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Theorem cnheibor 20658
Description: Heine-Borel theorem for complex numbers. A subset of  CC is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cnheibor.2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
cnheibor.3  |-  T  =  ( Jt  X )
Assertion
Ref Expression
cnheibor  |-  ( X 
C_  CC  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
) )
Distinct variable groups:    x, r, T    J, r, x    X, r, x

Proof of Theorem cnheibor
Dummy variables  f 
s  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnheibor.2 . . . . . 6  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
21cnfldhaus 20495 . . . . 5  |-  J  e. 
Haus
32a1i 11 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  J  e.  Haus )
4 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  C_  CC )
5 cnheibor.3 . . . . 5  |-  T  =  ( Jt  X )
6 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  T  e.  Comp )
75, 6syl5eqelr 2547 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  ( Jt  X )  e.  Comp )
81cnfldtopon 20493 . . . . . 6  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
98toponunii 18668 . . . . 5  |-  CC  =  U. J
109hauscmp 19141 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Haus  /\  X  C_  CC  /\  ( Jt  X )  e.  Comp )  ->  X  e.  ( Clsd `  J ) )
113, 4, 7, 10syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  e.  ( Clsd `  J
) )
121cnfldtop 20494 . . . . . . . . . . 11  |-  J  e. 
Top
139restuni 18897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  C_  CC )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
1412, 4, 13sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  =  U. ( Jt  X ) )
155unieqi 4207 . . . . . . . . . 10  |-  U. T  =  U. ( Jt  X )
1614, 15syl6eqr 2513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  =  U. T )
1716eleq2d 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. T ) )
1817biimpar 485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  U. T
)  ->  x  e.  X )
1912a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  J  e.  Top )
20 cnex 9473 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  e.  _V
21 ssexg 4545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  C_  CC  /\  CC  e.  _V )  ->  X  e.  _V )
224, 20, 21sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  X  e.  _V )
2322adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  X  e.  _V )
24 cnxmet 20483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
2524a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs  o. 
-  )  e.  ( *Met `  CC ) )
26 0cnd 9489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  0  e.  CC )
274sselda 3463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  CC )
2827abscld 13039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs `  x )  e.  RR )
29 peano2re 9652 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( abs `  x )  e.  RR  ->  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR )
3130rexrd 9543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR* )
321cnfldtopn 20492 . . . . . . . . . . . 12  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
3332blopn 20206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  e.  J )
3425, 26, 31, 33syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  e.  J )
35 elrestr 14485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  Top  /\  X  e.  _V  /\  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  e.  J )  ->  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  ( Jt  X ) )
3619, 23, 34, 35syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  ( Jt  X ) )
3736, 5syl6eleqr 2553 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  T )
38 0cn 9488 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  CC
39 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
4039cnmetdval 20481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  ( 0  -  x
) ) )
4138, 40mpan 670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  (
0  -  x ) ) )
42 df-neg 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -u x  =  ( 0  -  x )
4342fveq2i 5801 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( abs `  -u x )  =  ( abs `  (
0  -  x ) )
44 absneg 12883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  -u x )  =  ( abs `  x
) )
4543, 44syl5eqr 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  ( 0  -  x ) )  =  ( abs `  x
) )
4641, 45eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0 ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  x
) )
4727, 46syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  =  ( abs `  x
) )
4828ltp1d 10373 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( abs `  x )  <  (
( abs `  x
)  +  1 ) )
4947, 48eqbrtrd 4419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( ( abs `  x
)  +  1 ) )
50 elbl 20094 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  (
( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( ( abs `  x
)  +  1 ) ) ) )
5125, 26, 31, 50syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  <-> 
( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( ( abs `  x )  +  1 ) ) ) )
5227, 49, 51mpbir2and 913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) ) )
53 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  X )
5452, 53elind 3647 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  x  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) )
5527absge0d 13047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  0  <_  ( abs `  x ) )
5628, 55ge0p1rpd 11163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  ( ( abs `  x )  +  1 )  e.  RR+ )
57 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )
58 oveq2 6207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) ) )
5958ineq1d 3658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
)  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) )
6059eqeq2d 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( ( abs `  x )  +  1 )  ->  ( (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  i^i  X )  <-> 
( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) ) )
6160rspcev 3177 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( abs `  x
)  +  1 )  e.  RR+  /\  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X ) )  ->  E. r  e.  RR+  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) )
6256, 57, 61sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  E. r  e.  RR+  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) )
63 eleq2 2527 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( x  e.  u  <->  x  e.  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x )  +  1 ) )  i^i  X ) ) )
64 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  i^i  X )  <-> 
( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )
6564rexbidv 2864 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X )  <->  E. r  e.  RR+  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )
6663, 65anbi12d 710 . . . . . . . . 9  |-  ( u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  ->  ( ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) r )  i^i  X ) )  <->  ( x  e.  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  /\  E. r  e.  RR+  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) ) )
6766rspcev 3177 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  e.  T  /\  (
x  e.  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  /\  E. r  e.  RR+  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( ( abs `  x
)  +  1 ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )  ->  E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )
6837, 54, 62, 67syl12anc 1217 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  X
)  ->  E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X ) ) )
6918, 68syldan 470 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  x  e.  U. T
)  ->  E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X ) ) )
7069ralrimiva 2829 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  A. x  e.  U. T E. u  e.  T  ( x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X ) ) )
71 eqid 2454 . . . . . 6  |-  U. T  =  U. T
