Theorem cnheiborlem 21982

Description: Lemma for cnheibor 21983. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnheibor.2	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cnheibor.3	|- T = ( J ↾t X )
cnheibor.4	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
cnheibor.5	|- Y = ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnheiborlem	|- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> T e. Comp )

Distinct variable groups:   x, y, z   z, F   z, R   x, T, y, z   x, J, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   Y( x, y, z)

Proof of Theorem cnheiborlem

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnheibor.2	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtop 21804	. . . . 5 |- J e. Top
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> J e. Top )
4		cnheibor.4	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
5	4	cnref1o 11297	. . . . . . . . 9 |- F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC
6		f1ofn 5815	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F Fn ( RR X. RR ) )
7		elpreima 6002	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( RR X. RR ) -> ( u e. ( `' F " X ) <-> ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( `' F " X ) <-> ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) )
9		1st2nd2 6830	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
10	9	ad2antrl 734	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
11		xp1st 6823	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> ( 1st ` u ) e. RR )
12	11	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. RR )
13	12	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. CC )
14	13	abscld 13498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) e. RR )
15	1	cnfldtopon 21803	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- J e. (TopOn ` CC )
16	15	toponunii 19947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC = U. J
17	16	cldss 20044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. ( Clsd ` J ) -> X C_ CC )
18	17	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ CC )
19	18	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> X C_ CC )
20		simprr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( F ` u ) e. X )
21	19, 20	sseldd 3433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( F ` u ) e. CC )
22	21	abscld 13498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( F ` u ) ) e. RR )
23		simplrl 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> R e. RR )
24		simprl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u e. ( RR X. RR ) )
25		f1ocnvfv1 6175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC /\ u e. ( RR X. RR ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = u )
26	5, 24, 25	sylancr 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = u )
27		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( F ` u ) -> ( Re ` z ) = ( Re ` ( F ` u ) ) )
28		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( F ` u ) -> ( Im ` z ) = ( Im ` ( F ` u ) ) )
29	27, 28	opeq12d 4174	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( F ` u ) -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
30	4	cnrecnv 13228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
31		opex 4664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. e. _V
32	29, 30, 31	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
33	21, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
34	26, 33	eqtr3d 2487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
35	34	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) = ( 1st ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) )
36		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Re ` ( F ` u ) ) e. _V
37		fvex 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Im ` ( F ` u ) ) e. _V
38	36, 37	op1st 6801	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1st ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) = ( Re ` ( F ` u ) )
39	35, 38	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) = ( Re ` ( F ` u ) ) )
40	39	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) )
41		absrele 13371	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
42	21, 41	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
43	40, 42	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
44		simplrr 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> A. z e. X ( abs ` z ) <_ R )
45		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( F ` u ) -> ( abs ` z ) = ( abs ` ( F ` u ) ) )
46	45	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( F ` u ) -> ( ( abs ` z ) <_ R <-> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R ) )
47	46	rspcv 3146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` u ) e. X -> ( A. z e. X ( abs ` z ) <_ R -> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R ) )
48	20, 44, 47	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R )
49	14, 22, 23, 43, 48	letrd 9792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ R )
50	12, 23	absled 13492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ R <-> ( -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
51	49, 50	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) )
52	51	simpld 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R <_ ( 1st ` u ) )
53	51	simprd 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) <_ R )
54		renegcl 9937	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. RR -> -u R e. RR )
55	23, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R e. RR )
56		elicc2 11699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 1st ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
57	55, 23, 56	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 1st ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
58	12, 52, 53, 57	mpbir3and 1191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) )
59		xp2nd 6824	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> ( 2nd ` u ) e. RR )
60	59	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. RR )
61	60	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. CC )
62	61	abscld 13498	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) e. RR )
63	34	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) = ( 2nd ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) )
64	36, 37	op2nd 6802	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) = ( Im ` ( F ` u ) )
65	63, 64	syl6eq 2501	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) = ( Im ` ( F ` u ) ) )
66	65	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) )
67		absimle 13372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
68	21, 67	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
69	66, 68	eqbrtrd 4423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
70	62, 22, 23, 69, 48	letrd 9792	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ R )
71	60, 23	absled 13492	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ R <-> ( -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
72	70, 71	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) )
73	72	simpld 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R <_ ( 2nd ` u ) )
74	72	simprd 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) <_ R )
