MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopn Structured version   Unicode version

Theorem cnfldtopn 20492
Description: The topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnfldtopn  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )

Proof of Theorem cnfldtopn
StepHypRef Expression
1 cnfldtopn.1 . 2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2 cnxmet 20483 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
3 eqid 2454 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
43mopntopon 20145 . . 3  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  ->  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  e.  (TopOn `  CC ) )
5 cnfldbas 17946 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
6 cnfldtset 17950 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  (TopSet ` fld )
75, 6topontopn 18678 . . 3  |-  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )  =  ( TopOpen ` fld ) )
82, 4, 7mp2b 10 . 2  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( TopOpen ` fld )
91, 8eqtr4i 2486 1  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758    o. ccom 4951   ` cfv 5525   CCcc 9390    - cmin 9705   abscabs 12840   TopOpenctopn 14478   *Metcxmt 17925   MetOpencmopn 17930  ℂfldccnfld 17942  TopOnctopon 18630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-pre-sup 9470
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-div 10104  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-q 11064  df-rp 11102  df-xneg 11199  df-xadd 11200  df-xmul 11201  df-fz 11554  df-seq 11923  df-exp 11982  df-cj 12705  df-re 12706  df-im 12707  df-sqr 12841  df-abs 12842  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-rest 14479  df-topn 14480  df-topgen 14500  df-psmet 17933  df-xmet 17934  df-met 17935  df-bl 17936  df-mopn 17937  df-cnfld 17943  df-top 18634  df-bases 18636  df-topon 18637
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  20495  tgioo2  20511  recld2  20522  zdis  20524  reperflem  20526  addcnlem  20571  divcn  20575  dfii3  20590  cncfcn  20616  cnheibor  20658  cnllycmp  20659  ipcn  20889  lmclim  20944  cncmet  20964  recmet  20965  ellimc3  21486  dvlipcn  21598  lhop1lem  21617  ftc1lem6  21645  ulmdvlem3  21999  psercn  22023  pserdvlem2  22025  abelth  22038  dvlog2  22230  efopnlem2  22234  efopn  22235  logtayl  22237  cxpcn3  22318  rlimcnp  22491  xrlimcnp  22494  efrlim  22495  ftalem3  22544  smcnlem  24243  hhcnf  25460  tpr2rico  26486  lgamucov  27167  cnllyscon  27277  ftc1cnnc  28613
  Copyright terms: Public domain W3C validator