MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldtopn Structured version   Unicode version

Theorem cnfldtopn 21021
Description: The topology of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
cnfldtopn.1  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
cnfldtopn  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )

Proof of Theorem cnfldtopn
StepHypRef Expression
1 cnfldtopn.1 . 2  |-  J  =  ( TopOpen ` fld )
2 cnxmet 21012 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)
43mopntopon 20674 . . 3  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  ( *Met `  CC )  ->  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  e.  (TopOn `  CC ) )
5 cnfldbas 18192 . . . 4  |-  CC  =  ( Base ` fld )
6 cnfldtset 18196 . . . 4  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  (TopSet ` fld )
75, 6topontopn 19207 . . 3  |-  ( (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) )  e.  (TopOn `  CC )  ->  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )  =  ( TopOpen ` fld ) )
82, 4, 7mp2b 10 . 2  |-  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
)  =  ( TopOpen ` fld )
91, 8eqtr4i 2499 1  |-  J  =  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767    o. ccom 5003   ` cfv 5586   CCcc 9486    - cmin 9801   abscabs 13024   TopOpenctopn 14670   *Metcxmt 18171   MetOpencmopn 18176  ℂfldccnfld 18188  TopOnctopon 19159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-fz 11669  df-seq 12071  df-exp 12130  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-rest 14671  df-topn 14672  df-topgen 14692  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-cnfld 18189  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166
This theorem is referenced by:  cnfldhaus  21024  tgioo2  21040  recld2  21051  zdis  21053  reperflem  21055  addcnlem  21100  divcn  21104  dfii3  21119  cncfcn  21145  cnheibor  21187  cnllycmp  21188  ipcn  21418  lmclim  21473  cncmet  21493  recmet  21494  ellimc3  22015  dvlipcn  22127  lhop1lem  22146  ftc1lem6  22174  ulmdvlem3  22528  psercn  22552  pserdvlem2  22554  abelth  22567  dvlog2  22759  efopnlem2  22763  efopn  22764  logtayl  22766  cxpcn3  22847  rlimcnp  23020  xrlimcnp  23023  efrlim  23024  ftalem3  23073  smcnlem  25280  hhcnf  26497  tpr2rico  27527  lgamucov  28217  cnllyscon  28327  ftc1cnnc  29664  limcrecl  31171  islpcn  31181
  Copyright terms: Public domain W3C validator