Theorem cnheiborlem 21620

Description: Lemma for cnheibor 21621. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnheibor.2	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cnheibor.3	|- T = ( J ↾t X )
cnheibor.4	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
cnheibor.5	|- Y = ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnheiborlem	|- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> T e. Comp )

Distinct variable groups:   x, y, z   z, F   z, R   x, T, y, z   x, J, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   Y( x, y, z)

Proof of Theorem cnheiborlem

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnheibor.2	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtop 21457	. . . . 5 |- J e. Top
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> J e. Top )
4		cnheibor.4	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
5	4	cnref1o 11216	. . . . . . . . 9 |- F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC
6		f1ofn 5799	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F Fn ( RR X. RR ) )
7		elpreima 5983	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( RR X. RR ) -> ( u e. ( `' F " X ) <-> ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( `' F " X ) <-> ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) )
9		1st2nd2 6810	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
10	9	ad2antrl 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
11		xp1st 6803	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> ( 1st ` u ) e. RR )
12	11	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. RR )
13	12	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. CC )
14	13	abscld 13349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) e. RR )
15	1	cnfldtopon 21456	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- J e. (TopOn ` CC )
16	15	toponunii 19600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC = U. J
17	16	cldss 19697	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. ( Clsd ` J ) -> X C_ CC )
18	17	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ CC )
19	18	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> X C_ CC )
20		simprr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( F ` u ) e. X )
21	19, 20	sseldd 3490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( F ` u ) e. CC )
22	21	abscld 13349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( F ` u ) ) e. RR )
23		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> R e. RR )
24		simprl 754	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u e. ( RR X. RR ) )
25		f1ocnvfv1 6157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC /\ u e. ( RR X. RR ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = u )
26	5, 24, 25	sylancr 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = u )
27		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( F ` u ) -> ( Re ` z ) = ( Re ` ( F ` u ) ) )
28		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( F ` u ) -> ( Im ` z ) = ( Im ` ( F ` u ) ) )
29	27, 28	opeq12d 4211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( F ` u ) -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
30	4	cnrecnv 13080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
31		opex 4701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. e. _V
32	29, 30, 31	fvmpt 5931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
33	21, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
34	26, 33	eqtr3d 2497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
35	34	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) = ( 1st ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) )
36		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Re ` ( F ` u ) ) e. _V
37		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Im ` ( F ` u ) ) e. _V
38	36, 37	op1st 6781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1st ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) = ( Re ` ( F ` u ) )
39	35, 38	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) = ( Re ` ( F ` u ) ) )
40	39	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) )
41		absrele 13223	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
42	21, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
43	40, 42	eqbrtrd 4459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
44		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> A. z e. X ( abs ` z ) <_ R )
45		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( F ` u ) -> ( abs ` z ) = ( abs ` ( F ` u ) ) )
46	45	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( F ` u ) -> ( ( abs ` z ) <_ R <-> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R ) )
47	46	rspcv 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` u ) e. X -> ( A. z e. X ( abs ` z ) <_ R -> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R ) )
48	20, 44, 47	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R )
49	14, 22, 23, 43, 48	letrd 9728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ R )
50	12, 23	absled 13344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ R <-> ( -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
51	49, 50	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) )
52	51	simpld 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R <_ ( 1st ` u ) )
53	51	simprd 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) <_ R )
54		renegcl 9873	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. RR -> -u R e. RR )
55	23, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R e. RR )
56		elicc2 11592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 1st ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
57	55, 23, 56	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 1st ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
58	12, 52, 53, 57	mpbir3and 1177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) )
59		xp2nd 6804	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> ( 2nd ` u ) e. RR )
60	59	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. RR )
61	60	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. CC )
62	61	abscld 13349	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) e. RR )
63	34	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) = ( 2nd ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) )
64	36, 37	op2nd 6782	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) = ( Im ` ( F ` u ) )
65	63, 64	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) = ( Im ` ( F ` u ) ) )
66	65	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) )
67		absimle 13224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
68	21, 67	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
69	66, 68	eqbrtrd 4459	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
70	62, 22, 23, 69, 48	letrd 9728	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ R )
71	60, 23	absled 13344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ R <-> ( -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
72	70, 71	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) )
73	72	simpld 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R <_ ( 2nd ` u ) )
74	72	simprd 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) <_ R )
75		elicc2 11592	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 2nd ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
