Theorem cnfldtopon 21375

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	|- J e. (TopOn ` CC )

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 21370	. 2 |- ℂfld e. TopSp
2		cnfldbas 18537	. . 3 |- CC = ( Base ` ℂfld )
3		cnfldtopn.1	. . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
4	2, 3	istps 19522	. 2 |- (ℂfld e. TopSp <-> J e. (TopOn ` CC ) )
5	1, 4	mpbi 208	1 |- J e. (TopOn ` CC )

Syntax hints:   = wceq 1399   e. wcel 1826   ` cfv 5496   CCcc 9401   TopOpenctopn 14829  ℂ_fldccnfld 18533  TopOnctopon 19480   TopSpctps 19482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-10 10519  df-n0 10713  df-z 10782  df-dec 10896  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-mulr 14716  df-starv 14717  df-tset 14721  df-ple 14722  df-ds 14724  df-unif 14725  df-rest 14830  df-topn 14831  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-cnfld 18534  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-topsp 19488  df-xms 20908  df-ms 20909

This theorem is referenced by:  cnfldtop  21376  sszcld  21407  reperflem  21408  cnperf  21410  divcn  21457  fsumcn  21459  expcn  21461  divccn  21462  cncfcn1  21499  cncfmptc  21500  cncfmptid  21501  cncfmpt2f  21503  cdivcncf  21506  abscncfALT  21509  cncfcnvcn  21510  cnmptre  21512  iirevcn  21515  iihalf1cn  21517  iihalf2cn  21519  iimulcn  21523  icchmeo  21526  cnrehmeo  21538  cnheiborlem  21539  cnheibor  21540  cnllycmp  21541  evth  21544  evth2  21545  lebnumlem2  21547  reparphti  21582  pcoass  21609  csscld  21774  clsocv  21775  cncmet  21846  resscdrg  21883  mbfimaopnlem  22147  limcvallem  22360  ellimc2  22366  limcnlp  22367  limcflflem  22369  limcflf  22370  limcmo  22371  limcres  22375  cnplimc  22376  cnlimc  22377  limccnp  22380  limccnp2  22381  limciun  22383  dvbss  22390  perfdvf  22392  recnperf  22394  dvreslem  22398  dvres2lem  22399  dvres3a  22403  dvidlem  22404  dvcnp2  22408  dvcn  22409  dvnres  22419  dvaddbr  22426  dvmulbr  22427  dvcmulf  22433  dvcobr  22434  dvcjbr  22437  dvrec  22443  dvmptid  22445  dvmptc  22446  dvmptres2  22450  dvmptcmul  22452  dvmptntr  22459  dvmptfsum  22461  dvcnvlem  22462  dvcnv  22463  dvexp3  22464  dveflem  22465  dvlipcn  22480  lhop1lem  22499  lhop2  22501  lhop  22502  dvcnvrelem2  22504  dvcnvre  22505  ftc1lem3  22524  ftc1cn  22529  plycn  22743  dvply1  22765  dvtaylp  22850  taylthlem1  22853  taylthlem2  22854  ulmdvlem3  22882  psercn2  22903  psercn  22906  pserdvlem2  22908  pserdv  22909  abelth  22921  pige3  22995  logcn  23115  dvloglem  23116  logdmopn  23117  dvlog  23119  dvlog2  23121  efopnlem2  23125  efopn  23126  logtayl  23128  dvcxp1  23203  cxpcn  23206  cxpcn2  23207  cxpcn3  23209  resqrtcn  23210  sqrtcn  23211  loglesqrt  23219  atansopn  23379  dvatan  23382  xrlimcnp  23415  efrlim  23416  ftalem3  23465  vmcn  25726  dipcn  25750  ipasslem7  25868  ipasslem8  25869  occllem  26338  nlelchi  27096  tpr2rico  28048  rmulccn  28064  raddcn  28065  lgamucov  28769  lgamucov2  28770  cvxpcon  28876  cvxscon  28877  cnllyscon  28879  sinccvglem  29227  dvtanlem  30229  dvtanlemOLD  30230  dvtan  30231  ftc1cnnc  30255  dvasin  30269  dvacos  30270  dvreasin  30271  dvreacos  30272  areacirclem1  30273  areacirclem2  30274  areacirclem4  30276  ivthALT  30319  refsumcn  31572  unicntop  31598  fsumcncf  31846  ioccncflimc  31854  cncfuni  31855  icocncflimc  31858  cncfdmsn  31859  cncfiooicclem1  31862  cxpcncf2  31869  dvmptconst  31876  dvmptidg  31878  dvresntr  31879  itgsubsticclem  31940  dirkercncflem2  32052  dirkercncflem4  32054  dirkercncf  32055  fourierdlem32  32087  fourierdlem33  32088  fourierdlem62  32117  fourierdlem93  32148  fourierdlem101  32156