Theorem cnfldtopon 20497

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	|- J e. (TopOn ` CC )

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 20492	. 2 |- ℂfld e. TopSp
2		cnfldbas 17950	. . 3 |- CC = ( Base ` ℂfld )
3		cnfldtopn.1	. . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
4	2, 3	istps 18676	. 2 |- (ℂfld e. TopSp <-> J e. (TopOn ` CC ) )
5	1, 4	mpbi 208	1 |- J e. (TopOn ` CC )

Syntax hints:   = wceq 1370   e. wcel 1758   ` cfv 5529   CCcc 9394   TopOpenctopn 14482  ℂ_fldccnfld 17946  TopOnctopon 18634   TopSpctps 18636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-fz 11558  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-rest 14483  df-topn 14484  df-topgen 14504  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-xms 20030  df-ms 20031

This theorem is referenced by:  cnfldtop  20498  sszcld  20529  reperflem  20530  cnperf  20532  divcn  20579  fsumcn  20581  expcn  20583  divccn  20584  cncfcn1  20621  cncfmptc  20622  cncfmptid  20623  cncfmpt2f  20625  cdivcncf  20628  abscncfALT  20631  cncfcnvcn  20632  cnmptre  20634  iirevcn  20637  iihalf1cn  20639  iihalf2cn  20641  iimulcn  20645  icchmeo  20648  cnrehmeo  20660  cnheiborlem  20661  cnheibor  20662  cnllycmp  20663  evth  20666  evth2  20667  lebnumlem2  20669  reparphti  20704  pcoass  20731  csscld  20896  clsocv  20897  cncmet  20968  resscdrg  21005  mbfimaopnlem  21269  limcvallem  21482  ellimc2  21488  limcnlp  21489  limcflflem  21491  limcflf  21492  limcmo  21493  limcres  21497  cnplimc  21498  cnlimc  21499  limccnp  21502  limccnp2  21503  limciun  21505  dvbss  21512  perfdvf  21514  recnperf  21516  dvreslem  21520  dvres2lem  21521  dvres3a  21525  dvidlem  21526  dvcnp2  21530  dvcn  21531  dvnres  21541  dvaddbr  21548  dvmulbr  21549  dvcmulf  21555  dvcobr  21556  dvcjbr  21559  dvrec  21565  dvmptid  21567  dvmptc  21568  dvmptres2  21572  dvmptcmul  21574  dvmptntr  21581  dvmptfsum  21583  dvcnvlem  21584  dvcnv  21585  dvexp3  21586  dveflem  21587  dvlipcn  21602  lhop1lem  21621  lhop2  21623  lhop  21624  dvcnvrelem2  21626  dvcnvre  21627  ftc1lem3  21646  ftc1cn  21651  plycn  21864  dvply1  21886  dvtaylp  21971  taylthlem1  21974  taylthlem2  21975  ulmdvlem3  22003  psercn2  22024  psercn  22027  pserdvlem2  22029  pserdv  22030  abelth  22042  pige3  22115  logcn  22228  dvloglem  22229  logdmopn  22230  dvlog  22232  dvlog2  22234  efopnlem2  22238  efopn  22239  logtayl  22241  dvcxp1  22316  cxpcn  22319  cxpcn2  22320  cxpcn3  22322  resqrcn  22323  sqrcn  22324  loglesqr  22332  atansopn  22463  dvatan  22466  xrlimcnp  22498  efrlim  22499  ftalem3  22548  vmcn  24266  dipcn  24290  ipasslem7  24408  ipasslem8  24409  occllem  24878  nlelchi  25637  tpr2rico  26507  rmulccn  26523  raddcn  26524  lgamucov  27188  lgamucov2  27189  cvxpcon  27295  cvxscon  27296  cnllyscon  27298  sinccvglem  27481  dvtanlem  28609  dvtan  28610  ftc1cnnc  28634  dvasin  28648  dvacos  28649  dvreasin  28650  dvreacos  28651  areacirclem1  28652  areacirclem2  28653  areacirclem4  28655  ivthALT  28698  refsumcn  29920