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Theorem cnheiborlem 21322
Description: Lemma for cnheibor 21323. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnheibor.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cnheibor.3  |-  T  =  ( Jt  X )
cnheibor.4  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
cnheibor.5  |-  Y  =  ( F " (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )
Assertion
Ref Expression
cnheiborlem  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  T  e.  Comp )
Distinct variable groups:    x, y,
z    z, F    z, R    x, T, y, z    x, J, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    R( x, y)    F( x, y)    Y( x, y, z)

Proof of Theorem cnheiborlem
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnheibor.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 21159 . . . . 5  |-  J  e. 
Top
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  J  e.  Top )
4 cnheibor.4 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
54cnref1o 11227 . . . . . . . . 9  |-  F :
( RR  X.  RR )
-1-1-onto-> CC
6 f1ofn 5823 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  F  Fn  ( RR  X.  RR ) )
7 elpreima 6008 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( RR  X.  RR )  ->  ( u  e.  ( `' F " X )  <->  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( `' F " X )  <->  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )
9 1st2nd2 6832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  ->  u  = 
<. ( 1st `  u
) ,  ( 2nd `  u ) >. )
109ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  u  =  <. ( 1st `  u
) ,  ( 2nd `  u ) >. )
11 xp1st 6825 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 1st `  u )  e.  RR )
1211ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  e.  RR )
1312recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  e.  CC )
1413abscld 13247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 1st `  u
) )  e.  RR )
151cnfldtopon 21158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1615toponunii 19302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  CC  =  U. J
1716cldss 19398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  ->  X  C_  CC )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  C_  CC )
1918adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  X  C_  CC )
20 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( F `  u )  e.  X )
2119, 20sseldd 3510 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
2221abscld 13247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( F `  u ) )  e.  RR )
23 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  R  e.  RR )
24 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  u  e.  ( RR  X.  RR ) )
25 f1ocnvfv1 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( RR 
X.  RR ) -1-1-onto-> CC  /\  u  e.  ( RR  X.  RR ) )  -> 
( `' F `  ( F `  u ) )  =  u )
265, 24, 25sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 u ) )  =  u )
27 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  (
Re `  z )  =  ( Re `  ( F `  u ) ) )
28 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  (
Im `  z )  =  ( Im `  ( F `  u ) ) )
2927, 28opeq12d 4227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  <. (
Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >.  =  <. ( Re `  ( F `
 u ) ) ,  ( Im `  ( F `  u ) ) >. )
304cnrecnv 12978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
31 opex 4717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  <. (
Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im `  ( F `  u )
) >.  e.  _V
3229, 30, 31fvmpt 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  u )  e.  CC  ->  ( `' F `  ( F `
 u ) )  =  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)
3321, 32syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 u ) )  =  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)
3426, 33eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  u  =  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)
3534fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  =  ( 1st `  <. ( Re `  ( F `
 u ) ) ,  ( Im `  ( F `  u ) ) >. ) )
36 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Re
`  ( F `  u ) )  e. 
_V
37 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Im
`  ( F `  u ) )  e. 
_V
3836, 37op1st 6803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1st `  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)  =  ( Re
`  ( F `  u ) )
3935, 38syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  =  ( Re `  ( F `  u )
) )
4039fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 1st `  u
) )  =  ( abs `  ( Re
`  ( F `  u ) ) ) )
41 absrele 13121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  u )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  ( F `  u ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
4221, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( Re `  ( F `  u ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
4340, 42eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 1st `  u
) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
44 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R
)
45 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  ( abs `  z )  =  ( abs `  ( F `  u )
) )
4645breq1d 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  <->  ( abs `  ( F `  u
) )  <_  R
) )
4746rspcv 3215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  u )  e.  X  ->  ( A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R  ->  ( abs `  ( F `  u ) )  <_  R ) )
4820, 44, 47sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( F `  u ) )  <_  R )
4914, 22, 23, 43, 48letrd 9750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 1st `  u
) )  <_  R
)
5012, 23absled 13242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  (
( abs `  ( 1st `  u ) )  <_  R  <->  ( -u R  <_  ( 1st `  u
)  /\  ( 1st `  u )  <_  R
) ) )
