MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopon Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnfldtopon 21803
Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnfldtopon  |-  J  e.  (TopOn `  CC )

Proof of Theorem cnfldtopon
StepHypRef Expression
1 cnfldtps 21798 . 2  |-fld  e.  TopSp
2 cnfldbas 18974 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3 cnfldtopn.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
42, 3istps 19951 . 2  |-  (fld  e.  TopSp  <->  J  e.  (TopOn `  CC )
)
51, 4mpbi 212 1  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1444    e. wcel 1887   ` cfv 5582   CCcc 9537   TopOpenctopn 15320  ℂfldccnfld 18970  TopOnctopon 19918   TopSpctps 19919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11785  df-seq 12214  df-exp 12273  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-rest 15321  df-topn 15322  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-xms 21335  df-ms 21336
This theorem is referenced by:  cnfldtop  21804  sszcld  21835  reperflem  21836  cnperf  21838  divcn  21900  fsumcn  21902  expcn  21904  divccn  21905  cncfcn1  21942  cncfmptc  21943  cncfmptid  21944  cncfmpt2f  21946  cdivcncf  21949  abscncfALT  21952  cncfcnvcn  21953  cnmptre  21955  iirevcn  21958  iihalf1cn  21960  iihalf2cn  21962  iimulcn  21966  icchmeo  21969  cnrehmeo  21981  cnheiborlem  21982  cnheibor  21983  cnllycmp  21984  evth  21987  evth2  21988  lebnumlem2  21990  lebnumlem2OLD  21993  reparphti  22028  pcoass  22055  csscld  22220  clsocv  22221  cncmet  22290  resscdrg  22325  mbfimaopnlem  22611  limcvallem  22826  ellimc2  22832  limcnlp  22833  limcflflem  22835  limcflf  22836  limcmo  22837  limcres  22841  cnplimc  22842  cnlimc  22843  limccnp  22846  limccnp2  22847  limciun  22849  dvbss  22856  perfdvf  22858  recnperf  22860  dvreslem  22864  dvres2lem  22865  dvres3a  22869  dvidlem  22870  dvcnp2  22874  dvcn  22875  dvnres  22885  dvaddbr  22892  dvmulbr  22893  dvcmulf  22899  dvcobr  22900  dvcjbr  22903  dvrec  22909  dvmptid  22911  dvmptc  22912  dvmptres2  22916  dvmptcmul  22918  dvmptntr  22925  dvmptfsum  22927  dvcnvlem  22928  dvcnv  22929  dvexp3  22930  dveflem  22931  dvlipcn  22946  lhop1lem  22965  lhop2  22967  lhop  22968  dvcnvrelem2  22970  dvcnvre  22971  ftc1lem3  22990  ftc1cn  22995  plycn  23215  dvply1  23237  dvtaylp  23325  taylthlem1  23328  taylthlem2  23329  ulmdvlem3  23357  psercn2  23378  psercn  23381  pserdvlem2  23383  pserdv  23384  abelth  23396  pige3  23472  logcn  23592  dvloglem  23593  logdmopn  23594  dvlog  23596  dvlog2  23598  efopnlem2  23602  efopn  23603  logtayl  23605  dvcxp1  23680  cxpcn  23685  cxpcn2  23686  cxpcn3  23688  resqrtcn  23689  sqrtcn  23690  loglesqrt  23698  atansopn  23858  dvatan  23861  xrlimcnp  23894  efrlim  23895  lgamucov  23963  lgamucov2  23964  ftalem3  23999  vmcn  26335  dipcn  26359  ipasslem7  26477  ipasslem8  26478  occllem  26956  nlelchi  27714  tpr2rico  28718  rmulccn  28734  raddcn  28735  cvxpcon  29965  cvxscon  29966  cnllyscon  29968  sinccvglem  30316  ivthALT  30991  broucube  31974  dvtanlem  31990  dvtanlemOLD  31991  dvtan  31992  ftc1cnnc  32016  dvasin  32028  dvacos  32029  dvreasin  32030  dvreacos  32031  areacirclem1  32032  areacirclem2  32033  areacirclem4  32035  refsumcn  37351  unicntop  37371  fsumcncf  37755  ioccncflimc  37763  cncfuni  37764  icocncflimc  37767  cncfdmsn  37768  cncfiooicclem1  37771  cxpcncf2  37778  dvmptconst  37785  dvmptidg  37787  dvresntr  37788  itgsubsticclem  37852  dirkercncflem2  37966  dirkercncflem4  37968  dirkercncf  37969  fourierdlem32  38002  fourierdlem33  38003  fourierdlem62  38032  fourierdlem93  38063  fourierdlem101  38071
  Copyright terms: Public domain W3C validator