Theorem cnheibor 21979

Description: Heine-Borel theorem for complex numbers. A subset of CC is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnheibor.2	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cnheibor.3	|- T = ( J ↾t X )

Assertion

Ref	Expression
cnheibor	|- ( X C_ CC -> ( T e. Comp <-> ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) )

Distinct variable groups:   x, r, T   J, r, x   X, r, x

Proof of Theorem cnheibor

Dummy variables f s u y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnheibor.2	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldhaus 21801	. . . . 5 |- J e. Haus
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> J e. Haus )
4		simpl 459	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X C_ CC )
5		cnheibor.3	. . . . 5 |- T = ( J ↾t X )
6		simpr 463	. . . . 5 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> T e. Comp )
7	5, 6	syl5eqelr 2516	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( J ↾t X ) e. Comp )
8	1	cnfldtopon 21799	. . . . . 6 |- J e. (TopOn ` CC )
9	8	toponunii 19943	. . . . 5 |- CC = U. J
10	9	hauscmp 20418	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ X C_ CC /\ ( J ↾t X ) e. Comp ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
11	3, 4, 7, 10	syl3anc 1265	. . 3 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
12	1	cnfldtop 21800	. . . . . . . . . . 11 |- J e. Top
13	9	restuni 20174	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ X C_ CC ) -> X = U. ( J ↾t X ) )
14	12, 4, 13	sylancr 668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X = U. ( J ↾t X ) )
15	5	unieqi 4227	. . . . . . . . . 10 |- U. T = U. ( J ↾t X )
16	14, 15	syl6eqr 2482	. . . . . . . . 9 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X = U. T )
17	16	eleq2d 2493	. . . . . . . 8 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( x e. X <-> x e. U. T ) )
18	17	biimpar 488	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. U. T ) -> x e. X )
19	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> J e. Top )
20		cnex 9626	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
21		ssexg 4569	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
22	4, 20, 21	sylancl 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X e. _V )
23	22	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> X e. _V )
24		cnxmet 21789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
26		0cnd 9642	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> 0 e. CC )
27	4	sselda 3466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. CC )
28	27	abscld 13495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( abs ` x ) e. RR )
29		peano2re 9812	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` x ) e. RR -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
31	30	rexrd 9696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR* )
32	1	cnfldtopn 21798	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
33	32	blopn 21511	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) e. J )
34	25, 26, 31, 33	syl3anc 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) e. J )
35		elrestr 15324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ X e. _V /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) e. J ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. ( J ↾t X ) )
36	19, 23, 34, 35	syl3anc 1265	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. ( J ↾t X ) )
37	36, 5	syl6eleqr 2522	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. T )
38		0cn 9641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. CC
39		eqid 2423	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
40	39	cnmetdval 21787	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( 0 - x ) ) )
41	38, 40	mpan 675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( 0 - x ) ) )
42		df-neg 9869	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u x = ( 0 - x )
43	42	fveq2i 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` -u x ) = ( abs ` ( 0 - x ) )
44		absneg 13338	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( abs ` -u x ) = ( abs ` x ) )
45	43, 44	syl5eqr 2478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( abs ` ( 0 - x ) ) = ( abs ` x ) )
46	41, 45	eqtrd 2464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` x ) )
47	27, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` x ) )
48	28	ltp1d 10543	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( abs ` x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) )
49	47, 48	eqbrtrd 4443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) )
50		elbl 21399	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR* ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) ) ) )
51	25, 26, 31, 50	syl3anc 1265	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) ) ) )
52	27, 49, 51	mpbir2and 931	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) )
53		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. X )
54	52, 53	elind 3652	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) )
55	27	absge0d 13503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` x ) )
56	28, 55	ge0p1rpd 11374	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR+ )
57		eqid 2423	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X )
58		oveq2 6312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( ( abs ` x ) + 1 ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) )
59	58	ineq1d 3665	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( ( abs ` x ) + 1 ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) )
60	59	eqeq2d 2437	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( ( abs ` x ) + 1 ) -> ( ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) ) )
61	60	rspcev 3183	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR+ /\ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) ) -> E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) )
62	56, 57, 61	sylancl 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) )
63		eleq2 2496	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( x e. u <-> x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) ) )
64		eqeq1 2427	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
65	64	rexbidv 2940	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
66	63, 65	anbi12d 716	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) <-> ( x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) /\ E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) ) )
67	66	rspcev 3183	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. T /\ ( x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) /\ E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) ) -> E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
68	37, 54, 62, 67	syl12anc 1263	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
69	18, 68	syldan 473	. . . . . 6 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. U. T ) -> E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
70	69	ralrimiva 2840	. . . . 5 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> A. x e. U. T E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
71		eqid 2423	. . . . . 6 |- U. T = U. T
72		oveq2 6312	. . . . . . . 8 |- ( r = ( f ` u ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) )
73	72	ineq1d 3665	. . . . . . 7 |- ( r = ( f ` u ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) )
74	73	eqeq2d 2437	. . . . . 6 |- ( r = ( f ` u ) -> ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) )
75	71, 74	cmpcovf 20402	. . . . 5 |- ( ( T e. Comp /\ A. x e. U. T E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) ) -> E. s e. ( ~P T i^i Fin ) ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) )
76	6, 70, 75	syl2anc 666	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> E. s e. ( ~P T i^i Fin ) ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) )
77	16	ad4antr 737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> X = U. T )
78		simpllr 768	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> U. T = U. s )
79	77, 78	eqtrd 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> X = U. s )
80	79	eleq2d 2493	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( x e. X <-> x e. U. s ) )
81		eluni2 4222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. U. s <-> E. z e. s x e. z )
