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Theorem cnhaus 20368
Description: The preimage of a Hausdorff topology under an injective map is Hausdorff. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnhaus  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Haus )

Proof of Theorem cnhaus
Dummy variables  x  y  v  u  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cntop1 20254 . . 3  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  J  e.  Top )
213ad2ant3 1028 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Top )
3 simpl1 1008 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  K  e.  Haus )
4 simpl3 1010 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
5 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  U. J  =  U. J
6 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  U. K  =  U. K
75, 6cnf 20260 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> U. K
)
84, 7syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  F : U. J --> U. K
)
9 simprll 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  U. J )
108, 9ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( F `  x )  e.  U. K )
11 simprlr 771 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  U. J )
128, 11ffvelrnd 6038 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( F `  y )  e.  U. K )
13 simprr 764 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  =/=  y )
14 simpl2 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  F : X -1-1-> Y )
15 fdm 5750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  dom  F  =  U. J )
168, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  dom  F  =  U. J )
17 f1dm 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : X -1-1-> Y  ->  dom  F  =  X )
1814, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  dom  F  =  X )
1916, 18eqtr3d 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  U. J  =  X )
209, 19eleqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  x  e.  X )
2111, 19eleqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  y  e.  X )
22 f1fveq 6178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : X -1-1-> Y  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
2314, 20, 21, 22syl12anc 1262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
2423necon3bid 2678 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  (
( F `  x
)  =/=  ( F `
 y )  <->  x  =/=  y ) )
2513, 24mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( F `  x )  =/=  ( F `  y
) )
266hausnei 20342 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  (
( F `  x
)  e.  U. K  /\  ( F `  y
)  e.  U. K  /\  ( F `  x
)  =/=  ( F `
 y ) ) )  ->  E. u  e.  K  E. v  e.  K  ( ( F `  x )  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
273, 10, 12, 25, 26syl13anc 1266 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. u  e.  K  E. v  e.  K  ( ( F `  x )  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) )
28 simpll3 1046 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
29 simprll 770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  u  e.  K
)
30 cnima 20279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  u  e.  K )  ->  ( `' F "
u )  e.  J
)
3128, 29, 30syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " u )  e.  J
)
32 simprlr 771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  v  e.  K
)
33 cnima 20279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  v  e.  K )  ->  ( `' F "
v )  e.  J
)
3428, 32, 33syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " v )  e.  J
)
359adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  U. J )
36 simprr1 1053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( F `  x )  e.  u
)
378adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  F : U. J
--> U. K )
38 ffn 5746 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  F  Fn  U. J
)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  F  Fn  U. J )
40 elpreima 6017 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( x  e.  ( `' F " u )  <-> 
( x  e.  U. J  /\  ( F `  x )  e.  u
) ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
u )  <->  ( x  e.  U. J  /\  ( F `  x )  e.  u ) ) )
4235, 36, 41mpbir2and 930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " u ) )
4311adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  U. J )
44 simprr2 1054 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( F `  y )  e.  v )
45 elpreima 6017 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( y  e.  ( `' F " v )  <-> 
( y  e.  U. J  /\  ( F `  y )  e.  v ) ) )
4639, 45syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( y  e.  ( `' F "
v )  <->  ( y  e.  U. J  /\  ( F `  y )  e.  v ) ) )
4743, 44, 46mpbir2and 930 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  y  e.  ( `' F " v ) )
48 ffun 5748 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. J --> U. K  ->  Fun  F )
49 inpreima 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  ( `' F " ( u  i^i  v ) )  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
5037, 48, 493syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  =  ( ( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
51 simprr3 1055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( u  i^i  v )  =  (/) )
5251imaeq2d 5187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  =  ( `' F " (/) ) )
53 ima0 5202 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " (/) )  =  (/)
5452, 53syl6eq 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( `' F " ( u  i^i  v
) )  =  (/) )
5550, 54eqtr3d 2465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) )  =  (/) )
56 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( `' F " u )  ->  (
x  e.  m  <->  x  e.  ( `' F " u ) ) )
57 ineq1 3657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( `' F " u )  ->  (
m  i^i  n )  =  ( ( `' F " u )  i^i  n ) )
5857eqeq1d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  =  ( `' F " u )  ->  (
( m  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( ( `' F " u )  i^i  n )  =  (/) ) )
5956, 583anbi13d 1337 . . . . . . . . 9  |-  ( m  =  ( `' F " u )  ->  (
( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
u )  /\  y  e.  n  /\  (
( `' F "
u )  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
60 eleq2 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( `' F " v )  ->  (
y  e.  n  <->  y  e.  ( `' F " v ) ) )
61 ineq2 3658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( `' F " v )  ->  (
( `' F "
u )  i^i  n
)  =  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) ) )
6261eqeq1d 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( `' F " v )  ->  (
( ( `' F " u )  i^i  n
)  =  (/)  <->  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) )  =  (/) ) )
6360, 623anbi23d 1338 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( `' F " v )  ->  (
( x  e.  ( `' F " u )  /\  y  e.  n  /\  ( ( `' F " u )  i^i  n
)  =  (/) )  <->  ( x  e.  ( `' F "
u )  /\  y  e.  ( `' F "
v )  /\  (
( `' F "
u )  i^i  ( `' F " v ) )  =  (/) ) ) )
6459, 63rspc2ev 3193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( `' F "
u )  e.  J  /\  ( `' F "
v )  e.  J  /\  ( x  e.  ( `' F " u )  /\  y  e.  ( `' F " v )  /\  ( ( `' F " u )  i^i  ( `' F " v ) )  =  (/) ) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
6531, 34, 42, 47, 55, 64syl113anc 1276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( ( u  e.  K  /\  v  e.  K )  /\  (
( F `  x
)  e.  u  /\  ( F `  y )  e.  v  /\  (
u  i^i  v )  =  (/) ) ) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) )
6665expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e. 
Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J
)  /\  x  =/=  y ) )  /\  ( u  e.  K  /\  v  e.  K
) )  ->  (
( ( F `  x )  e.  u  /\  ( F `  y
)  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
6766rexlimdvva 2921 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  ( E. u  e.  K  E. v  e.  K  ( ( F `  x )  e.  u  /\  ( F `  y
)  e.  v  /\  ( u  i^i  v
)  =  (/) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  ( m  i^i  n
)  =  (/) ) ) )
6827, 67mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( ( x  e.  U. J  /\  y  e.  U. J )  /\  x  =/=  y
) )  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) )
6968expr 618 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K ) )  /\  ( x  e. 
U. J  /\  y  e.  U. J ) )  ->  ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
7069ralrimivva 2843 . 2  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) )
715ishaus 20336 . 2  |-  ( J  e.  Haus  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J A. y  e.  U. J ( x  =/=  y  ->  E. m  e.  J  E. n  e.  J  ( x  e.  m  /\  y  e.  n  /\  (
m  i^i  n )  =  (/) ) ) ) )
722, 70, 71sylanbrc 668 1  |-  ( ( K  e.  Haus  /\  F : X -1-1-> Y  /\  F  e.  ( J  Cn  K
) )  ->  J  e.  Haus )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772    i^i cin 3435   (/)c0 3761   U.cuni 4219   `'ccnv 4852   dom cdm 4853   "cima 4856   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Topctop 19915    Cn ccn 20238   Hauscha 20322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7485  df-top 19919  df-topon 19921  df-cn 20241  df-haus 20329
This theorem is referenced by:  resthaus  20382  sshaus  20389  haushmph  20805
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