Theorem cnheiborlem 20501

Description: Lemma for cnheibor 20502. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnheibor.2	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cnheibor.3	|- T = ( J ↾t X )
cnheibor.4	|- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
cnheibor.5	|- Y = ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )

Assertion

Ref	Expression
cnheiborlem	|- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> T e. Comp )

Distinct variable groups:   x, y, z   z, F   z, R   x, T, y, z   x, J, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   R( x, y)   F( x, y)   Y( x, y, z)

Proof of Theorem cnheiborlem

Dummy variable u is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnheibor.2	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldtop 20338	. . . . 5 |- J e. Top
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> J e. Top )
4		cnheibor.4	. . . . . . . . . 10 |- F = ( x e. RR , y e. RR |-> ( x + ( _i x. y ) ) )
5	4	cnref1o 10978	. . . . . . . . 9 |- F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC
6		f1ofn 5637	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F Fn ( RR X. RR ) )
7		elpreima 5818	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( RR X. RR ) -> ( u e. ( `' F " X ) <-> ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) )
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ( u e. ( `' F " X ) <-> ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) )
9		1st2nd2 6608	. . . . . . . . . . 11 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
10	9	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u = <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. )
11		xp1st 6601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> ( 1st ` u ) e. RR )
12	11	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. RR )
13	12	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. CC )
14	13	abscld 12914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) e. RR )
15	1	cnfldtopon 20337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- J e. (TopOn ` CC )
16	15	toponunii 18512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- CC = U. J
17	16	cldss 18608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( X e. ( Clsd ` J ) -> X C_ CC )
18	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ CC )
19	18	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> X C_ CC )
20		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( F ` u ) e. X )
21	19, 20	sseldd 3352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( F ` u ) e. CC )
22	21	abscld 12914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( F ` u ) ) e. RR )
23		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> R e. RR )
24		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u e. ( RR X. RR ) )
25		f1ocnvfv1 5978	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC /\ u e. ( RR X. RR ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = u )
26	5, 24, 25	sylancr 663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = u )
27		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( F ` u ) -> ( Re ` z ) = ( Re ` ( F ` u ) ) )
28		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( z = ( F ` u ) -> ( Im ` z ) = ( Im ` ( F ` u ) ) )
29	27, 28	opeq12d 4062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z = ( F ` u ) -> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
30	4	cnrecnv 12646	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- `' F = ( z e. CC |-> <. ( Re ` z ) , ( Im ` z ) >. )
31		opex 4551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. e. _V
32	29, 30, 31	fvmpt 5769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
33	21, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
34	26, 33	eqtr3d 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u = <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. )
35	34	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) = ( 1st ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) )
36		fvex 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Re ` ( F ` u ) ) e. _V
37		fvex 5696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Im ` ( F ` u ) ) e. _V
38	36, 37	op1st 6580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 1st ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) = ( Re ` ( F ` u ) )
39	35, 38	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) = ( Re ` ( F ` u ) ) )
40	39	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) = ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) )
41		absrele 12789	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
42	21, 41	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( Re ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
43	40, 42	eqbrtrd 4307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
44		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> A. z e. X ( abs ` z ) <_ R )
45		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z = ( F ` u ) -> ( abs ` z ) = ( abs ` ( F ` u ) ) )
46	45	breq1d 4297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z = ( F ` u ) -> ( ( abs ` z ) <_ R <-> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R ) )
47	46	rspcv 3064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` u ) e. X -> ( A. z e. X ( abs ` z ) <_ R -> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R ) )
48	20, 44, 47	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( F ` u ) ) <_ R )
49	14, 22, 23, 43, 48	letrd 9520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ R )
