MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldsub Structured version   Unicode version

Theorem cnfldsub 18764
Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldsub  |-  -  =  ( -g ` fld )

Proof of Theorem cnfldsub
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18742 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfldadd 18743 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
3 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( invg ` fld )  =  ( invg ` fld )
4 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( -g ` fld )  =  ( -g ` fld )
51, 2, 3, 4grpsubval 16415 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x ( -g ` fld ) y )  =  ( x  +  ( ( invg ` fld ) `  y ) ) )
6 cnfldneg 18762 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( invg ` fld ) `  y )  =  -u y )
76adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( invg ` fld ) `  y )  =  -u y )
87oveq2d 6293 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  ( ( invg ` fld ) `  y ) )  =  ( x  +  -u y ) )
9 negsub 9902 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  -u y )  =  ( x  -  y ) )
105, 8, 93eqtrrd 2448 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  =  ( x ( -g ` fld ) y ) )
1110mpt2eq3ia 6342 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) )
12 subf 9857 . . . 4  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
13 ffn 5713 . . . 4  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  -  Fn  ( CC  X.  CC ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  -  Fn  ( CC  X.  CC )
15 fnov 6390 . . 3  |-  (  -  Fn  ( CC  X.  CC ) 
<->  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) ) )
1614, 15mpbi 208 . 2  |-  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y
) )
17 cnring 18758 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
18 ringgrp 17521 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-fld  e.  Grp
201, 4grpsubf 16439 . . . 4  |-  (fld  e.  Grp  ->  ( -g ` fld ) : ( CC 
X.  CC ) --> CC )
21 ffn 5713 . . . 4  |-  ( (
-g ` fld ) : ( CC 
X.  CC ) --> CC 
->  ( -g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC ) )
2219, 20, 21mp2b 10 . . 3  |-  ( -g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC )
23 fnov 6390 . . 3  |-  ( (
-g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  ( -g ` fld )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) ) )
2422, 23mpbi 208 . 2  |-  ( -g ` fld )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) )
2511, 16, 243eqtr4i 2441 1  |-  -  =  ( -g ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    X. cxp 4820    Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279   CCcc 9519    + caddc 9524    - cmin 9840   -ucneg 9841   Grpcgrp 16375   invgcminusg 16376   -gcsg 16377   Ringcrg 17516  ℂfldccnfld 18738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-sbg 16381  df-cmn 17122  df-mgp 17460  df-ring 17518  df-cring 17519  df-cnfld 18739
This theorem is referenced by:  zndvds  18884  resubgval  18941  cnngp  21577  cnfldtgp  21663  clmsub  21870  clmsubcl  21875  qqhucn  28411  zringsubgval  38487
  Copyright terms: Public domain W3C validator