MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopon Structured version   Unicode version

Theorem cnfldtopon 20337
Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnfldtopon  |-  J  e.  (TopOn `  CC )

Proof of Theorem cnfldtopon
StepHypRef Expression
1 cnfldtps 20332 . 2  |-fld  e.  TopSp
2 cnfldbas 17797 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3 cnfldtopn.1 . . 3  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
42, 3istps 18516 . 2  |-  (fld  e.  TopSp  <->  J  e.  (TopOn `  CC )
)
51, 4mpbi 208 1  |-  J  e.  (TopOn `  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5413   CCcc 9272   TopOpenctopn 14352  ℂfldccnfld 17793  TopOnctopon 18474   TopSpctps 18476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-fz 11430  df-seq 11799  df-exp 11858  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-rest 14353  df-topn 14354  df-topgen 14374  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-cnfld 17794  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-xms 19870  df-ms 19871
This theorem is referenced by:  cnfldtop  20338  sszcld  20369  reperflem  20370  cnperf  20372  divcn  20419  fsumcn  20421  expcn  20423  divccn  20424  cncfcn1  20461  cncfmptc  20462  cncfmptid  20463  cncfmpt2f  20465  cdivcncf  20468  abscncfALT  20471  cncfcnvcn  20472  cnmptre  20474  iirevcn  20477  iihalf1cn  20479  iihalf2cn  20481  iimulcn  20485  icchmeo  20488  cnrehmeo  20500  cnheiborlem  20501  cnheibor  20502  cnllycmp  20503  evth  20506  evth2  20507  lebnumlem2  20509  reparphti  20544  pcoass  20571  csscld  20736  clsocv  20737  cncmet  20808  resscdrg  20845  mbfimaopnlem  21108  limcvallem  21321  ellimc2  21327  limcnlp  21328  limcflflem  21330  limcflf  21331  limcmo  21332  limcres  21336  cnplimc  21337  cnlimc  21338  limccnp  21341  limccnp2  21342  limciun  21344  dvbss  21351  perfdvf  21353  recnperf  21355  dvreslem  21359  dvres2lem  21360  dvres3a  21364  dvidlem  21365  dvcnp2  21369  dvcn  21370  dvnres  21380  dvaddbr  21387  dvmulbr  21388  dvcmulf  21394  dvcobr  21395  dvcjbr  21398  dvrec  21404  dvmptid  21406  dvmptc  21407  dvmptres2  21411  dvmptcmul  21413  dvmptntr  21420  dvmptfsum  21422  dvcnvlem  21423  dvcnv  21424  dvexp3  21425  dveflem  21426  dvlipcn  21441  lhop1lem  21460  lhop2  21462  lhop  21463  dvcnvrelem2  21465  dvcnvre  21466  ftc1lem3  21485  ftc1cn  21490  plycn  21703  dvply1  21725  dvtaylp  21810  taylthlem1  21813  taylthlem2  21814  ulmdvlem3  21842  psercn2  21863  psercn  21866  pserdvlem2  21868  pserdv  21869  abelth  21881  pige3  21954  logcn  22067  dvloglem  22068  logdmopn  22069  dvlog  22071  dvlog2  22073  efopnlem2  22077  efopn  22078  logtayl  22080  dvcxp1  22155  cxpcn  22158  cxpcn2  22159  cxpcn3  22161  resqrcn  22162  sqrcn  22163  loglesqr  22171  atansopn  22302  dvatan  22305  xrlimcnp  22337  efrlim  22338  ftalem3  22387  vmcn  24045  dipcn  24069  ipasslem7  24187  ipasslem8  24188  occllem  24657  nlelchi  25416  tpr2rico  26294  rmulccn  26310  raddcn  26311  lgamucov  26976  lgamucov2  26977  cvxpcon  27083  cvxscon  27084  cnllyscon  27086  sinccvglem  27268  dvtanlem  28394  dvtan  28395  ftc1cnnc  28419  dvasin  28433  dvacos  28434  dvreasin  28435  dvreacos  28436  areacirclem1  28437  areacirclem2  28438  areacirclem4  28440  ivthALT  28483  refsumcn  29705
  Copyright terms: Public domain W3C validator