Theorem cnfldtopon 21705

Description: The topology of the complex numbers is a topology. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnfldtopn.1	|- J = ( TopOpen ` ℂfld )

Assertion

Ref	Expression
cnfldtopon	|- J e. (TopOn ` CC )

Proof of Theorem cnfldtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldtps 21700	. 2 |- ℂfld e. TopSp
2		cnfldbas 18900	. . 3 |- CC = ( Base ` ℂfld )
3		cnfldtopn.1	. . 3 |- J = ( TopOpen ` ℂfld )
4	2, 3	istps 19873	. 2 |- (ℂfld e. TopSp <-> J e. (TopOn ` CC ) )
5	1, 4	mpbi 211	1 |- J e. (TopOn ` CC )

Syntax hints:   = wceq 1437   e. wcel 1870   ` cfv 5601   CCcc 9536   TopOpenctopn 15270  ℂ_fldccnfld 18896  TopOnctopon 19840   TopSpctps 19841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-fz 11783  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-struct 15077  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-plusg 15156  df-mulr 15157  df-starv 15158  df-tset 15162  df-ple 15163  df-ds 15165  df-unif 15166  df-rest 15271  df-topn 15272  df-topgen 15292  df-psmet 18888  df-xmet 18889  df-met 18890  df-bl 18891  df-mopn 18892  df-cnfld 18897  df-top 19843  df-bases 19844  df-topon 19845  df-topsp 19846  df-xms 21257  df-ms 21258

This theorem is referenced by:  cnfldtop  21706  sszcld  21737  reperflem  21738  cnperf  21740  divcn  21787  fsumcn  21789  expcn  21791  divccn  21792  cncfcn1  21829  cncfmptc  21830  cncfmptid  21831  cncfmpt2f  21833  cdivcncf  21836  abscncfALT  21839  cncfcnvcn  21840  cnmptre  21842  iirevcn  21845  iihalf1cn  21847  iihalf2cn  21849  iimulcn  21853  icchmeo  21856  cnrehmeo  21868  cnheiborlem  21869  cnheibor  21870  cnllycmp  21871  evth  21874  evth2  21875  lebnumlem2  21877  reparphti  21912  pcoass  21939  csscld  22104  clsocv  22105  cncmet  22174  resscdrg  22209  mbfimaopnlem  22479  limcvallem  22694  ellimc2  22700  limcnlp  22701  limcflflem  22703  limcflf  22704  limcmo  22705  limcres  22709  cnplimc  22710  cnlimc  22711  limccnp  22714  limccnp2  22715  limciun  22717  dvbss  22724  perfdvf  22726  recnperf  22728  dvreslem  22732  dvres2lem  22733  dvres3a  22737  dvidlem  22738  dvcnp2  22742  dvcn  22743  dvnres  22753  dvaddbr  22760  dvmulbr  22761  dvcmulf  22767  dvcobr  22768  dvcjbr  22771  dvrec  22777  dvmptid  22779  dvmptc  22780  dvmptres2  22784  dvmptcmul  22786  dvmptntr  22793  dvmptfsum  22795  dvcnvlem  22796  dvcnv  22797  dvexp3  22798  dveflem  22799  dvlipcn  22814  lhop1lem  22833  lhop2  22835  lhop  22836  dvcnvrelem2  22838  dvcnvre  22839  ftc1lem3  22858  ftc1cn  22863  plycn  23074  dvply1  23096  dvtaylp  23181  taylthlem1  23184  taylthlem2  23185  ulmdvlem3  23213  psercn2  23234  psercn  23237  pserdvlem2  23239  pserdv  23240  abelth  23252  pige3  23328  logcn  23448  dvloglem  23449  logdmopn  23450  dvlog  23452  dvlog2  23454  efopnlem2  23458  efopn  23459  logtayl  23461  dvcxp1  23536  cxpcn  23541  cxpcn2  23542  cxpcn3  23544  resqrtcn  23545  sqrtcn  23546  loglesqrt  23554  atansopn  23714  dvatan  23717  xrlimcnp  23750  efrlim  23751  lgamucov  23819  lgamucov2  23820  ftalem3  23855  vmcn  26171  dipcn  26195  ipasslem7  26313  ipasslem8  26314  occllem  26782  nlelchi  27540  tpr2rico  28548  rmulccn  28564  raddcn  28565  cvxpcon  29744  cvxscon  29745  cnllyscon  29747  sinccvglem  30095  ivthALT  30767  broucube  31668  dvtanlem  31684  dvtanlemOLD  31685  dvtan  31686  ftc1cnnc  31710  dvasin  31722  dvacos  31723  dvreasin  31724  dvreacos  31725  areacirclem1  31726  areacirclem2  31727  areacirclem4  31729  refsumcn  36981  unicntop  37001  fsumcncf  37317  ioccncflimc  37325  cncfuni  37326  icocncflimc  37329  cncfdmsn  37330  cncfiooicclem1  37333  cxpcncf2  37340  dvmptconst  37347  dvmptidg  37349  dvresntr  37350  itgsubsticclem  37411  dirkercncflem2  37525  dirkercncflem4  37527  dirkercncf  37528  fourierdlem32  37560  fourierdlem33  37561  fourierdlem62  37590  fourierdlem93  37621  fourierdlem101  37629