Theorem cnheibor 21321

Description: Heine-Borel theorem for complex numbers. A subset of CC is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnheibor.2	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cnheibor.3	|- T = ( J ↾t X )

Assertion

Ref	Expression
cnheibor	|- ( X C_ CC -> ( T e. Comp <-> ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) )

Distinct variable groups:   x, r, T   J, r, x   X, r, x

Proof of Theorem cnheibor

Dummy variables f s u y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnheibor.2	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldhaus 21158	. . . . 5 |- J e. Haus
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> J e. Haus )
4		simpl 457	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X C_ CC )
5		cnheibor.3	. . . . 5 |- T = ( J ↾t X )
6		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> T e. Comp )
7	5, 6	syl5eqelr 2534	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( J ↾t X ) e. Comp )
8	1	cnfldtopon 21156	. . . . . 6 |- J e. (TopOn ` CC )
9	8	toponunii 19300	. . . . 5 |- CC = U. J
10	9	hauscmp 19773	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ X C_ CC /\ ( J ↾t X ) e. Comp ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
11	3, 4, 7, 10	syl3anc 1227	. . 3 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
12	1	cnfldtop 21157	. . . . . . . . . . 11 |- J e. Top
13	9	restuni 19529	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ X C_ CC ) -> X = U. ( J ↾t X ) )
14	12, 4, 13	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X = U. ( J ↾t X ) )
15	5	unieqi 4239	. . . . . . . . . 10 |- U. T = U. ( J ↾t X )
16	14, 15	syl6eqr 2500	. . . . . . . . 9 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X = U. T )
17	16	eleq2d 2511	. . . . . . . 8 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( x e. X <-> x e. U. T ) )
18	17	biimpar 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. U. T ) -> x e. X )
19	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> J e. Top )
20		cnex 9571	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
21		ssexg 4579	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
22	4, 20, 21	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X e. _V )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> X e. _V )
24		cnxmet 21146	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
26		0cnd 9587	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> 0 e. CC )
27	4	sselda 3486	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. CC )
28	27	abscld 13241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( abs ` x ) e. RR )
29		peano2re 9751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` x ) e. RR -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
31	30	rexrd 9641	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR* )
32	1	cnfldtopn 21155	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
33	32	blopn 20869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) e. J )
34	25, 26, 31, 33	syl3anc 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) e. J )
35		elrestr 14698	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ X e. _V /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) e. J ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. ( J ↾t X ) )
36	19, 23, 34, 35	syl3anc 1227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. ( J ↾t X ) )
37	36, 5	syl6eleqr 2540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. T )
38		0cn 9586	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. CC
39		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
40	39	cnmetdval 21144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( 0 - x ) ) )
41	38, 40	mpan 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( 0 - x ) ) )
42		df-neg 9808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u x = ( 0 - x )
43	42	fveq2i 5855	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` -u x ) = ( abs ` ( 0 - x ) )
44		absneg 13084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( abs ` -u x ) = ( abs ` x ) )
45	43, 44	syl5eqr 2496	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( abs ` ( 0 - x ) ) = ( abs ` x ) )
46	41, 45	eqtrd 2482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` x ) )
47	27, 46	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` x ) )
48	28	ltp1d 10477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( abs ` x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) )
49	47, 48	eqbrtrd 4453	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) )
50		elbl 20757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR* ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) ) ) )
51	25, 26, 31, 50	syl3anc 1227	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) ) ) )
52	27, 49, 51	mpbir2and 920	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) )
53		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. X )
54	52, 53	elind 3670	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) )
55	27	absge0d 13249	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` x ) )
56	28, 55	ge0p1rpd 11286	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR+ )
57		eqid 2441	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X )
58		oveq2 6285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( ( abs ` x ) + 1 ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) )
59	58	ineq1d 3681	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( ( abs ` x ) + 1 ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) )
60	59	eqeq2d 2455	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( ( abs ` x ) + 1 ) -> ( ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) ) )
