Theorem cnfval 9032

Description: The set of all continuous functions from topology J to topology K.

Hypotheses

Ref	Expression
cnfval.1	|- X = U.J
cnfval.2	|- Y = U.K

Assertion

Ref	Expression
cnfval	|- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J Cn K) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})

Distinct variable groups:   y,f,J   f,K,y   f,X,y   f,Y,y

Proof of Theorem cnfval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprex 4907	. . 3 |- (Y ^m X) e. _V
2	1	rabex 3461	. 2 |- {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J} e. _V
3		unieq 3185	. . . . . 6 |- (j = J -> U.j = U.J)
4		cnfval.1	. . . . . 6 |- X = U.J
5	3, 4	syl6eqr 1946	. . . . 5 |- (j = J -> U.j = X)
6	5	opreq2d 4898	. . . 4 |- (j = J -> (U.k ^m U.j) = (U.k ^m X))
7		rabeq 2289	. . . 4 |- ((U.k ^m U.j) = (U.k ^m X) -> {f e. (U.k ^m U.j) | A.y e. k (`'f"y) e. j} = {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. j})
8	6, 7	syl 12	. . 3 |- (j = J -> {f e. (U.k ^m U.j) | A.y e. k (`'f"y) e. j} = {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. j})
9		eleq2 1958	. . . . 5 |- (j = J -> ((`'f"y) e. j <-> (`'f"y) e. J))
10	9	ralbidv 2123	. . . 4 |- (j = J -> (A.y e. k (`'f"y) e. j <-> A.y e. k (`'f"y) e. J))
11	10	rabbidv 2287	. . 3 |- (j = J -> {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. j} = {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J})
12	8, 11	eqtrd 1925	. 2 |- (j = J -> {f e. (U.k ^m U.j) | A.y e. k (`'f"y) e. j} = {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J})
13		unieq 3185	. . . . . 6 |- (k = K -> U.k = U.K)
14		cnfval.2	. . . . . 6 |- Y = U.K
15	13, 14	syl6eqr 1946	. . . . 5 |- (k = K -> U.k = Y)
16	15	opreq1d 4897	. . . 4 |- (k = K -> (U.k ^m X) = (Y ^m X))
17		rabeq 2289	. . . 4 |- ((U.k ^m X) = (Y ^m X) -> {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J})
18	16, 17	syl 12	. . 3 |- (k = K -> {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J})
19		raleq 2266	. . . 4 |- (k = K -> (A.y e. k (`'f"y) e. J <-> A.y e. K (`'f"y) e. J))
20	19	rabbidv 2287	. . 3 |- (k = K -> {f e. (Y ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})
21	18, 20	eqtrd 1925	. 2 |- (k = K -> {f e. (U.k ^m X) | A.y e. k (`'f"y) e. J} = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})
22		df-cn 9030	. 2 |- Cn = {<.<.j, k>., z>. | ((j e. Top /\ k e. Top) /\ z = {f e. (U.k ^m U.j) | A.y e. k (`'f"y) e. j})}
23	2, 12, 21, 22	oprabval2 4957	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top) -> (J Cn K) = {f e. (Y ^m X) | A.y e. K (`'f"y) e. J})

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  {crab 2108  U.cuni 3177  `'ccnv 3985  "cima 3989  (class class class)co 4884   ^m cmap 5381  Topctop 8857   Cn ccn 9028

This theorem is referenced by:  iscn 9034

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-cn 9030

Copyright terms: Public domain