Theorem cnheibor 20507

Description: Heine-Borel theorem for complex numbers. A subset of CC is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnheibor.2	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )
cnheibor.3	|- T = ( J ↾t X )

Assertion

Ref	Expression
cnheibor	|- ( X C_ CC -> ( T e. Comp <-> ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) )

Distinct variable groups:   x, r, T   J, r, x   X, r, x

Proof of Theorem cnheibor

Dummy variables f s u y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnheibor.2	. . . . . 6 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
2	1	cnfldhaus 20344	. . . . 5 |- J e. Haus
3	2	a1i 11	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> J e. Haus )
4		simpl 457	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X C_ CC )
5		cnheibor.3	. . . . 5 |- T = ( J ↾t X )
6		simpr 461	. . . . 5 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> T e. Comp )
7	5, 6	syl5eqelr 2523	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( J ↾t X ) e. Comp )
8	1	cnfldtopon 20342	. . . . . 6 |- J e. (TopOn ` CC )
9	8	toponunii 18517	. . . . 5 |- CC = U. J
10	9	hauscmp 18990	. . . 4 |- ( ( J e. Haus /\ X C_ CC /\ ( J ↾t X ) e. Comp ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
11	3, 4, 7, 10	syl3anc 1218	. . 3 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X e. ( Clsd ` J ) )
12	1	cnfldtop 20343	. . . . . . . . . . 11 |- J e. Top
13	9	restuni 18746	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( J e. Top /\ X C_ CC ) -> X = U. ( J ↾t X ) )
14	12, 4, 13	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X = U. ( J ↾t X ) )
15	5	unieqi 4095	. . . . . . . . . 10 |- U. T = U. ( J ↾t X )
16	14, 15	syl6eqr 2488	. . . . . . . . 9 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X = U. T )
17	16	eleq2d 2505	. . . . . . . 8 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( x e. X <-> x e. U. T ) )
18	17	biimpar 485	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. U. T ) -> x e. X )
19	12	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> J e. Top )
20		cnex 9355	. . . . . . . . . . . 12 |- CC e. _V
21		ssexg 4433	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X C_ CC /\ CC e. _V ) -> X e. _V )
22	4, 20, 21	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> X e. _V )
23	22	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> X e. _V )
24		cnxmet 20332	. . . . . . . . . . . 12 |- ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC )
25	24	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
26		0cnd 9371	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> 0 e. CC )
27	4	sselda 3351	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. CC )
28	27	abscld 12914	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( abs ` x ) e. RR )
29		peano2re 9534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( abs ` x ) e. RR -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR )
31	30	rexrd 9425	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR* )
32	1	cnfldtopn 20341	. . . . . . . . . . . 12 |- J = ( MetOpen ` ( abs o. - ) )
33	32	blopn 20055	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR* ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) e. J )
34	25, 26, 31, 33	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) e. J )
35		elrestr 14359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( J e. Top /\ X e. _V /\ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) e. J ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. ( J ↾t X ) )
36	19, 23, 34, 35	syl3anc 1218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. ( J ↾t X ) )
37	36, 5	syl6eleqr 2529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. T )
38		0cn 9370	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. CC
39		eqid 2438	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
40	39	cnmetdval 20330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. CC /\ x e. CC ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( 0 - x ) ) )
41	38, 40	mpan 670	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` ( 0 - x ) ) )
42		df-neg 9590	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -u x = ( 0 - x )
43	42	fveq2i 5689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( abs ` -u x ) = ( abs ` ( 0 - x ) )
44		absneg 12758	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. CC -> ( abs ` -u x ) = ( abs ` x ) )
45	43, 44	syl5eqr 2484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. CC -> ( abs ` ( 0 - x ) ) = ( abs ` x ) )
46	41, 45	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. CC -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` x ) )
47	27, 46	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` x ) )
48	28	ltp1d 10255	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( abs ` x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) )
49	47, 48	eqbrtrd 4307	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) )
50		elbl 19943	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR* ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) ) ) )
51	25, 26, 31, 50	syl3anc 1218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( ( abs ` x ) + 1 ) ) ) )
52	27, 49, 51	mpbir2and 913	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) )
53		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. X )
54	52, 53	elind 3535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) )
55	27	absge0d 12922	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> 0 <_ ( abs ` x ) )
56	28, 55	ge0p1rpd 11045	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR+ )
57		eqid 2438	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X )
58		oveq2 6094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( r = ( ( abs ` x ) + 1 ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) )
59	58	ineq1d 3546	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( ( abs ` x ) + 1 ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) )
60	59	eqeq2d 2449	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( ( abs ` x ) + 1 ) -> ( ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) ) )