75		elicc2 11699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 2nd ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
76	55, 23, 75	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 2nd ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
77	60, 73, 74, 76	mpbir3and 1191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) )
78		opelxpi 4866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) /\ ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) ) -> <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
79	58, 77, 78	syl2anc 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
80	10, 79	eqeltrd 2529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
81	80	ex 436	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
82	8, 81	syl5bi 221	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( u e. ( `' F " X ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
83	82	ssrdv 3438	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
84		f1ofun 5816	. . . . . . . 8 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> Fun F )
85	5, 84	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Fun F
86		f1ofo 5821	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F : ( RR X. RR ) -onto-> CC )
87		forn 5796	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -onto-> CC -> ran F = CC )
88	5, 86, 87	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ran F = CC
89	18, 88	syl6sseqr 3479	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ ran F )
90		funimass1 5656	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ X C_ ran F ) -> ( ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) )
91	85, 89, 90	sylancr 669	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) )
92	83, 91	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
93		cnheibor.5	. . . . 5 |- Y = ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
94	92, 93	syl6sseqr 3479	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ Y )
95		eqid 2451	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
96	4, 95, 1	cnrehmeo 21981	. . . . . . 7 |- F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J )
97		imaexg 6730	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J ) -> ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. _V )
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. _V
99	93, 98	eqeltri 2525	. . . . 5 |- Y e. _V
100	99	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> Y e. _V )
101		restabs 20181	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ X C_ Y /\ Y e. _V ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = ( J ↾t X ) )
102	3, 94, 100, 101	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = ( J ↾t X ) )
103		cnheibor.3	. . 3 |- T = ( J ↾t X )
104	102, 103	syl6eqr 2503	. 2 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = T )
105	93	oveq2i 6301	. . . . 5 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
106		ishmeo 20774	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J ) <-> ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ `' F e. ( J Cn ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ) ) )
107	96, 106	mpbi 212	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ `' F e. ( J Cn ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ) )
108	107	simpli 460	. . . . . 6 |- F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J )
109		iccssre 11716	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( -u R [,] R ) C_ RR )
110	54, 109	mpancom 675	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> ( -u R [,] R ) C_ RR )
111	1, 95	rerest 21822	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u R [,] R ) C_ RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
113	112, 112	oveq12d 6308	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) ) )
114		retop 21782	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
115		ovex 6318	. . . . . . . . 9 |- ( -u R [,] R ) e. _V
116		txrest 20646	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( topGen ` ran (,) ) e. Top ) /\ ( ( -u R [,] R ) e. _V /\ ( -u R [,] R ) e. _V ) ) -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) ) )
117	114, 114, 115, 115, 116	mp4an 679	. . . . . . . 8 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
118	113, 117	syl6eqr 2503	. . . . . . 7 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
119		eqid 2451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) )
120	95, 119	icccmp 21843	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
121	54, 120	mpancom 675	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
122	112, 121	eqeltrd 2529	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
123		txcmp 20658	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp /\ ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp ) -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
124	122, 122, 123	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
125	118, 124	eqeltrrd 2530	. . . . . 6 |- ( R e. RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
126		imacmp 20412	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp ) -> ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) e. Comp )
127	108, 125, 126	sylancr 669	. . . . 5 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) e. Comp )
128	105, 127	syl5eqel 2533	. . . 4 |- ( R e. RR -> ( J ↾t Y ) e. Comp )
129	128	ad2antrl 734	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( J ↾t Y ) e. Comp )
130		imassrn 5179	. . . . . . 7 |- ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) C_ ran F
131	93, 130	eqsstri 3462	. . . . . 6 |- Y C_ ran F
132		f1of 5814	. . . . . . 7 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F : ( RR X. RR ) --> CC )
133		frn 5735	. . . . . . 7 |- ( F : ( RR X. RR ) --> CC -> ran F C_ CC )
134	5, 132, 133	mp2b 10	. . . . . 6 |- ran F C_ CC
135	131, 134	sstri 3441	. . . . 5 |- Y C_ CC
136	135	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> Y C_ CC )
137		simpl 459	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
138	16	restcldi 20189	. . . 4 |- ( ( Y C_ CC /\ X e. ( Clsd ` J ) /\ X C_ Y ) -> X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
139	136, 137, 94, 138	syl3anc 1268	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
140		cmpcld 20417	. . 3 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Comp /\ X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) e. Comp )
141	129, 139, 140	syl2anc 667	. 2 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) e. Comp )
142	104, 141	eqeltrrd 2530	1 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> T e. Comp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   <.cop 3974   class class class wbr 4402   X. cxp 4832   `'ccnv 4833   ran crn 4835   "cima 4837   Fun wfun 5576   Fn wfn 5577   -->wf 5578   -onto->wfo 5580   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   |-> cmpt2 6292   1stc1st 6791   2ndc2nd 6792   CCcc 9537   RRcr 9538   _ici 9541   + caddc 9542   x. cmul 9544   <_ cle 9676   -ucneg 9861   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   Recre 13160   Imcim 13161   abscabs 13297   ↾_t crest 15319   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂ_fldccnfld 18970   Topctop 19917   Clsdccld 20031   Cn ccn 20240   Compccmp 20401   tX ctx 20575   Homeochmeo 20768

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910

This theorem is referenced by:  cnheibor  21983