50	12, 23	absled 12909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( abs ` ( 1st ` u ) ) <_ R <-> ( -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
51	49, 50	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) )
52	51	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R <_ ( 1st ` u ) )
53	51	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) <_ R )
54		renegcl 9664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. RR -> -u R e. RR )
55	23, 54	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R e. RR )
56		elicc2 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 1st ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
57	55, 23, 56	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 1st ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 1st ` u ) /\ ( 1st ` u ) <_ R ) ) )
58	12, 52, 53, 57	mpbir3and 1171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) )
59		xp2nd 6602	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u e. ( RR X. RR ) -> ( 2nd ` u ) e. RR )
60	59	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. RR )
61	60	recnd 9404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. CC )
62	61	abscld 12914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) e. RR )
63	34	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) = ( 2nd ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) )
64	36, 37	op2nd 6581	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2nd ` <. ( Re ` ( F ` u ) ) , ( Im ` ( F ` u ) ) >. ) = ( Im ` ( F ` u ) )
65	63, 64	syl6eq 2486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) = ( Im ` ( F ` u ) ) )
66	65	fveq2d 5690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) = ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) )
67		absimle 12790	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` u ) e. CC -> ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
68	21, 67	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( Im ` ( F ` u ) ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
69	66, 68	eqbrtrd 4307	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ ( abs ` ( F ` u ) ) )
70	62, 22, 23, 69, 48	letrd 9520	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ R )
71	60, 23	absled 12909	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( abs ` ( 2nd ` u ) ) <_ R <-> ( -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
72	70, 71	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) )
73	72	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> -u R <_ ( 2nd ` u ) )
74	72	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) <_ R )
75		elicc2 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 2nd ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
76	55, 23, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) <-> ( ( 2nd ` u ) e. RR /\ -u R <_ ( 2nd ` u ) /\ ( 2nd ` u ) <_ R ) ) )
77	60, 73, 74, 76	mpbir3and 1171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) )
78		opelxpi 4866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( 1st ` u ) e. ( -u R [,] R ) /\ ( 2nd ` u ) e. ( -u R [,] R ) ) -> <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
79	58, 77, 78	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> <. ( 1st ` u ) , ( 2nd ` u ) >. e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
80	10, 79	eqeltrd 2512	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) /\ ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
81	80	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( u e. ( RR X. RR ) /\ ( F ` u ) e. X ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
82	8, 81	syl5bi 217	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( u e. ( `' F " X ) -> u e. ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
83	82	ssrdv 3357	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
84		f1ofun 5638	. . . . . . . 8 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> Fun F )
85	5, 84	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- Fun F
86		f1ofo 5643	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F : ( RR X. RR ) -onto-> CC )
87		forn 5618	. . . . . . . . 9 |- ( F : ( RR X. RR ) -onto-> CC -> ran F = CC )
88	5, 86, 87	mp2b 10	. . . . . . . 8 |- ran F = CC
89	18, 88	syl6sseqr 3398	. . . . . . 7 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ ran F )
90		funimass1 5486	. . . . . . 7 |- ( ( Fun F /\ X C_ ran F ) -> ( ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) )
91	85, 89, 90	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( `' F " X ) C_ ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) )
92	83, 91	mpd 15	. . . . 5 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
93		cnheibor.5	. . . . 5 |- Y = ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) )
94	92, 93	syl6sseqr 3398	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X C_ Y )
95		eqid 2438	. . . . . . . 8 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( topGen ` ran (,) )
96	4, 95, 1	cnrehmeo 20500	. . . . . . 7 |- F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J )
97		imaexg 6510	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J ) -> ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. _V )
98	96, 97	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. _V
99	93, 98	eqeltri 2508	. . . . 5 |- Y e. _V
100	99	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> Y e. _V )
101		restabs 18744	. . . 4 |- ( ( J e. Top /\ X C_ Y /\ Y e. _V ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = ( J ↾t X ) )
