Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnflf Structured version   Unicode version

Theorem cnflf 20266
 Description: A function is continuous iff it respects filter limits. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnflf TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem cnflf
StepHypRef Expression
1 cncnp 19575 . 2 TopOn TopOn
2 cnpflf 20265 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
323expa 1196 . . . . . . 7 TopOn TopOn
43adantlr 714 . . . . . 6 TopOn TopOn
5 simplr 754 . . . . . . 7 TopOn TopOn
65biantrurd 508 . . . . . 6 TopOn TopOn
74, 6bitr4d 256 . . . . 5 TopOn TopOn
87ralbidva 2900 . . . 4 TopOn TopOn
9 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
109flimelbas 20232 . . . . . . . . . . 11
11 toponuni 19223 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
1312eleq2d 2537 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
1410, 13syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
1514pm4.71rd 635 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
1615imbi1d 317 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
17 impexp 446 . . . . . . . 8
1816, 17syl6bb 261 . . . . . . 7 TopOn TopOn
1918ralbidv2 2899 . . . . . 6 TopOn TopOn
2019ralbidv 2903 . . . . 5 TopOn TopOn
21 ralcom 3022 . . . . 5
2220, 21syl6bb 261 . . . 4 TopOn TopOn
238, 22bitr4d 256 . . 3 TopOn TopOn
2423pm5.32da 641 . 2 TopOn TopOn
251, 24bitrd 253 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  cuni 4245  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284  TopOnctopon 19190   ccn 19519   ccnp 19520  cfil 20109   cflim 20198   cflf 20199 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-map 7422  df-topgen 14699  df-fbas 18215  df-fg 18216  df-top 19194  df-topon 19197  df-ntr 19315  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-fil 20110  df-fm 20202  df-flim 20203  df-flf 20204 This theorem is referenced by:  cnflf2  20267  fmcncfil  27577
 Copyright terms: Public domain W3C validator