Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnflf2 Structured version   Unicode version

Theorem cnflf2 21016
 Description: A function is continuous iff it respects filter limits. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 8-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnflf2 TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem cnflf2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnflf 21015 . 2 TopOn TopOn
2 ffun 5748 . . . . . 6
32adantl 467 . . . . 5 TopOn TopOn
4 eqid 2422 . . . . . . . 8
54flimelbas 20981 . . . . . . 7
65ssriv 3468 . . . . . 6
7 fdm 5750 . . . . . . . 8
87adantl 467 . . . . . . 7 TopOn TopOn
9 toponuni 19940 . . . . . . . 8 TopOn
109ad2antrr 730 . . . . . . 7 TopOn TopOn
118, 10eqtrd 2463 . . . . . 6 TopOn TopOn
126, 11syl5sseqr 3513 . . . . 5 TopOn TopOn
13 funimass4 5932 . . . . 5
143, 12, 13syl2anc 665 . . . 4 TopOn TopOn
1514ralbidv 2861 . . 3 TopOn TopOn
1615pm5.32da 645 . 2 TopOn TopOn
171, 16bitr4d 259 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wral 2771   wss 3436  cuni 4219   cdm 4853  cima 4856   wfun 5595  wf 5597  cfv 5601  (class class class)co 6305  TopOnctopon 19916   ccn 20238  cfil 20858   cflim 20947   cflf 20948 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-map 7485  df-topgen 15341  df-fbas 18966  df-fg 18967  df-top 19919  df-topon 19921  df-ntr 20033  df-nei 20112  df-cn 20241  df-cnp 20242  df-fil 20859  df-fm 20951  df-flim 20952  df-flf 20953 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator