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Theorem cnheiborlem 21982
Description: Lemma for cnheibor 21983. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnheibor.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cnheibor.3  |-  T  =  ( Jt  X )
cnheibor.4  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
cnheibor.5  |-  Y  =  ( F " (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )
Assertion
Ref Expression
cnheiborlem  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  T  e.  Comp )
Distinct variable groups:    x, y,
z    z, F    z, R    x, T, y, z    x, J, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    R( x, y)    F( x, y)    Y( x, y, z)

Proof of Theorem cnheiborlem
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnheibor.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldtop 21804 . . . . 5  |-  J  e. 
Top
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  J  e.  Top )
4 cnheibor.4 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( x  e.  RR ,  y  e.  RR  |->  ( x  +  (
_i  x.  y )
) )
54cnref1o 11297 . . . . . . . . 9  |-  F :
( RR  X.  RR )
-1-1-onto-> CC
6 f1ofn 5815 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  F  Fn  ( RR  X.  RR ) )
7 elpreima 6002 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  ( RR  X.  RR )  ->  ( u  e.  ( `' F " X )  <->  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  ( `' F " X )  <->  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )
9 1st2nd2 6830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  ->  u  = 
<. ( 1st `  u
) ,  ( 2nd `  u ) >. )
109ad2antrl 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  u  =  <. ( 1st `  u
) ,  ( 2nd `  u ) >. )
11 xp1st 6823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 1st `  u )  e.  RR )
1211ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  e.  RR )
1312recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  e.  CC )
1413abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 1st `  u
) )  e.  RR )
151cnfldtopon 21803 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
1615toponunii 19947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  CC  =  U. J
1716cldss 20044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  ->  X  C_  CC )
1817adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  C_  CC )
1918adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  X  C_  CC )
20 simprr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( F `  u )  e.  X )
2119, 20sseldd 3433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( F `  u )  e.  CC )
2221abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( F `  u ) )  e.  RR )
23 simplrl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  R  e.  RR )
24 simprl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  u  e.  ( RR  X.  RR ) )
25 f1ocnvfv1 6175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : ( RR 
X.  RR ) -1-1-onto-> CC  /\  u  e.  ( RR  X.  RR ) )  -> 
( `' F `  ( F `  u ) )  =  u )
265, 24, 25sylancr 669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 u ) )  =  u )
27 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  (
Re `  z )  =  ( Re `  ( F `  u ) ) )
28 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  (
Im `  z )  =  ( Im `  ( F `  u ) ) )
2927, 28opeq12d 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  <. (
Re `  z ) ,  ( Im `  z ) >.  =  <. ( Re `  ( F `
 u ) ) ,  ( Im `  ( F `  u ) ) >. )
304cnrecnv 13228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  `' F  =  ( z  e.  CC  |->  <. ( Re `  z ) ,  ( Im `  z )
>. )
31 opex 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  <. (
Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im `  ( F `  u )
) >.  e.  _V
3229, 30, 31fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F `  u )  e.  CC  ->  ( `' F `  ( F `
 u ) )  =  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)
3321, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( `' F `  ( F `
 u ) )  =  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)
3426, 33eqtr3d 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  u  =  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)
3534fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  =  ( 1st `  <. ( Re `  ( F `
 u ) ) ,  ( Im `  ( F `  u ) ) >. ) )
36 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Re
`  ( F `  u ) )  e. 
_V
37 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Im
`  ( F `  u ) )  e. 
