Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnflf Structured version   Unicode version

Theorem cnflf 20959
 Description: A function is continuous iff it respects filter limits. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnflf TopOn TopOn
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,

Proof of Theorem cnflf
StepHypRef Expression
1 cncnp 20238 . 2 TopOn TopOn
2 cnpflf 20958 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
323expa 1205 . . . . . . 7 TopOn TopOn
43adantlr 719 . . . . . 6 TopOn TopOn
5 simplr 760 . . . . . . 7 TopOn TopOn
65biantrurd 510 . . . . . 6 TopOn TopOn
74, 6bitr4d 259 . . . . 5 TopOn TopOn
87ralbidva 2801 . . . 4 TopOn TopOn
9 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12
109flimelbas 20925 . . . . . . . . . . 11
11 toponuni 19884 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
1211ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12 TopOn TopOn
1312eleq2d 2491 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
1410, 13syl5ibr 224 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
1514pm4.71rd 639 . . . . . . . . 9 TopOn TopOn
1615imbi1d 318 . . . . . . . 8 TopOn TopOn
17 impexp 447 . . . . . . . 8
1816, 17syl6bb 264 . . . . . . 7 TopOn TopOn
1918ralbidv2 2800 . . . . . 6 TopOn TopOn
2019ralbidv 2804 . . . . 5 TopOn TopOn
21 ralcom 2928 . . . . 5
2220, 21syl6bb 264 . . . 4 TopOn TopOn
238, 22bitr4d 259 . . 3 TopOn TopOn
2423pm5.32da 645 . 2 TopOn TopOn
251, 24bitrd 256 1 TopOn TopOn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wral 2714  cuni 4162  wf 5540  cfv 5544  (class class class)co 6249  TopOnctopon 19860   ccn 20182   ccnp 20183  cfil 20802   cflim 20891   cflf 20892 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-map 7429  df-topgen 15285  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-top 19863  df-topon 19865  df-ntr 19977  df-nei 20056  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897 This theorem is referenced by:  cnflf2  20960  flfcntr  21000  fmcncfil  28689
 Copyright terms: Public domain W3C validator