61	60	rspcev 3194	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR+ /\ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) ) -> E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) )
62	56, 57, 61	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) )
63		eleq2 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( x e. u <-> x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) ) )
64		eqeq1 2445	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
65	64	rexbidv 2952	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
66	63, 65	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) <-> ( x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) /\ E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) ) )
67	66	rspcev 3194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. T /\ ( x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) /\ E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) ) -> E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
68	37, 54, 62, 67	syl12anc 1225	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
69	18, 68	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. U. T ) -> E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
70	69	ralrimiva 2855	. . . . 5 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> A. x e. U. T E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
71		eqid 2441	. . . . . 6 |- U. T = U. T
72		oveq2 6285	. . . . . . . 8 |- ( r = ( f ` u ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) )
73	72	ineq1d 3681	. . . . . . 7 |- ( r = ( f ` u ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) )
74	73	eqeq2d 2455	. . . . . 6 |- ( r = ( f ` u ) -> ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) )
75	71, 74	cmpcovf 19757	. . . . 5 |- ( ( T e. Comp /\ A. x e. U. T E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) ) -> E. s e. ( ~P T i^i Fin ) ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) )
76	6, 70, 75	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> E. s e. ( ~P T i^i Fin ) ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) )
77	16	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> X = U. T )
78		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> U. T = U. s )
79	77, 78	eqtrd 2482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> X = U. s )
80	79	eleq2d 2511	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( x e. X <-> x e. U. s ) )
81		eluni2 4234	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U. s <-> E. z e. s x e. z )
82	80, 81	syl6bb 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( x e. X <-> E. z e. s x e. z ) )
83		elssuni 4260	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. s -> z C_ U. s )
84	83	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z C_ U. s )
85	79	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> X = U. s )
86	84, 85	sseqtr4d 3523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z C_ X )
87		simp-6l 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> X C_ CC )
88	86, 87	sstrd 3496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z C_ CC )
89		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. z )
90	88, 89	sseldd 3487	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. CC )
91	90	abscld 13241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
92		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> r e. RR )
93		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> f : s --> RR+ )
94	93	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> f : s --> RR+ )
95		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z e. s )
96	94, 95	ffvelrnd 6013	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) e. RR+ )
97	96	rpred 11260	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) e. RR )
98	90, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` x ) )
99		inss1 3700	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) )
100		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) )
101	100	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) )
102		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = z -> u = z )
103		fveq2 5852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = z -> ( f ` u ) = ( f ` z ) )
104	103	oveq2d 6293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = z -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) )
105	104	ineq1d 3681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = z -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) )
106	102, 105	eqeq12d 2463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = z -> ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) <-> z = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) ) )
107	106	rspcv 3190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. s -> ( A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) -> z = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) ) )
108	95, 101, 107	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) )
109	89, 108	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) )
110	99, 109	sseldi 3484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) )
111	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
112		0cnd 9587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> 0 e. CC )
113	96	rpxrd 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) e. RR* )
114		elbl 20757	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( f ` z ) e. RR* ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) ) ) )
115	111, 112, 113, 114	syl3anc 1227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) ) ) )
116	110, 115	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) ) )
117	116	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) )
118	98, 117	eqbrtrrd 4455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) < ( f ` z ) )
119		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> A. u e. s ( f ` u ) <_ r )
120	103	breq1d 4443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = z -> ( ( f ` u ) <_ r <-> ( f ` z ) <_ r ) )
121	120	rspcv 3190	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. s -> ( A. u e. s ( f ` u ) <_ r -> ( f ` z ) <_ r ) )
122	95, 119, 121	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) <_ r )
123	91, 97, 92, 118, 122	ltletrd 9740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) < r )
124	91, 92, 123	ltled 9731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) <_ r )
125	124	rexlimdvaa 2934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( E. z e. s x e. z -> ( abs ` x ) <_ r ) )
126	82, 125	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( x e. X -> ( abs ` x ) <_ r ) )
127	126	ralrimiv 2853	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> A. x e. X ( abs ` x ) <_ r )
128		inss2 3701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P T i^i Fin ) C_ Fin
129		simpllr 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> s e. ( ~P T i^i Fin ) )
130	128, 129	sseldi 3484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> s e. Fin )
131		ffvelrn 6010	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : s --> RR+ /\ u e. s ) -> ( f ` u ) e. RR+ )
132	131	rpred 11260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : s --> RR+ /\ u e. s ) -> ( f ` u ) e. RR )
133	132	ralrimiva 2855	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : s --> RR+ -> A. u e. s ( f ` u ) e. RR )
134	133	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> A. u e. s ( f ` u ) e. RR )
135		fimaxre3 10493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. Fin /\ A. u e. s ( f ` u ) e. RR ) -> E. r e. RR A. u e. s ( f ` u ) <_ r )
136	130, 134, 135	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. u e. s ( f ` u ) <_ r )
137	127, 136	reximddv 2917	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r )
138	137	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) -> ( ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
139	138	exlimdv 1709	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) -> ( E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
140	139	expimpd 603	. . . . 5 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) -> ( ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
141	140	rexlimdva 2933	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( E. s e. ( ~P T i^i Fin ) ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
142	76, 141	mpd 15	. . 3 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r )
143	11, 142	jca 532	. 2 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
144		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) ) = ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) )
145		eqid 2441	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) ) " ( ( -u r [,] r ) X. ( -u r [,] r ) ) ) = ( ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) ) " ( ( -u r [,] r ) X. ( -u r [,] r ) ) )
146	1, 5, 144, 145	cnheiborlem 21320	. . . . 5 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( r e. RR /\ A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) -> T e. Comp )
147	146	rexlimdvaa 2934	. . . 4 |- ( X e. ( Clsd ` J ) -> ( E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r -> T e. Comp ) )
148	147	imp 429	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) -> T e. Comp )
149	148	adantl 466	. 2 |- ( ( X C_ CC /\ ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) -> T e. Comp )
150	143, 149	impbida 830	1 |- ( X C_ CC -> ( T e. Comp <-> ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1381   E.wex 1597   e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   _Vcvv 3093   i^i cin 3457   C_ wss 3458   ~Pcpw 3993   U.cuni 4230   class class class wbr 4433   X. cxp 4983   "cima 4988   o. ccom 4989   -->wf 5570   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   |-> cmpt2 6279   Fincfn 7514   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   _ici 9492   + caddc 9493   x. cmul 9495   RR*cxr 9625   < clt 9626   <_ cle 9627   - cmin 9805   -ucneg 9806   RR+crp 11224   [,]cicc 11536   abscabs 13041   ↾_t crest 14690   TopOpenctopn 14691   *Metcxmt 18271   ballcbl 18273  ℂ_fldccnfld 18288   Topctop 19261   Clsdccld 19383   Hauscha 19675   Compccmp 19752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-inf2 8056  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-iin 4314  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-se 4825  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-isom 5583  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-fi 7869  df-sup 7899  df-oi 7933  df-card 8318  df-cda 8546  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-q 11187  df-rp 11225  df-xneg 11322  df-xadd 11323  df-xmul 11324  df-ioo 11537  df-icc 11540  df-fz 11677  df-fzo 11799  df-seq 12082  df-exp 12141  df-hash 12380  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-rest 14692  df-topn 14693  df-0g 14711  df-gsum 14712  df-topgen 14713  df-pt 14714  df-prds 14717  df-xrs 14771  df-qtop 14776  df-imas 14777  df-xps 14779  df-mre 14855  df-mrc 14856  df-acs 14858  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-submnd 15836  df-mulg 15929  df-cntz 16224  df-cmn 16669  df-psmet 18279  df-xmet 18280  df-met 18281  df-bl 18282  df-mopn 18283  df-cnfld 18289  df-top 19266  df-bases 19268  df-topon 19269  df-topsp 19270  df-cld 19386  df-cls 19388  df-cn 19594  df-cnp 19595  df-haus 19682  df-cmp 19753  df-tx 19929  df-hmeo 20122  df-xms 20689  df-ms 20690  df-tms 20691  df-cncf 21248

This theorem is referenced by:  cnllycmp  21322  cncmet  21627  ftalem3  23213