72 oveq2 6207 . . . . . . . 8  |-  ( r  =  ( f `  u )  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) ) )
7372ineq1d 3658 . . . . . . 7  |-  ( r  =  ( f `  u )  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) )
7473eqeq2d 2468 . . . . . 6  |-  ( r  =  ( f `  u )  ->  (
u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
)  <->  u  =  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `
 u ) )  i^i  X ) ) )
7571, 74cmpcovf 19125 . . . . 5  |-  ( ( T  e.  Comp  /\  A. x  e.  U. T E. u  e.  T  (
x  e.  u  /\  E. r  e.  RR+  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) r )  i^i  X
) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
( U. T  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) ) )
766, 70, 75syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  E. s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) ( U. T  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) ) )
77 inss2 3678 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P T  i^i  Fin )  C_ 
Fin
78 simpllr 758 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)
7977, 78sseldi 3461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
s  e.  Fin )
80 ffvelrn 5949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : s --> RR+  /\  u  e.  s )  ->  ( f `  u )  e.  RR+ )
8180rpred 11137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : s --> RR+  /\  u  e.  s )  ->  ( f `  u )  e.  RR )
8281ralrimiva 2829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : s --> RR+  ->  A. u  e.  s  ( f `  u )  e.  RR )
8382ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  A. u  e.  s 
( f `  u
)  e.  RR )
84 fimaxre3 10389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  e.  RR )  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r )
8579, 83, 84syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r )
8616ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  X  =  U. T )
87 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  U. T  = 
U. s )
8886, 87eqtrd 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  X  =  U. s )
8988eleq2d 2524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( x  e.  X  <->  x  e.  U. s
) )
90 eluni2 4202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  U. s  <->  E. z  e.  s  x  e.  z )
9189, 90syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( x  e.  X  <->  E. z  e.  s  x  e.  z ) )
92 elssuni 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  s  ->  z  C_ 
U. s )
9392ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  C_  U. s
)
9488adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  X  =  U. s
)
9593, 94sseqtr4d 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  C_  X )
96 simp-6l 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  X  C_  CC )
9795, 96sstrd 3473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  C_  CC )
98 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  z )
9997, 98sseldd 3464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  CC )
10099abscld 13039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  e.  RR )
101 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
r  e.  RR )
102 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
f : s --> RR+ )
103102ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
f : s --> RR+ )
104 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  e.  s )
105103, 104ffvelrnd 5952 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  e.  RR+ )
106105rpred 11137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  e.  RR )
10799, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  =  ( abs `  x ) )
108 inss1 3677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  i^i  X
)  C_  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )
109 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  A. u  e.  s  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) )
110109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  A. u  e.  s  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) )
111 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  z  ->  u  =  z )
112 fveq2 5798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( u  =  z  ->  (
f `  u )  =  ( f `  z ) )
113112oveq2d 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( u  =  z  ->  (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  =  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) ) )
114113ineq1d 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( u  =  z  ->  (
( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `
 u ) )  i^i  X )  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  z ) )  i^i  X ) )
115111, 114eqeq12d 2476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( u  =  z  ->  (
u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
)  <->  z  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `
 z ) )  i^i  X ) ) )
116115rspcv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  e.  s  ->  ( A. u  e.  s  u  =  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
)  ->  z  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  z ) )  i^i  X ) ) )
117104, 110, 116sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
z  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  i^i  X
) )
11898, 117eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  ( (
0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  i^i  X
) )
119108, 118sseldi 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) ) )
12024a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC ) )
121 0cnd 9489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
0  e.  CC )
122105rpxrd 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  e.  RR* )
123 elbl 20094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  /\  0  e.  CC  /\  (
f `  z )  e.  RR* )  ->  (
x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( f `  z
) ) ) )
124120, 121, 122, 123syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( x  e.  ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  z
) )  <->  ( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs  o.  -  ) x )  < 
( f `  z
) ) ) )
125119, 124mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( x  e.  CC  /\  ( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( f `  z ) ) )
126125simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( 0 ( abs 
o.  -  ) x
)  <  ( f `  z ) )
127107, 126eqbrtrrd 4421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  <  ( f `  z ) )
128 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  ->  A. u  e.  s 
( f `  u
)  <_  r )
129112breq1d 4409 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  =  z  ->  (
( f `  u
)  <_  r  <->  ( f `  z )  <_  r
) )
130129rspcv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  s  ->  ( A. u  e.  s 
( f `  u
)  <_  r  ->  ( f `  z )  <_  r ) )
131104, 128, 130sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( f `  z
)  <_  r )
132100, 106, 101, 127, 131ltletrd 9641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  <  r )
133100, 101, 132ltled 9632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  /\  U. T  = 
U. s )  /\  ( f : s -->
RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r ) )  /\  ( z  e.  s  /\  x  e.  z ) )  -> 
( abs `  x
)  <_  r )
134133rexlimdvaa 2946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( E. z  e.  s  x  e.  z  ->  ( abs `  x )  <_  r
) )
13591, 134sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  ( x  e.  X  ->  ( abs `  x )  <_  r
) )
136135ralrimiv 2827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  ( r  e.  RR  /\ 
A. u  e.  s  ( f `  u
)  <_  r )
)  ->  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
)
137136expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  /\  r  e.  RR )  ->  ( A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r  ->  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )
138137reximdva 2932 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  -> 
( E. r  e.  RR  A. u  e.  s  ( f `  u )  <_  r  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )
13985, 138mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( X 
C_  CC  /\  T  e. 
Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  /\  ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r )
140139ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  ->  ( (
f : s --> RR+  /\ 
A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
)
141140exlimdv 1691 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin ) )  /\  U. T  =  U. s
)  ->  ( E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
)
142141expimpd 603 . . . . 5  |-  ( ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  /\  s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
)  ->  ( ( U. T  =  U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\ 
A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 ( ball `  ( abs  o.  -  ) ) ( f `  u
) )  i^i  X
) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )
143142rexlimdva 2945 . . . 4  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  ( E. s  e.  ( ~P T  i^i  Fin )
( U. T  = 
U. s  /\  E. f ( f : s --> RR+  /\  A. u  e.  s  u  =  ( ( 0 (
ball `  ( abs  o. 
-  ) ) ( f `  u ) )  i^i  X ) ) )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
)
14476, 143mpd 15 . . 3  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
14511, 144jca 532 . 2  |-  ( ( X  C_  CC  /\  T  e.  Comp )  ->  ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
) )
146 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR ,  z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) )  =  ( y  e.  RR ,  z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z
) ) )
147 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR , 
z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) ) " ( (
-u r [,] r
)  X.  ( -u r [,] r ) ) )  =  ( ( y  e.  RR , 
z  e.  RR  |->  ( y  +  ( _i  x.  z ) ) ) " ( (
-u r [,] r
)  X.  ( -u r [,] r ) ) )
1481, 5, 146, 147cnheiborlem 20657 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  (
r  e.  RR  /\  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r ) )  ->  T  e.  Comp )
149148rexlimdvaa 2946 . . . 4  |-  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  ->  ( E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r  ->  T  e.  Comp )
)
150149imp 429 . . 3  |-  ( ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
)  ->  T  e.  Comp )
151150adantl 466 . 2  |-  ( ( X  C_  CC  /\  ( X  e.  ( Clsd `  J )  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x )  <_  r
) )  ->  T  e.  Comp )
152145, 151impbida 828 1  |-  ( X 
C_  CC  ->  ( T  e.  Comp  <->  ( X  e.  ( Clsd `  J
)  /\  E. r  e.  RR  A. x  e.  X  ( abs `  x
)  <_  r )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2798   E.wrex 2799   _Vcvv 3076    i^i cin 3434    C_ wss 3435   ~Pcpw 3967   U.cuni 4198   class class class wbr 4399    X. cxp 4945   "cima 4950    o. ccom 4951   -->wf 5521   ` cfv 5525  (class class class)co 6199    |-> cmpt2 6201   Fincfn 7419   CCcc 9390   RRcr 9391   0cc0 9392   1c1 9393   _ici 9394    + caddc 9395    x. cmul 9397   RR*cxr 9527    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705   -ucneg 9706   RR+crp 11101   [,]cicc 11413   abscabs 12840   ↾t crest 14477   TopOpenctopn 14478   *Metcxmt 17925   ballcbl 17927  ℂfldccnfld 17942   Topctop 18629   Clsdccld 18751   Hauscha 19043   Compccmp 19120
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-inf2 7957  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-se 4787  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-of 6429  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-supp 6800  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-2o 7030  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-fsupp 7731  df-fi 7771  df-sup 7801  df-oi 7834  df-card 8219  df-cda 8447  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-ioo 11414  df-icc 11417  df-fz 11554  df-fzo 11665  df-seq 11923  df-exp 11982  df-hash 12220  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-rest 14479  df-topn 14480  df-0g 14498  df-gsum 14499  df-topgen 14500  df-pt 14501  df-prds 14504  df-xrs 14558  df-qtop 14563  df-imas 14564  df-xps 14566  df-mre 14642  df-mrc 14643  df-acs 14645  df-mnd 15533  df-submnd 15583  df-mulg 15666  df-cntz 15953  df-cmn 16399  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637  df-topsp 18638  df-cld 18754  df-cls 18756  df-cn 18962  df-cnp 18963  df-haus 19050  df-cmp 19121  df-tx 19266  df-hmeo 19459  df-xms 20026  df-ms 20027  df-tms 20028  df-cncf 20585
This theorem is referenced by:  cnllycmp  20659  cncmet  20964  ftalem3  22544
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