82	80, 81	syl6bb 265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( x e. X <-> E. z e. s x e. z ) )
83		elssuni 4247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( z e. s -> z C_ U. s )
84	83	ad2antrl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z C_ U. s )
85	79	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> X = U. s )
86	84, 85	sseqtr4d 3503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z C_ X )
87		simp-6l 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> X C_ CC )
88	86, 87	sstrd 3476	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z C_ CC )
89		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. z )
90	88, 89	sseldd 3467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. CC )
91	90	abscld 13495	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
92		simplrl 769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> r e. RR )
93		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> f : s --> RR+ )
94	93	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> f : s --> RR+ )
95		simprl 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z e. s )
96	94, 95	ffvelrnd 6037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) e. RR+ )
97	96	rpred 11347	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) e. RR )
98	90, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` x ) )
99		inss1 3684	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) )
100		simprr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) )
101	100	ad2antrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) )
102		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = z -> u = z )
103		fveq2 5880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = z -> ( f ` u ) = ( f ` z ) )
104	103	oveq2d 6320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = z -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) )
105	104	ineq1d 3665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( u = z -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) )
106	102, 105	eqeq12d 2445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u = z -> ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) <-> z = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) ) )
107	106	rspcv 3179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. s -> ( A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) -> z = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) ) )
108	95, 101, 107	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) )
109	89, 108	eleqtrd 2513	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) )
110	99, 109	sseldi 3464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) )
111	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
112		0cnd 9642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> 0 e. CC )
113	96	rpxrd 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) e. RR* )
114		elbl 21399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( f ` z ) e. RR* ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) ) ) )
115	111, 112, 113, 114	syl3anc 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) ) ) )
116	110, 115	mpbid 214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) ) )
117	116	simprd 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) )
118	98, 117	eqbrtrrd 4445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) < ( f ` z ) )
119		simplrr 770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> A. u e. s ( f ` u ) <_ r )
120	103	breq1d 4432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( u = z -> ( ( f ` u ) <_ r <-> ( f ` z ) <_ r ) )
121	120	rspcv 3179	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. s -> ( A. u e. s ( f ` u ) <_ r -> ( f ` z ) <_ r ) )
122	95, 119, 121	sylc 63	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) <_ r )
123	91, 97, 92, 118, 122	ltletrd 9801	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) < r )
124	91, 92, 123	ltled 9789	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) <_ r )
125	124	rexlimdvaa 2919	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( E. z e. s x e. z -> ( abs ` x ) <_ r ) )
126	82, 125	sylbid 219	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( x e. X -> ( abs ` x ) <_ r ) )
127	126	ralrimiv 2838	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> A. x e. X ( abs ` x ) <_ r )
128		inss2 3685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P T i^i Fin ) C_ Fin
129		simpllr 768	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> s e. ( ~P T i^i Fin ) )
130	128, 129	sseldi 3464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> s e. Fin )
131		ffvelrn 6034	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : s --> RR+ /\ u e. s ) -> ( f ` u ) e. RR+ )
132	131	rpred 11347	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : s --> RR+ /\ u e. s ) -> ( f ` u ) e. RR )
133	132	ralrimiva 2840	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : s --> RR+ -> A. u e. s ( f ` u ) e. RR )
134	133	ad2antrl 733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> A. u e. s ( f ` u ) e. RR )
135		fimaxre3 10559	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. Fin /\ A. u e. s ( f ` u ) e. RR ) -> E. r e. RR A. u e. s ( f ` u ) <_ r )
136	130, 134, 135	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. u e. s ( f ` u ) <_ r )
137	127, 136	reximddv 2902	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r )
138	137	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) -> ( ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
139	138	exlimdv 1769	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) -> ( E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
140	139	expimpd 607	. . . . 5 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) -> ( ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
141	140	rexlimdva 2918	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( E. s e. ( ~P T i^i Fin ) ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
142	76, 141	mpd 15	. . 3 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r )
143	11, 142	jca 535	. 2 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
144		eqid 2423	. . . . . 6 |- ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) ) = ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) )
145		eqid 2423	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) ) " ( ( -u r [,] r ) X. ( -u r [,] r ) ) ) = ( ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) ) " ( ( -u r [,] r ) X. ( -u r [,] r ) ) )
146	1, 5, 144, 145	cnheiborlem 21978	. . . . 5 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( r e. RR /\ A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) -> T e. Comp )
147	146	rexlimdvaa 2919	. . . 4 |- ( X e. ( Clsd ` J ) -> ( E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r -> T e. Comp ) )
148	147	imp 431	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) -> T e. Comp )
149	148	adantl 468	. 2 |- ( ( X C_ CC /\ ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) -> T e. Comp )
150	143, 149	impbida 841	1 |- ( X C_ CC -> ( T e. Comp <-> ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1438   E.wex 1660   e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082   i^i cin 3437   C_ wss 3438   ~Pcpw 3981   U.cuni 4218   class class class wbr 4422   X. cxp 4850   "cima 4855   o. ccom 4856   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6304   |-> cmpt2 6306   Fincfn 7579   CCcc 9543   RRcr 9544   0cc0 9545   1c1 9546   _ici 9547   + caddc 9548   x. cmul 9550   RR*cxr 9680   < clt 9681   <_ cle 9682   - cmin 9866   -ucneg 9867   RR+crp 11308   [,]cicc 11644   abscabs 13295   ↾_t crest 15316   TopOpenctopn 15317   *Metcxmt 18952   ballcbl 18954  ℂ_fldccnfld 18967   Topctop 19913   Clsdccld 20027   Hauscha 20320   Compccmp 20397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4535  ax-sep 4545  ax-nul 4554  ax-pow 4601  ax-pr 4659  ax-un 6596  ax-inf2 8154  ax-cnex 9601  ax-resscn 9602  ax-1cn 9603  ax-icn 9604  ax-addcl 9605  ax-addrcl 9606  ax-mulcl 9607  ax-mulrcl 9608  ax-mulcom 9609  ax-addass 9610  ax-mulass 9611  ax-distr 9612  ax-i2m1 9613  ax-1ne0 9614  ax-1rid 9615  ax-rnegex 9616  ax-rrecex 9617  ax-cnre 9618  ax-pre-lttri 9619  ax-pre-lttrn 9620  ax-pre-ltadd 9621  ax-pre-mulgt0 9622  ax-pre-sup 9623  ax-addf 9624  ax-mulf 9625