5149, 50mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( -u R  <_  ( 1st `  u )  /\  ( 1st `  u )  <_  R ) )
5251simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  -u R  <_  ( 1st `  u
) )
5351simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  <_  R )
54 renegcl 9894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RR  ->  -u R  e.  RR )
5523, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  -u R  e.  RR )
56 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( 1st `  u )  e.  (
-u R [,] R
)  <->  ( ( 1st `  u )  e.  RR  /\  -u R  <_  ( 1st `  u )  /\  ( 1st `  u )  <_  R ) ) )
5755, 23, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  (
( 1st `  u
)  e.  ( -u R [,] R )  <->  ( ( 1st `  u )  e.  RR  /\  -u R  <_  ( 1st `  u
)  /\  ( 1st `  u )  <_  R
) ) )
5812, 52, 53, 57mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  e.  ( -u R [,] R ) )
59 xp2nd 6826 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  u )  e.  RR )
6059ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  e.  RR )
6160recnd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  e.  CC )
6261abscld 13247 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 2nd `  u
) )  e.  RR )
6334fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  =  ( 2nd `  <. ( Re `  ( F `
 u ) ) ,  ( Im `  ( F `  u ) ) >. ) )
6436, 37op2nd 6804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2nd `  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)  =  ( Im
`  ( F `  u ) )
6563, 64syl6eq 2524 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  =  ( Im `  ( F `  u )
) )
6665fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 2nd `  u
) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( F `  u ) ) ) )
67 absimle 13122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  u )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( F `  u ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
6821, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( F `  u ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
6966, 68eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 2nd `  u
) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
7062, 22, 23, 69, 48letrd 9750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 2nd `  u
) )  <_  R
)
7160, 23absled 13242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  (
( abs `  ( 2nd `  u ) )  <_  R  <->  ( -u R  <_  ( 2nd `  u
)  /\  ( 2nd `  u )  <_  R
) ) )
7270, 71mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( -u R  <_  ( 2nd `  u )  /\  ( 2nd `  u )  <_  R ) )
7372simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  -u R  <_  ( 2nd `  u
) )
7472simprd 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  <_  R )
75 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( 2nd `  u )  e.  (
-u R [,] R
)  <->  ( ( 2nd `  u )  e.  RR  /\  -u R  <_  ( 2nd `  u )  /\  ( 2nd `  u )  <_  R ) ) )
7655, 23, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  (
( 2nd `  u
)  e.  ( -u R [,] R )  <->  ( ( 2nd `  u )  e.  RR  /\  -u R  <_  ( 2nd `  u
)  /\  ( 2nd `  u )  <_  R
) ) )
7760, 73, 74, 76mpbir3and 1179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  e.  ( -u R [,] R ) )
78 opelxpi 5037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  u
)  e.  ( -u R [,] R )  /\  ( 2nd `  u )  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  <. ( 1st `  u
) ,  ( 2nd `  u ) >.  e.  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )
7958, 77, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  <. ( 1st `  u ) ,  ( 2nd `  u
) >.  e.  ( (
-u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )
8010, 79eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  u  e.  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )
8180ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
)  ->  u  e.  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
828, 81syl5bi 217 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( u  e.  ( `' F " X )  ->  u  e.  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
8382ssrdv 3515 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( `' F " X )  C_  (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )
84 f1ofun 5824 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  Fun  F )
855, 84ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  Fun  F
86 f1ofo 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  F :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC )
87 forn 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -onto-> CC  ->  ran  F  =  CC )
885, 86, 87mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ran  F  =  CC
8918, 88syl6sseqr 3556 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  C_  ran  F )
90 funimass1 5667 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  X  C_ 
ran  F )  -> 
( ( `' F " X )  C_  (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) )  ->  X  C_  ( F " ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) ) )
9185, 89, 90sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( `' F " X )  C_  (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) )  ->  X  C_  ( F " ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) ) )
9283, 91mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  C_  ( F "
( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
93 cnheibor.5 . . . . 5  |-  Y  =  ( F " (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )
9492, 93syl6sseqr 3556 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  C_  Y )
95 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
964, 95, 1cnrehmeo 21321 . . . . . . 7  |-  F  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
) Homeo J )
97 imaexg 6732 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
) Homeo J )  -> 
( F " (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )  e.  _V )
9896, 97ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( F
" ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )  e.  _V
9993, 98eqeltri 2551 . . . . 5  |-  Y  e. 