102	3, 94, 100, 101	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = ( J ↾t X ) )
103		cnheibor.3	. . 3 |- T = ( J ↾t X )
104	102, 103	syl6eqr 2488	. 2 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) = T )
105	93	oveq2i 6097	. . . . 5 |- ( J ↾t Y ) = ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
106		ishmeo 19307	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Homeo J ) <-> ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ `' F e. ( J Cn ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ) ) )
107	96, 106	mpbi 208	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ `' F e. ( J Cn ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ) )
108	107	simpli 458	. . . . . 6 |- F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J )
109		iccssre 11369	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( -u R [,] R ) C_ RR )
110	54, 109	mpancom 669	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. RR -> ( -u R [,] R ) C_ RR )
111	1, 95	rerest 20356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u R [,] R ) C_ RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
112	110, 111	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
113	112, 112	oveq12d 6104	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) ) )
114		retop 20315	. . . . . . . . 9 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
115		ovex 6111	. . . . . . . . 9 |- ( -u R [,] R ) e. _V
116		txrest 19179	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( topGen ` ran (,) ) e. Top /\ ( topGen ` ran (,) ) e. Top ) /\ ( ( -u R [,] R ) e. _V /\ ( -u R [,] R ) e. _V ) ) -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) ) )
117	114, 114, 115, 115, 116	mp4an 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) )
118	113, 117	syl6eqr 2488	. . . . . . 7 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) = ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) )
119		eqid 2438	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) = ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) )
120	95, 119	icccmp 20377	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u R e. RR /\ R e. RR ) -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
121	54, 120	mpancom 669	. . . . . . . . 9 |- ( R e. RR -> ( ( topGen ` ran (,) ) ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
122	112, 121	eqeltrd 2512	. . . . . . . 8 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp )
123		txcmp 19191	. . . . . . . 8 |- ( ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp /\ ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) e. Comp ) -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
124	122, 122, 123	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( R e. RR -> ( ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) tX ( J ↾t ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
125	118, 124	eqeltrrd 2513	. . . . . 6 |- ( R e. RR -> ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp )
126		imacmp 18975	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) Cn J ) /\ ( ( ( topGen ` ran (,) ) tX ( topGen ` ran (,) ) ) ↾t ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) e. Comp ) -> ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) e. Comp )
127	108, 125, 126	sylancr 663	. . . . 5 |- ( R e. RR -> ( J ↾t ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) ) e. Comp )
128	105, 127	syl5eqel 2522	. . . 4 |- ( R e. RR -> ( J ↾t Y ) e. Comp )
129	128	ad2antrl 727	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( J ↾t Y ) e. Comp )
130		imassrn 5175	. . . . . . 7 |- ( F " ( ( -u R [,] R ) X. ( -u R [,] R ) ) ) C_ ran F
131	93, 130	eqsstri 3381	. . . . . 6 |- Y C_ ran F
132		f1of 5636	. . . . . . 7 |- ( F : ( RR X. RR ) -1-1-onto-> CC -> F : ( RR X. RR ) --> CC )
133		frn 5560	. . . . . . 7 |- ( F : ( RR X. RR ) --> CC -> ran F C_ CC )
134	5, 132, 133	mp2b 10	. . . . . 6 |- ran F C_ CC
135	131, 134	sstri 3360	. . . . 5 |- Y C_ CC
136	135	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> Y C_ CC )
137		simpl 457	. . . 4 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
138	16	restcldi 18752	. . . 4 |- ( ( Y C_ CC /\ X e. ( Clsd ` J ) /\ X C_ Y ) -> X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
139	136, 137, 94, 138	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) )
140		cmpcld 18980	. . 3 |- ( ( ( J ↾t Y ) e. Comp /\ X e. ( Clsd ` ( J ↾t Y ) ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) e. Comp )
141	129, 139, 140	syl2anc 661	. 2 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> ( ( J ↾t Y ) ↾t X ) e. Comp )
142	104, 141	eqeltrrd 2513	1 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( R e. RR /\ A. z e. X ( abs ` z ) <_ R ) ) -> T e. Comp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2710   _Vcvv 2967   C_ wss 3323   <.cop 3878   class class class wbr 4287   X. cxp 4833   `'ccnv 4834   ran crn 4836   "cima 4838   Fun wfun 5407   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   e. cmpt2 6088   1stc1st 6570   2ndc2nd 6571   CCcc 9272   RRcr 9273   _ici 9276   + caddc 9277   x. cmul 9279   <_ cle 9411   -ucneg 9588   (,)cioo 11292   [,]cicc 11295   Recre 12578   Imcim 12579   abscabs 12715   ↾_t crest 14351   TopOpenctopn 14352   topGenctg 14368  ℂ_fldccnfld 17793   Topctop 18473   Clsdccld 18595   Cn ccn 18803   Compccmp 18964   tX ctx 19108   Homeochmeo 19301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-cmp 18965  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429

This theorem is referenced by:  cnheibor  20502