_V
3836, 37op1st 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1st `  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)  =  ( Re
`  ( F `  u ) )
3935, 38syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  =  ( Re `  ( F `  u )
) )
4039fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 1st `  u
) )  =  ( abs `  ( Re
`  ( F `  u ) ) ) )
41 absrele 13371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  u )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Re `  ( F `  u ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
4221, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( Re `  ( F `  u ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
4340, 42eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 1st `  u
) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
44 simplrr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R
)
45 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  ( abs `  z )  =  ( abs `  ( F `  u )
) )
4645breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( F `  u )  ->  (
( abs `  z
)  <_  R  <->  ( abs `  ( F `  u
) )  <_  R
) )
4746rspcv 3146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  u )  e.  X  ->  ( A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R  ->  ( abs `  ( F `  u ) )  <_  R ) )
4820, 44, 47sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( F `  u ) )  <_  R )
4914, 22, 23, 43, 48letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 1st `  u
) )  <_  R
)
5012, 23absled 13492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  (
( abs `  ( 1st `  u ) )  <_  R  <->  ( -u R  <_  ( 1st `  u
)  /\  ( 1st `  u )  <_  R
) ) )
5149, 50mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( -u R  <_  ( 1st `  u )  /\  ( 1st `  u )  <_  R ) )
5251simpld 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  -u R  <_  ( 1st `  u
) )
5351simprd 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  <_  R )
54 renegcl 9937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  RR  ->  -u R  e.  RR )
5523, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  -u R  e.  RR )
56 elicc2 11699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( 1st `  u )  e.  (
-u R [,] R
)  <->  ( ( 1st `  u )  e.  RR  /\  -u R  <_  ( 1st `  u )  /\  ( 1st `  u )  <_  R ) ) )
5755, 23, 56syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  (
( 1st `  u
)  e.  ( -u R [,] R )  <->  ( ( 1st `  u )  e.  RR  /\  -u R  <_  ( 1st `  u
)  /\  ( 1st `  u )  <_  R
) ) )
5812, 52, 53, 57mpbir3and 1191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 1st `  u )  e.  ( -u R [,] R ) )
59 xp2nd 6824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  ->  ( 2nd `  u )  e.  RR )
6059ad2antrl 734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  e.  RR )
6160recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  e.  CC )
6261abscld 13498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 2nd `  u
) )  e.  RR )
6334fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  =  ( 2nd `  <. ( Re `  ( F `
 u ) ) ,  ( Im `  ( F `  u ) ) >. ) )
6436, 37op2nd 6802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 2nd `  <. ( Re `  ( F `  u ) ) ,  ( Im
`  ( F `  u ) ) >.
)  =  ( Im
`  ( F `  u ) )
6563, 64syl6eq 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  =  ( Im `  ( F `  u )
) )
6665fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 2nd `  u
) )  =  ( abs `  ( Im
`  ( F `  u ) ) ) )
67 absimle 13372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  u )  e.  CC  ->  ( abs `  ( Im `  ( F `  u ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
6821, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( Im `  ( F `  u ) ) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
6966, 68eqbrtrd 4423 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 2nd `  u
) )  <_  ( abs `  ( F `  u ) ) )
7062, 22, 23, 69, 48letrd 9792 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( abs `  ( 2nd `  u
) )  <_  R
)
7160, 23absled 13492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  (
( abs `  ( 2nd `  u ) )  <_  R  <->  ( -u R  <_  ( 2nd `  u
)  /\  ( 2nd `  u )  <_  R
) ) )
7270, 71mpbid 214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( -u R  <_  ( 2nd `  u )  /\  ( 2nd `  u )  <_  R ) )
7372simpld 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  -u R  <_  ( 2nd `  u
) )
7472simprd 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  <_  R )
75 elicc2 11699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( 2nd `  u )  e.  (
-u R [,] R
)  <->  ( ( 2nd `  u )  e.  RR  /\  -u R  <_  ( 2nd `  u )  /\  ( 2nd `  u )  <_  R ) ) )
7655, 23, 75syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  (
( 2nd `  u
)  e.  ( -u R [,] R )  <->  ( ( 2nd `  u )  e.  RR  /\  -u R  <_  ( 2nd `  u
)  /\  ( 2nd `  u )  <_  R
) ) )
7760, 73, 74, 76mpbir3and 1191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  ( 2nd `  u )  e.  ( -u R [,] R ) )
78 opelxpi 4866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  u
)  e.  ( -u R [,] R )  /\  ( 2nd `  u )  e.  ( -u R [,] R ) )  ->  <. ( 1st `  u
) ,  ( 2nd `  u ) >.  e.  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )
7958, 77, 78syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  <. ( 1st `  u ) ,  ( 2nd `  u
) >.  e.  ( (
-u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )
8010, 79eqeltrd 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  e.  (
Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\ 
A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  /\  ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
) )  ->  u  e.  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )
8180ex 436 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( u  e.  ( RR  X.  RR )  /\  ( F `  u )  e.  X
)  ->  u  e.  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
828, 81syl5bi 221 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( u  e.  ( `' F " X )  ->  u  e.  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
8382ssrdv 3438 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( `' F " X )  C_  (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )
84 f1ofun 5816 . . . . . . . 8  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  Fun  F )
855, 84ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  Fun  F
86 f1ofo 5821 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  F :
( RR  X.  RR ) -onto-> CC )
87 forn 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -onto-> CC  ->  ran  F  =  CC )
885, 86, 87mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  ran  F  =  CC
8918, 88syl6sseqr 3479 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  C_  ran  F )
90 funimass1 5656 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  X  C_ 
ran  F )  -> 
( ( `' F " X )  C_  (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) )  ->  X  C_  ( F " ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) ) )
9185, 89, 90sylancr 669 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( `' F " X )  C_  (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) )  ->  X  C_  ( F " ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) ) )
9283, 91mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  C_  ( F "
( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
93 cnheibor.5 . . . . 5  |-  Y  =  ( F " (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )
9492, 93syl6sseqr 3479 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  C_  Y )
95 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
964, 95, 1cnrehmeo 21981 . . . . . . 7  |-  F  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
) Homeo J )
97 imaexg 6730 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
) Homeo J )  -> 
( F " (
( -u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )  e.  _V )
9896, 97ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( F
" ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )  e.  _V
9993, 98eqeltri 2525 . . . . 5  |-  Y  e. 
_V
10099a1i 11 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  Y  e.  _V )
101 restabs 20181 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  Y  /\  Y  e.  _V )  ->  (
( Jt  Y )t  X )  =  ( Jt  X ) )
1023, 94, 100, 101syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( Jt  Y )t  X )  =  ( Jt  X ) )
103 cnheibor.3 . . 3  |-  T  =  ( Jt  X )
104102, 103syl6eqr 2503 . 2  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( Jt  Y )t  X )  =  T )
10593oveq2i 6301 . . . . 5  |-  ( Jt  Y )  =  ( Jt  ( F " ( (
-u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
106 ishmeo 20774 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
) Homeo J )  <->  ( F  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  `' F  e.  ( J  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
) ) ) )
10796, 106mpbi 212 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  `' F  e.  ( J  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
) ) )
108107simpli 460 . . . . . 6  |-  F  e.  ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )  tX  ( topGen `
 ran  (,) )
)  Cn  J )
109 iccssre 11716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( -u R [,] R )  C_  RR )
11054, 109mpancom 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  RR  ->  ( -u R [,] R ) 
C_  RR )
1111, 95rerest 21822 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u R [,] R
)  C_  RR  ->  ( Jt  ( -u R [,] R ) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) )
112110, 111syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR  ->  ( Jt  ( -u R [,] R
) )  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) )
113112, 112oveq12d 6308 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( Jt  ( -u R [,] R ) )  tX  ( Jt  ( -u R [,] R ) ) )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  tX  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) ) )
114 retop 21782 . . . . . . . . 9  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
115 ovex 6318 . . . . . . . . 9  |-  ( -u R [,] R )  e. 
_V
116 txrest 20646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top  /\  ( topGen `  ran  (,) )  e.  Top )  /\  (
( -u R [,] R
)  e.  _V  /\  ( -u R [,] R
)  e.  _V )
)  ->  ( (
( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)t  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  tX  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) ) )
117114, 114, 115, 115, 116mp4an 679 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)t  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )  =  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  tX  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) ) )
118113, 117syl6eqr 2503 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( Jt  ( -u R [,] R ) )  tX  ( Jt  ( -u R [,] R ) ) )  =  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)t  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )
119 eqid 2451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )
12095, 119icccmp 21843 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u R  e.  RR  /\  R  e.  RR )  ->  ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  e. 
Comp )
12154, 120mpancom 675 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( topGen `  ran  (,) )t  ( -u R [,] R ) )  e.  Comp )
122112, 121eqeltrd 2529 . . . . . . . 8  |-  ( R  e.  RR  ->  ( Jt  ( -u R [,] R
) )  e.  Comp )
123 txcmp 20658 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Jt  ( -u R [,] R ) )  e. 
Comp  /\  ( Jt  ( -u R [,] R ) )  e.  Comp )  ->  (
( Jt  ( -u R [,] R ) )  tX  ( Jt  ( -u R [,] R ) ) )  e.  Comp )
124122, 122, 123syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( Jt  ( -u R [,] R ) )  tX  ( Jt  ( -u R [,] R ) ) )  e.  Comp )
125118, 124eqeltrrd 2530 . . . . . 6  |-  ( R  e.  RR  ->  (
( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen ` 
ran  (,) ) )t  ( (
-u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) )  e.  Comp )
126 imacmp 20412 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)  Cn  J )  /\  ( ( (
topGen `  ran  (,) )  tX  ( topGen `  ran  (,) )
)t  ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) )  e.  Comp )  ->  ( Jt  ( F
" ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )  e.  Comp )
127108, 125, 126sylancr 669 . . . . 5  |-  ( R  e.  RR  ->  ( Jt  ( F " ( (
-u R [,] R
)  X.  ( -u R [,] R ) ) ) )  e.  Comp )
128105, 127syl5eqel 2533 . . . 4  |-  ( R  e.  RR  ->  ( Jt  Y )  e.  Comp )
129128ad2antrl 734 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( Jt  Y )  e.  Comp )
130 imassrn 5179 . . . . . . 7  |-  ( F
" ( ( -u R [,] R )  X.  ( -u R [,] R ) ) ) 
C_  ran  F
13193, 130eqsstri 3462 . . . . . 6  |-  Y  C_  ran  F
132 f1of 5814 . . . . . . 7  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) -1-1-onto-> CC  ->  F :
( RR  X.  RR )
--> CC )
133 frn 5735 . . . . . . 7  |-  ( F : ( RR  X.  RR ) --> CC  ->  ran  F 
C_  CC )
1345, 132, 133mp2b 10 . . . . . 6  |-  ran  F  C_  CC
135131, 134sstri 3441 . . . . 5  |-  Y  C_  CC
136135a1i 11 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  Y  C_  CC )
137 simpl 459 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  e.  ( Clsd `  J ) )
13816restcldi 20189 . . . 4  |-  ( ( Y  C_  CC  /\  X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  X  C_  Y
)  ->  X  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y
) ) )
139136, 137, 94, 138syl3anc 1268 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  X  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) ) )
140 cmpcld 20417 . . 3  |-  ( ( ( Jt  Y )  e.  Comp  /\  X  e.  ( Clsd `  ( Jt  Y ) ) )  ->  ( ( Jt  Y )t  X )  e.  Comp )
141129, 139, 140syl2anc 667 . 2  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  -> 
( ( Jt  Y )t  X )  e.  Comp )
142104, 141eqeltrrd 2530 1  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  ( R  e.  RR  /\  A. z  e.  X  ( abs `  z )  <_  R ) )  ->  T  e.  Comp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   <.cop 3974   class class class wbr 4402    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   -->wf 5578   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   1stc1st 6791   2ndc2nd 6792   CCcc 9537   RRcr 9538   _ici 9541    + caddc 9542    x. cmul 9544    <_ cle 9676   -ucneg 9861   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   Recre 13160   Imcim 13161   abscabs 13297   ↾t crest 15319   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂfldccnfld 18970   Topctop 19917   Clsdccld 20031    Cn ccn 20240   Compccmp 20401    tX ctx 20575   Homeochmeo 20768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910
This theorem is referenced by:  cnheibor  21983
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