -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
30	4	cnrecnv 12775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
31		opex 4667	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. e. _V
32	29, 30, 31	fvmpt 5886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
33	21, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
34	26, 33	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
35	34	fveq2d 5806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) = ( 1st ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) )
36		fvex 5812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Re ` ( F ` u ) ) e. _V
37		fvex 5812	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Im ` ( F ` u ) ) e. _V
38	36, 37	op1st 6698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1st ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) = ( Re ` ( F ` u ) )
39	35, 38	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) = ( Re ` ( F ` u ) ) )
40	39	fveq2d 5806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) )
41		absrele 12918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
42	21, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
43	40, 42	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
44		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> A. z e. X ( abs ` z ) <_ R )
45		fveq2 5802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( F ` u ) -> ( abs ` z ) = ( abs ` ( F ` u ) ) )
46	45	breq1d 4413	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( F ` u ) -> ( ( abs ` z ) <_ R <-> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R ) )
47	46	rspcv 3175	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` u ) e. X -> ( A. z e. X ( abs ` z ) <_ R -> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R ) )
48	20, 44, 47	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R )
49	14, 22, 23, 43, 48	letrd 9642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ R )
50	12, 23	absled 13038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ R <-> ( -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
51	49, 50	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) )
52	51	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R <_ ( 1st ` u ) )
53	51	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) <_ R )
54		renegcl 9786	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. RR -> -u R e. RR )
55	23, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R e. RR )
56		elicc2 11474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 1st ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
57	55, 23, 56	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 1st ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
58	12, 52, 53, 57	mpbir3and 1171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) )
59		xp2nd 6720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> ( 2nd ` u ) e. RR )
60	59	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. RR )
61	60	recnd 9526	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. CC )
62	61	abscld 13043	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) e. RR )
63	34	fveq2d 5806	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) = ( 2nd ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) )
64	36, 37	op2nd 6699	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) = ( Im ` ( F ` u ) )
65	63, 64	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) = ( Im ` ( F ` u ) ) )
66	65	fveq2d 5806	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) )
67		absimle 12919	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
68	21, 67	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
69	66, 68	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
70	62, 22, 23, 69, 48	letrd 9642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ R )
71	60, 23	absled 13038	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ R <-> ( -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
72	70, 71	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) )
73	72	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R <_ ( 2nd ` u ) )
74	72	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) <_ R )
75		elicc2 11474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 2nd ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
76	55, 23, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 2nd ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
77	60, 73, 74, 76	mpbir3and 1171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) )
78		opelxpi 4982	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) /\ ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) ) -> <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
79	58, 77, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
80	10, 79	eqeltrd 2542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
81	80	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
82	8, 81	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( u e. ( `' F " X ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
83	82	ssrdv 3473	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
84		f1ofun 5754	. . . . . . . 8 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> Fun F )
85	5, 84	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Fun F
86		f1ofo 5759	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F : ( RR X. RR ) -onto-> CC )
87		forn 5734	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -onto-> CC -> ran F = CC )
88	5, 86, 87	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ran F = CC
89	18, 88	syl6sseqr 3514	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ ran F )
90		funimass1 5602	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ X C_ ran F ) -> ( ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) )
91	85, 89, 90	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) )
92	83, 91	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
93		cnheibor.5	. . . . 5 |- Y = ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
94	92, 93	syl6sseqr 3514	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ Y )
95		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
96	4, 95, 1	cnrehmeo 20660	. . . . . . 7 |- F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J )
97		imaexg 6628	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J ) -> ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. _V )
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. _V
99	93, 98	eqeltri 2538	. . . . 5 |- Y e. _V
100	99	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> Y e. _V )
101		restabs 18904	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ X C_ Y /\ Y e. _V ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = ( J ↾t X ) )
102	3, 94, 100, 101	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = ( J ↾t X ) )
103		cnheibor.3	. . 3 |- T = ( J ↾t X )
104	102, 103	syl6eqr 2513	. 2 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = T )
105	93	oveq2i 6214	. . . . 5 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
106		ishmeo 19467	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J ) <-> ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ `' F e. ( J Cn ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ) ) )
107	96, 106	mpbi 208	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ `' F e. ( J Cn ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ) )
108	107	simpli 458	. . . . . 6 |- F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J )
109		iccssre 11491	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( -u R [,] R ) C_ RR )
110	54, 109	mpancom 669	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> ( -u R [,] R ) C_ RR )
111	1, 95	rerest 20516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u R [,] R ) C_ RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
112	110, 111	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
113	112, 112	oveq12d 6221	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) ) )
114		retop 20475	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
115		ovex 6228	. . . . . . . . 9 |- ( -u R [,] R ) e. _V
116		txrest 19339	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( topGen ` ran (,) ) e. Top ) /\ ( ( -u R [,] R ) e. _V /\ ( -u R [,] R ) e. _V ) ) -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) ) )
117	114, 114, 115, 115, 116	mp4an 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
118	113, 117	syl6eqr 2513	. . . . . . 7 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
119		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) )
120	95, 119	icccmp 20537	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
121	54, 120	mpancom 669	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
122	112, 121	eqeltrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
123		txcmp 19351	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp /\ ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp ) -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
124	122, 122, 123	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
125	118, 124	eqeltrrd 2543	. . . . . 6 |- ( R e. RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
126		imacmp 19135	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp ) -> ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) e. Comp )
127	108, 125, 126	sylancr 663	. . . . 5 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) e. Comp )
128	105, 127	syl5eqel 2546	. . . 4 |- ( R e. RR -> ( J ↾t Y ) e. Comp )
129	128	ad2antrl 727	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( J ↾t Y ) e. Comp )
130		imassrn 5291	. . . . . . 7 |- ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) C_ ran F
131	93, 130	eqsstri 3497	. . . . . 6 |- Y C_ ran F
132		f1of 5752	. . . . . . 7 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F : ( RR X. RR ) --> CC )
133		frn 5676	. . . . . . 7 |- ( F : ( RR X. RR ) --> CC -> ran F C_ CC )
134	5, 132, 133	mp2b 10	. . . . . 6 |- ran F C_ CC
135	131, 134	sstri 3476	. . . . 5 |- Y C_ CC
136	135	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> Y C_ CC )
137		simpl 457	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
138	16	restcldi 18912	. . . 4 |- ( ( Y C_ CC /\ X e. ( Clsd ` J ) /\ X C_ Y ) -> X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
139	136, 137, 94, 138	syl3anc 1219	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
140		cmpcld 19140	. . 3 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Comp /\ X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) e. Comp )
141	129, 139, 140	syl2anc 661	. 2 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) e. Comp )
142	104, 141	eqeltrrd 2543	1 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> T e. Comp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   C_ wss 3439   <.cop 3994   class class class wbr 4403   X. cxp 4949   `'ccnv 4950   ran crn 4952   "cima 4954   Fun wfun 5523   Fn wfn 5524   -->wf 5525   -onto->wfo 5527   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   |-> cmpt2 6205   1stc1st 6688   2ndc2nd 6689   CCcc 9394   RRcr 9395   _ici 9398   + caddc 9399   x. cmul 9401   <_ cle 9533   -ucneg 9710   (,)cioo 11414   [,]cicc 11417   Recre 12707   Imcim 12708   abscabs 12844   ↾_t crest 14481   TopOpenctopn 14482   topGenctg 14498  ℂ_fldccnfld 17946   Topctop 18633   Clsdccld 18755   Cn ccn 18963   Compccmp 19124   tX ctx 19268   Homeochmeo 19461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-cmp 19125  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cncf 20589

This theorem is referenced by:  cnheibor  20662