61	60	rspcev 3068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( abs ` x ) + 1 ) e. RR+ /\ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) ) -> E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) )
62	56, 57, 61	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) )
63		eleq2 2499	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( x e. u <-> x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) ) )
64		eqeq1 2444	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
65	64	rexbidv 2731	. . . . . . . . . 10 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
66	63, 65	anbi12d 710	. . . . . . . . 9 |- ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) -> ( ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) <-> ( x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) /\ E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) ) )
67	66	rspcev 3068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) e. T /\ ( x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) /\ E. r e. RR+ ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( ( abs ` x ) + 1 ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) ) -> E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
68	37, 54, 62, 67	syl12anc 1216	. . . . . . 7 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. X ) -> E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
69	18, 68	syldan 470	. . . . . 6 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ x e. U. T ) -> E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
70	69	ralrimiva 2794	. . . . 5 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> A. x e. U. T E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) )
71		eqid 2438	. . . . . 6 |- U. T = U. T
72		oveq2 6094	. . . . . . . 8 |- ( r = ( f ` u ) -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) )
73	72	ineq1d 3546	. . . . . . 7 |- ( r = ( f ` u ) -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) )
74	73	eqeq2d 2449	. . . . . 6 |- ( r = ( f ` u ) -> ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) <-> u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) )
75	71, 74	cmpcovf 18974	. . . . 5 |- ( ( T e. Comp /\ A. x e. U. T E. u e. T ( x e. u /\ E. r e. RR+ u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) r ) i^i X ) ) ) -> E. s e. ( ~P T i^i Fin ) ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) )
76	6, 70, 75	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> E. s e. ( ~P T i^i Fin ) ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) )
77		inss2 3566	. . . . . . . . . . 11 |- ( ~P T i^i Fin ) C_ Fin
78		simpllr 758	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> s e. ( ~P T i^i Fin ) )
79	77, 78	sseldi 3349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> s e. Fin )
80		ffvelrn 5836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( f : s --> RR+ /\ u e. s ) -> ( f ` u ) e. RR+ )
81	80	rpred 11019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( f : s --> RR+ /\ u e. s ) -> ( f ` u ) e. RR )
82	81	ralrimiva 2794	. . . . . . . . . . 11 |- ( f : s --> RR+ -> A. u e. s ( f ` u ) e. RR )
83	82	ad2antrl 727	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> A. u e. s ( f ` u ) e. RR )
84		fimaxre3 10271	. . . . . . . . . 10 |- ( ( s e. Fin /\ A. u e. s ( f ` u ) e. RR ) -> E. r e. RR A. u e. s ( f ` u ) <_ r )
85	79, 83, 84	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. u e. s ( f ` u ) <_ r )
86	16	ad4antr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> X = U. T )
87		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> U. T = U. s )
88	86, 87	eqtrd 2470	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> X = U. s )
89	88	eleq2d 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( x e. X <-> x e. U. s ) )
90		eluni2 4090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. U. s <-> E. z e. s x e. z )
91	89, 90	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( x e. X <-> E. z e. s x e. z ) )
92		elssuni 4116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( z e. s -> z C_ U. s )
93	92	ad2antrl 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z C_ U. s )
94	88	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> X = U. s )
95	93, 94	sseqtr4d 3388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z C_ X )
96		simp-6l 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> X C_ CC )
97	95, 96	sstrd 3361	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z C_ CC )
98		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. z )
99	97, 98	sseldd 3352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. CC )
100	99	abscld 12914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) e. RR )
101		simplrl 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> r e. RR )
102		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> f : s --> RR+ )
103	102	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> f : s --> RR+ )
104		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z e. s )
105	103, 104	ffvelrnd 5839	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) e. RR+ )
106	105	rpred 11019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) e. RR )
107	99, 46	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) = ( abs ` x ) )
108		inss1 3565	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) C_ ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) )
109		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) )
110	109	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) )
111		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = z -> u = z )
112		fveq2 5686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( u = z -> ( f ` u ) = ( f ` z ) )
113	112	oveq2d 6102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( u = z -> ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) = ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) )
114	113	ineq1d 3546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( u = z -> ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) )
115	111, 114	eqeq12d 2452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( u = z -> ( u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) <-> z = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) ) )
