MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopon Structured version   Unicode version

Theorem cnfldtopon 20204
Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnfldtopon  |-  J  e.  (TopOn `  CC )

Proof of Theorem cnfldtopon
StepHypRef Expression
1 cnfldtps 20199 . 2  |-fld  e.  TopSp
2 cnfldbas 17666 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3 cnfldtopn.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
42, 3istps 18383 . 2  |-  (fld  e.  TopSp  <->  J  e.  (TopOn `  CC )
)
51, 4mpbi 208 1  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1362    e. wcel 1755   ` cfv 5406   CCcc 9268   TopOpenctopn 14343  ℂfldccnfld 17662  TopOnctopon 18341   TopSpctps 18343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-q 10942  df-rp 10980  df-xneg 11077  df-xadd 11078  df-xmul 11079  df-fz 11425  df-seq 11791  df-exp 11850  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-rest 14344  df-topn 14345  df-topgen 14365  df-psmet 17653  df-xmet 17654  df-met 17655  df-bl 17656  df-mopn 17657  df-cnfld 17663  df-top 18345  df-bases 18347  df-topon 18348  df-topsp 18349  df-xms 19737  df-ms 19738
This theorem is referenced by:  cnfldtop  20205  sszcld  20236  reperflem  20237  cnperf  20239  divcn  20286  fsumcn  20288  expcn  20290  divccn  20291  cncfcn1  20328  cncfmptc  20329  cncfmptid  20330  cncfmpt2f  20332  cdivcncf  20335  abscncfALT  20338  cncfcnvcn  20339  cnmptre  20341  iirevcn  20344  iihalf1cn  20346  iihalf2cn  20348  iimulcn  20352  icchmeo  20355  cnrehmeo  20367  cnheiborlem  20368  cnheibor  20369  cnllycmp  20370  evth  20373  evth2  20374  lebnumlem2  20376  reparphti  20411  pcoass  20438  csscld  20603  clsocv  20604  cncmet  20675  resscdrg  20712  mbfimaopnlem  20975  limcvallem  21188  ellimc2  21194  limcnlp  21195  limcflflem  21197  limcflf  21198  limcmo  21199  limcres  21203  cnplimc  21204  cnlimc  21205  limccnp  21208  limccnp2  21209  limciun  21211  dvbss  21218  perfdvf  21220  recnperf  21222  dvreslem  21226  dvres2lem  21227  dvres3a  21231  dvidlem  21232  dvcnp2  21236  dvcn  21237  dvnres  21247  dvaddbr  21254  dvmulbr  21255  dvcmulf  21261  dvcobr  21262  dvcjbr  21265  dvrec  21271  dvmptid  21273  dvmptc  21274  dvmptres2  21278  dvmptcmul  21280  dvmptntr  21287  dvmptfsum  21289  dvcnvlem  21290  dvcnv  21291  dvexp3  21292  dveflem  21293  dvlipcn  21308  lhop1lem  21327  lhop2  21329  lhop  21330  dvcnvrelem2  21332  dvcnvre  21333  ftc1lem3  21352  ftc1cn  21357  plycn  21613  dvply1  21635  dvtaylp  21720  taylthlem1  21723  taylthlem2  21724  ulmdvlem3  21752  psercn2  21773  psercn  21776  pserdvlem2  21778  pserdv  21779  abelth  21791  pige3  21864  logcn  21977  dvloglem  21978  logdmopn  21979  dvlog  21981  dvlog2  21983  efopnlem2  21987  efopn  21988  logtayl  21990  dvcxp1  22065  cxpcn  22068  cxpcn2  22069  cxpcn3  22071  resqrcn  22072  sqrcn  22073  loglesqr  22081  atansopn  22212  dvatan  22215  xrlimcnp  22247  efrlim  22248  ftalem3  22297  vmcn  23917  dipcn  23941  ipasslem7  24059  ipasslem8  24060  occllem  24529  nlelchi  25288  tpr2rico  26196  rmulccn  26212  raddcn  26213  lgamucov  26872  lgamucov2  26873  cvxpcon  26979  cvxscon  26980  cnllyscon  26982  sinccvglem  27164  dvtanlem  28285  dvtan  28286  ftc1cnnc  28310  dvasin  28324  dvacos  28325  dvreasin  28326  dvreacos  28327  areacirclem1  28328  areacirclem2  28329  areacirclem4  28331  ivthALT  28374  refsumcn  29597
  Copyright terms: Public domain W3C validator