76	55, 23, 75	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 2nd ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
77	60, 73, 74, 76	mpbir3and 1177	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) )
78		opelxpi 5020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) /\ ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) ) -> <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
79	58, 77, 78	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
80	10, 79	eqeltrd 2542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
81	80	ex 432	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
82	8, 81	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( u e. ( `' F " X ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
83	82	ssrdv 3495	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
84		f1ofun 5800	. . . . . . . 8 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> Fun F )
85	5, 84	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Fun F
86		f1ofo 5805	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F : ( RR X. RR ) -onto-> CC )
87		forn 5780	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -onto-> CC -> ran F = CC )
88	5, 86, 87	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ran F = CC
89	18, 88	syl6sseqr 3536	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ ran F )
90		funimass1 5643	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ X C_ ran F ) -> ( ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) )
91	85, 89, 90	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) )
92	83, 91	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
93		cnheibor.5	. . . . 5 |- Y = ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
94	92, 93	syl6sseqr 3536	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ Y )
95		eqid 2454	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
96	4, 95, 1	cnrehmeo 21619	. . . . . . 7 |- F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J )
97		imaexg 6710	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J ) -> ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. _V )
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. _V
99	93, 98	eqeltri 2538	. . . . 5 |- Y e. _V
100	99	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> Y e. _V )
101		restabs 19833	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ X C_ Y /\ Y e. _V ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = ( J ↾t X ) )
102	3, 94, 100, 101	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = ( J ↾t X ) )
103		cnheibor.3	. . 3 |- T = ( J ↾t X )
104	102, 103	syl6eqr 2513	. 2 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = T )
105	93	oveq2i 6281	. . . . 5 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
106		ishmeo 20426	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J ) <-> ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ `' F e. ( J Cn ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ) ) )
107	96, 106	mpbi 208	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ `' F e. ( J Cn ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ) )
108	107	simpli 456	. . . . . 6 |- F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J )
109		iccssre 11609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( -u R [,] R ) C_ RR )
110	54, 109	mpancom 667	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> ( -u R [,] R ) C_ RR )
111	1, 95	rerest 21475	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u R [,] R ) C_ RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
112	110, 111	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
113	112, 112	oveq12d 6288	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) ) )
114		retop 21434	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
115		ovex 6298	. . . . . . . . 9 |- ( -u R [,] R ) e. _V
116		txrest 20298	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( topGen ` ran (,) ) e. Top ) /\ ( ( -u R [,] R ) e. _V /\ ( -u R [,] R ) e. _V ) ) -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) ) )
117	114, 114, 115, 115, 116	mp4an 671	. . . . . . . 8 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
118	113, 117	syl6eqr 2513	. . . . . . 7 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
119		eqid 2454	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) )
120	95, 119	icccmp 21496	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
121	54, 120	mpancom 667	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
122	112, 121	eqeltrd 2542	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
123		txcmp 20310	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp /\ ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp ) -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
124	122, 122, 123	syl2anc 659	. . . . . . 7 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
125	118, 124	eqeltrrd 2543	. . . . . 6 |- ( R e. RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
126		imacmp 20064	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp ) -> ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) e. Comp )
127	108, 125, 126	sylancr 661	. . . . 5 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) e. Comp )
128	105, 127	syl5eqel 2546	. . . 4 |- ( R e. RR -> ( J ↾t Y ) e. Comp )
129	128	ad2antrl 725	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( J ↾t Y ) e. Comp )
130		imassrn 5336	. . . . . . 7 |- ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) C_ ran F
131	93, 130	eqsstri 3519	. . . . . 6 |- Y C_ ran F
132		f1of 5798	. . . . . . 7 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F : ( RR X. RR ) --> CC )
133		frn 5719	. . . . . . 7 |- ( F : ( RR X. RR ) --> CC -> ran F C_ CC )
134	5, 132, 133	mp2b 10	. . . . . 6 |- ran F C_ CC
135	131, 134	sstri 3498	. . . . 5 |- Y C_ CC
136	135	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> Y C_ CC )
137		simpl 455	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
138	16	restcldi 19841	. . . 4 |- ( ( Y C_ CC /\ X e. ( Clsd ` J ) /\ X C_ Y ) -> X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
139	136, 137, 94, 138	syl3anc 1226	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
140		cmpcld 20069	. . 3 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Comp /\ X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) e. Comp )
141	129, 139, 140	syl2anc 659	. 2 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) e. Comp )
142	104, 141	eqeltrrd 2543	1 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> T e. Comp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   <.cop 4022   class class class wbr 4439   X. cxp 4986   `'ccnv 4987   ran crn 4989   "cima 4991   Fun wfun 5564   Fn wfn 5565   -->wf 5566   -onto->wfo 5568   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   |-> cmpt2 6272   1stc1st 6771   2ndc2nd 6772   CCcc 9479   RRcr 9480   _ici 9483   + caddc 9484   x. cmul 9486   <_ cle 9618   -ucneg 9797   (,)cioo 11532   [,]cicc 11535   Recre 13012   Imcim 13013   abscabs 13149   ↾_t crest 14910   TopOpenctopn 14911   topGenctg 14927  ℂ_fldccnfld 18615   Topctop 19561   Clsdccld 19684   Cn ccn 19892   Compccmp 20053   tX ctx 20227   Homeochmeo 20420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-cnfld 18616  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548

This theorem is referenced by:  cnheibor  21621