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Theorem cnflf 20959
Description: A function is continuous iff it respects filter limits. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Sep-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnflf  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  f
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, f, X    f, Y, x    f, F, x    f, J, x   
f, K, x

Proof of Theorem cnflf
StepHypRef Expression
1 cncnp 20238 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) ) ) )
2 cnpflf 20958 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
323expa 1205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  x  e.  X )  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  ( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
43adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
5 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  F : X
--> Y )
65biantrurd 510 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) )  <-> 
( F : X --> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
74, 6bitr4d 259 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y ) )  /\  F : X --> Y )  /\  x  e.  X
)  ->  ( F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
87ralbidva 2801 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X
) ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) )
9 eqid 2428 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. J  =  U. J
109flimelbas 20925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  x  e.  U. J )
11 toponuni 19884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
1211ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  X  =  U. J )
1312eleq2d 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  X  <->  x  e.  U. J ) )
1410, 13syl5ibr 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  ->  x  e.  X )
)
1514pm4.71rd 639 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  <->  ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fLim  f
) ) ) )
1615imbi1d 318 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) )  <->  ( (
x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
17 impexp 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  x  e.  ( J  fLim  f ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) )  <-> 
( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
1816, 17syl6bb 264 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  (
( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) )  <->  ( x  e.  X  ->  ( x  e.  ( J  fLim  f )  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) ) )
1918ralbidv2 2800 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  ( J  fLim  f ) ( F `  x )  e.  ( ( K 
fLimf  f ) `  F
)  <->  A. x  e.  X  ( x  e.  ( J  fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
2019ralbidv 2804 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fLim  f ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  (
x  e.  ( J 
fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
21 ralcom 2928 . . . . 5  |-  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  X  ( x  e.  ( J  fLim  f
)  ->  ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) )
2220, 21syl6bb 264 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. f  e.  ( Fil `  X ) A. x  e.  ( J  fLim  f ) ( F `
 x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F )  <->  A. x  e.  X  A. f  e.  ( Fil `  X ) ( x  e.  ( J 
fLim  f )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( K  fLimf  f ) `  F ) ) ) )
238, 22bitr4d 259 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  /\  F : X
--> Y )  ->  ( A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x )  <->  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  f
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) )
2423pm5.32da 645 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( ( F : X --> Y  /\  A. x  e.  X  F  e.  ( ( J  CnP  K ) `  x ) )  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  f
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) )
251, 24bitrd 256 1  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  K  e.  (TopOn `  Y )
)  ->  ( F  e.  ( J  Cn  K
)  <->  ( F : X
--> Y  /\  A. f  e.  ( Fil `  X
) A. x  e.  ( J  fLim  f
) ( F `  x )  e.  ( ( K  fLimf  f ) `
 F ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   U.cuni 4162   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249  TopOnctopon 19860    Cn ccn 20182    CnP ccnp 20183   Filcfil 20802    fLim cflim 20891    fLimf cflf 20892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-id 4711  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-map 7429  df-topgen 15285  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-top 19863  df-topon 19865  df-ntr 19977  df-nei 20056  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897
This theorem is referenced by:  cnflf2  20960  flfcntr  21000  fmcncfil  28689
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