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3302  df-csb 3398  df-dif 3441  df-un 3443  df-in 3445  df-ss 3452  df-pss 3454  df-nul 3764  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4219  df-int 4255  df-iun 4300  df-iin 4301  df-br 4423  df-opab 4482  df-mpt 4483  df-tr 4518  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6266  df-ov 6307  df-oprab 6308  df-mpt2 6309  df-of 6544  df-om 6706  df-1st 6806  df-2nd 6807  df-supp 6925  df-wrecs 7038  df-recs 7100  df-rdg 7138  df-1o 7192  df-2o 7193  df-oadd 7196  df-er 7373  df-map 7484  df-ixp 7533  df-en 7580  df-dom 7581  df-sdom 7582  df-fin 7583  df-fsupp 7892  df-fi 7933  df-sup 7964  df-inf 7965  df-oi 8033  df-card 8380  df-cda 8604  df-pnf 9683  df-mnf 9684  df-xr 9685  df-ltxr 9686  df-le 9687  df-sub 9868  df-neg 9869  df-div 10276  df-nn 10616  df-2 10674  df-3 10675  df-4 10676  df-5 10677  df-6 10678  df-7 10679  df-8 10680  df-9 10681  df-10 10682  df-n0 10876  df-z 10944  df-dec 11058  df-uz 11166  df-q 11271  df-rp 11309  df-xneg 11415  df-xadd 11416  df-xmul 11417  df-ioo 11645  df-icc 11648  df-fz 11791  df-fzo 11922  df-seq 12219  df-exp 12278  df-hash 12521  df-cj 13160  df-re 13161  df-im 13162  df-sqrt 13296  df-abs 13297  df-struct 15120  df-ndx 15121  df-slot 15122  df-base 15123  df-sets 15124  df-ress 15125  df-plusg 15200  df-mulr 15201  df-starv 15202  df-sca 15203  df-vsca 15204  df-ip 15205  df-tset 15206  df-ple 15207  df-ds 15209  df-unif 15210  df-hom 15211  df-cco 15212  df-rest 15318  df-topn 15319  df-0g 15337  df-gsum 15338  df-topgen 15339  df-pt 15340  df-prds 15343  df-xrs 15397  df-qtop 15403  df-imas 15404  df-xps 15407  df-mre 15489  df-mrc 15490  df-acs 15492  df-mgm 16485  df-sgrp 16524  df-mnd 16534  df-submnd 16580  df-mulg 16673  df-cntz 16968  df-cmn 17429  df-psmet 18959  df-xmet 18960  df-met 18961  df-bl 18962  df-mopn 18963  df-cnfld 18968  df-top 19917  df-bases 19918  df-topon 19919  df-topsp 19920  df-cld 20030  df-cls 20032  df-cn 20239  df-cnp 20240  df-haus 20327  df-cmp 20398  df-tx 20573  df-hmeo 20766  df-xms 21331  df-ms 21332  df-tms 21333  df-cncf 21906

This theorem is referenced by:  cnllycmp  21980  cncmet  22286  ftalem3  23995