116	115	rspcv 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( z e. s -> ( A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) -> z = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) ) )
117	104, 110, 116	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> z = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) )
118	98, 117	eleqtrd 2514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) i^i X ) )
119	108, 118	sseldi 3349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) )
120	24	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) )
121		0cnd 9371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> 0 e. CC )
122	105	rpxrd 11020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) e. RR* )
123		elbl 19943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( *Met ` CC ) /\ 0 e. CC /\ ( f ` z ) e. RR* ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) ) ) )
124	120, 121, 122, 123	syl3anc 1218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( x e. ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` z ) ) <-> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) ) ) )
125	119, 124	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( x e. CC /\ ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) ) )
126	125	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( 0 ( abs o. - ) x ) < ( f ` z ) )
127	107, 126	eqbrtrrd 4309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) < ( f ` z ) )
128		simplrr 760	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> A. u e. s ( f ` u ) <_ r )
129	112	breq1d 4297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( u = z -> ( ( f ` u ) <_ r <-> ( f ` z ) <_ r ) )
130	129	rspcv 3064	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z e. s -> ( A. u e. s ( f ` u ) <_ r -> ( f ` z ) <_ r ) )
131	104, 128, 130	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( f ` z ) <_ r )
132	100, 106, 101, 127, 131	ltletrd 9523	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) < r )
133	100, 101, 132	ltled 9514	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) /\ ( z e. s /\ x e. z ) ) -> ( abs ` x ) <_ r )
134	133	rexlimdvaa 2837	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( E. z e. s x e. z -> ( abs ` x ) <_ r ) )
135	91, 134	sylbid 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> ( x e. X -> ( abs ` x ) <_ r ) )
136	135	ralrimiv 2793	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ ( r e. RR /\ A. u e. s ( f ` u ) <_ r ) ) -> A. x e. X ( abs ` x ) <_ r )
137	136	expr 615	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) /\ r e. RR ) -> ( A. u e. s ( f ` u ) <_ r -> A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
138	137	reximdva 2823	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> ( E. r e. RR A. u e. s ( f ` u ) <_ r -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
139	85, 138	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) /\ ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r )
140	139	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) -> ( ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
141	140	exlimdv 1690	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) /\ U. T = U. s ) -> ( E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
142	141	expimpd 603	. . . . 5 |- ( ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) /\ s e. ( ~P T i^i Fin ) ) -> ( ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
143	142	rexlimdva 2836	. . . 4 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( E. s e. ( ~P T i^i Fin ) ( U. T = U. s /\ E. f ( f : s --> RR+ /\ A. u e. s u = ( ( 0 ( ball ` ( abs o. - ) ) ( f ` u ) ) i^i X ) ) ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
144	76, 143	mpd 15	. . 3 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r )
145	11, 144	jca 532	. 2 |- ( ( X C_ CC /\ T e. Comp ) -> ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) )
146		eqid 2438	. . . . . 6 |- ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) ) = ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) )
147		eqid 2438	. . . . . 6 |- ( ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) ) " ( ( -u r [,] r ) X. ( -u r [,] r ) ) ) = ( ( y e. RR , z e. RR |-> ( y + ( _i x. z ) ) ) " ( ( -u r [,] r ) X. ( -u r [,] r ) ) )
148	1, 5, 146, 147	cnheiborlem 20506	. . . . 5 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ ( r e. RR /\ A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) -> T e. Comp )
149	148	rexlimdvaa 2837	. . . 4 |- ( X e. ( Clsd ` J ) -> ( E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r -> T e. Comp ) )
150	149	imp 429	. . 3 |- ( ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) -> T e. Comp )
151	150	adantl 466	. 2 |- ( ( X C_ CC /\ ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) -> T e. Comp )
152	145, 151	impbida 828	1 |- ( X C_ CC -> ( T e. Comp <-> ( X e. ( Clsd ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. X ( abs ` x ) <_ r ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   E.wex 1586   e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   _Vcvv 2967   i^i cin 3322   C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   U.cuni 4086   class class class wbr 4287   X. cxp 4833   "cima 4838   o. ccom 4839   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   e. cmpt2 6088   Fincfn 7302   CCcc 9272   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275   _ici 9276   + caddc 9277   x. cmul 9279   RR*cxr 9409   < clt 9410   <_ cle 9411   - cmin 9587   -ucneg 9588   RR+crp 10983   [,]cicc 11295   abscabs 12715   ↾_t crest 14351   TopOpenctopn 14352   *Metcxmt 17781   ballcbl 17783  ℂ_fldccnfld 17798   Topctop 18478   Clsdccld 18600   Hauscha 18892   Compccmp 18969

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17789  df-xmet 17790  df-met 17791  df-bl 17792  df-mopn 17793  df-cnfld 17799  df-top 18483  df-bases 18485  df-topon 18486  df-topsp 18487  df-cld 18603  df-cls 18605  df-cn 18811  df-cnp 18812  df-haus 18899  df-cmp 18970  df-tx 19115  df-hmeo 19308  df-xms 19875  df-ms 19876  df-tms 19877  df-cncf 20434

This theorem is referenced by:  cnllycmp  20508  cncmet  20813  ftalem3  22392