MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopon Structured version   Unicode version

Theorem cnfldtopon 21041
Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnfldtopon  |-  J  e.  (TopOn `  CC )

Proof of Theorem cnfldtopon
StepHypRef Expression
1 cnfldtps 21036 . 2  |-fld  e.  TopSp
2 cnfldbas 18211 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3 cnfldtopn.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
42, 3istps 19220 . 2  |-  (fld  e.  TopSp  <->  J  e.  (TopOn `  CC )
)
51, 4mpbi 208 1  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5587   CCcc 9489   TopOpenctopn 14676  ℂfldccnfld 18207  TopOnctopon 19178   TopSpctps 19180
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7900  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-4 10595  df-5 10596  df-6 10597  df-7 10598  df-8 10599  df-9 10600  df-10 10601  df-n0 10795  df-z 10864  df-dec 10976  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-fz 11672  df-seq 12075  df-exp 12134  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-struct 14491  df-ndx 14492  df-slot 14493  df-base 14494  df-plusg 14567  df-mulr 14568  df-starv 14569  df-tset 14573  df-ple 14574  df-ds 14576  df-unif 14577  df-rest 14677  df-topn 14678  df-topgen 14698  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-cnfld 18208  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-topsp 19186  df-xms 20574  df-ms 20575
This theorem is referenced by:  cnfldtop  21042  sszcld  21073  reperflem  21074  cnperf  21076  divcn  21123  fsumcn  21125  expcn  21127  divccn  21128  cncfcn1  21165  cncfmptc  21166  cncfmptid  21167  cncfmpt2f  21169  cdivcncf  21172  abscncfALT  21175  cncfcnvcn  21176  cnmptre  21178  iirevcn  21181  iihalf1cn  21183  iihalf2cn  21185  iimulcn  21189  icchmeo  21192  cnrehmeo  21204  cnheiborlem  21205  cnheibor  21206  cnllycmp  21207  evth  21210  evth2  21211  lebnumlem2  21213  reparphti  21248  pcoass  21275  csscld  21440  clsocv  21441  cncmet  21512  resscdrg  21549  mbfimaopnlem  21813  limcvallem  22026  ellimc2  22032  limcnlp  22033  limcflflem  22035  limcflf  22036  limcmo  22037  limcres  22041  cnplimc  22042  cnlimc  22043  limccnp  22046  limccnp2  22047  limciun  22049  dvbss  22056  perfdvf  22058  recnperf  22060  dvreslem  22064  dvres2lem  22065  dvres3a  22069  dvidlem  22070  dvcnp2  22074  dvcn  22075  dvnres  22085  dvaddbr  22092  dvmulbr  22093  dvcmulf  22099  dvcobr  22100  dvcjbr  22103  dvrec  22109  dvmptid  22111  dvmptc  22112  dvmptres2  22116  dvmptcmul  22118  dvmptntr  22125  dvmptfsum  22127  dvcnvlem  22128  dvcnv  22129  dvexp3  22130  dveflem  22131  dvlipcn  22146  lhop1lem  22165  lhop2  22167  lhop  22168  dvcnvrelem2  22170  dvcnvre  22171  ftc1lem3  22190  ftc1cn  22195  plycn  22408  dvply1  22430  dvtaylp  22515  taylthlem1  22518  taylthlem2  22519  ulmdvlem3  22547  psercn2  22568  psercn  22571  pserdvlem2  22573  pserdv  22574  abelth  22586  pige3  22659  logcn  22772  dvloglem  22773  logdmopn  22774  dvlog  22776  dvlog2  22778  efopnlem2  22782  efopn  22783  logtayl  22785  dvcxp1  22860  cxpcn  22863  cxpcn2  22864  cxpcn3  22866  resqrtcn  22867  sqrtcn  22868  loglesqrt  22876  atansopn  23007  dvatan  23010  xrlimcnp  23042  efrlim  23043  ftalem3  23092  vmcn  25301  dipcn  25325  ipasslem7  25443  ipasslem8  25444  occllem  25913  nlelchi  26672  tpr2rico  27546  rmulccn  27562  raddcn  27563  lgamucov  28236  lgamucov2  28237  cvxpcon  28343  cvxscon  28344  cnllyscon  28346  sinccvglem  28529  dvtanlem  29657  dvtan  29658  ftc1cnnc  29682  dvasin  29696  dvacos  29697  dvreasin  29698  dvreacos  29699  areacirclem1  29700  areacirclem2  29701  areacirclem4  29703  ivthALT  29746  refsumcn  30999  unicntop  31029  limcrecl  31187  lptioo2cn  31203  lptioo1cn  31204  fsumcncf  31232  ioccncflimc  31240  cncfuni  31241  icocncflimc  31244  cncfdmsn  31245  cncfiooicclem1  31248  dvmptconst  31259  dvmptidg  31261  dvresntr  31262  itgsubsticclem  31309  dirkercncflem2  31420  dirkercncflem4  31422  dirkercncf  31423  fourierdlem32  31455  fourierdlem33  31456  fourierdlem62  31485  fourierdlem93  31516  fourierdlem101  31524
  Copyright terms: Public domain W3C validator