_V
10099a1i 11 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  Y  e.  _V )
101 restabs 19534 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  Y  /\  Y  e.  _V )  ->  (
( Jt  Y )t  X )  =  ( Jt  X ) )
1023, 94, 100, 101syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( Jt  Y )t  X )  =  ( Jt  X ) )
103 cnheibor.3 . . 3  |-  T  =  ( Jt  X )
104102, 103syl6eqr 2526 . 2  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( Jt  Y )t  X )  =  T )
10593oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  ( F " ( (
-u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
106 ishmeo 20128 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
) Homeo J )  <->  ( F  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  `' F  e.  ( J  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
) ) ) )
10796, 106mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  `' F  e.  ( J  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
) ) )
108107simpli 458 . . . . . 6  |-  F  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Cn  J )
109 iccssre 11618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( -u R [,] R )  C_  RR )
11054, 109mpancom 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR  ->  ( -u R [,] R ) 
C_  RR )
1111, 95rerest 21177 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u R [,] R
)  C_  RR  ->  ( Jt  ( -u R [,] R ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) )
112110, 111syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR  ->  ( Jt  ( -u R [,] R
) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) )
113112, 112oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( Jt  ( -u R [,] R ) )  tX  ( Jt  ( -u R [,] R ) ) )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  tX  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) ) )
114 retop 21136 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
115 ovex 6320 . . . . . . . . 9  |-  ( -u R [,] R )  e. 
_V
116 txrest 20000 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )  /\  (
( -u R [,] R
)  e.  _V  /\  ( -u R [,] R
)  e.  _V )
)  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)t  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  tX  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) ) )
117114, 114, 115, 115, 116mp4an 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)t  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  tX  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) )
118113, 117syl6eqr 2526 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( Jt  ( -u R [,] R ) )  tX  ( Jt  ( -u R [,] R ) ) )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)t  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
119 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )
12095, 119icccmp 21198 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  e. 
Comp )
12154, 120mpancom 669 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  e.  Comp )
122112, 121eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR  ->  ( Jt  ( -u R [,] R
) )  e.  Comp )
123 txcmp 20012 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Jt  ( -u R [,] R ) )  e. 
Comp  /\  ( Jt  ( -u R [,] R ) )  e.  Comp )  ->  (
( Jt  ( -u R [,] R ) )  tX  ( Jt  ( -u R [,] R ) ) )  e.  Comp )
124122, 122, 123syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( Jt  ( -u R [,] R ) )  tX  ( Jt  ( -u R [,] R ) ) )  e.  Comp )
125118, 124eqeltrrd 2556 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen ` 
ran  (,) ) )t  ( (
-u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )  e.  Comp )
126 imacmp 19765 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)t  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )  e.  Comp )  ->  ( Jt  ( F
" ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )  e.  Comp )
127108, 125, 126sylancr 663 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR  ->  ( Jt  ( F " ( (
-u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )  e.  Comp )
128105, 127syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( R  e.  RR  ->  ( Jt  Y )  e.  Comp )
129128ad2antrl 727 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( Jt  Y )  e.  Comp )
130 imassrn 5354 . . . . . . 7  |-  ( F
" ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) 
C_  ran  F
13193, 130eqsstri 3539 . . . . . 6  |-  Y  C_  ran  F
132 f1of 5822 . . . . . . 7  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  F :
( RR  X.  RR )
--> CC )
133 frn 5743 . . . . . . 7  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) --> CC  ->  ran  F 
C_  CC )
1345, 132, 133mp2b 10 . . . . . 6  |-  ran  F  C_  CC
135131, 134sstri 3518 . . . . 5  |-  Y  C_  CC
136135a1i 11 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  Y  C_  CC )
137 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  e.  ( Clsd `  J ) )
13816restcldi 19542 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  X  C_  Y
)  ->  X  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y
) ) )
139136, 137, 94, 138syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) ) )
140 cmpcld 19770 . . 3  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  Comp  /\  X  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) ) )  ->  ( ( Jt  Y )t  X )  e.  Comp )
141129, 139, 140syl2anc 661 . 2  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( Jt  Y )t  X )  e.  Comp )
142104, 141eqeltrrd 2556 1  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  T  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   <.cop 4039   class class class wbr 4453    X. cxp 5003   `'ccnv 5004   ran crn 5006   "cima 5008   Fun wfun 5588    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   1stc1st 6793   2ndc2nd 6794   CCcc 9502   RRcr 9503   _ici 9506    + caddc 9507    x. cmul 9509    <_ cle 9641   -ucneg 9818   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   Recre 12910   Imcim 12911   abscabs 13047   ↾t crest 14693   TopOpenctopn 14694   topGenctg 14710  ℂfldccnfld 18290   Topctop 19263   Clsdccld 19385    Cn ccn 19593   Compccmp 19754    tX ctx 19929   Homeochmeo 20122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250
This theorem is referenced by:  cnheibor  21323
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