MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldsub Structured version   Unicode version

Theorem cnfldsub 18210
Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldsub  |-  -  =  ( -g ` fld )

Proof of Theorem cnfldsub
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18188 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfldadd 18189 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
3 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( invg ` fld )  =  ( invg ` fld )
4 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( -g ` fld )  =  ( -g ` fld )
51, 2, 3, 4grpsubval 15887 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x ( -g ` fld ) y )  =  ( x  +  ( ( invg ` fld ) `  y ) ) )
6 cnfldneg 18208 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( invg ` fld ) `  y )  =  -u y )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( invg ` fld ) `  y )  =  -u y )
87oveq2d 6291 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  ( ( invg ` fld ) `  y ) )  =  ( x  +  -u y ) )
9 negsub 9856 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  -u y )  =  ( x  -  y ) )
105, 8, 93eqtrrd 2506 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  =  ( x ( -g ` fld ) y ) )
1110mpt2eq3ia 6337 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) )
12 subf 9811 . . . 4  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
13 ffn 5722 . . . 4  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  -  Fn  ( CC  X.  CC ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  -  Fn  ( CC  X.  CC )
15 fnov 6385 . . 3  |-  (  -  Fn  ( CC  X.  CC ) 
<->  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) ) )
1614, 15mpbi 208 . 2  |-  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y
) )
17 cnrng 18204 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
18 rnggrp 16984 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-fld  e.  Grp
201, 4grpsubf 15911 . . . 4  |-  (fld  e.  Grp  ->  ( -g ` fld ) : ( CC 
X.  CC ) --> CC )
21 ffn 5722 . . . 4  |-  ( (
-g ` fld ) : ( CC 
X.  CC ) --> CC 
->  ( -g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC ) )
2219, 20, 21mp2b 10 . . 3  |-  ( -g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC )
23 fnov 6385 . . 3  |-  ( (
-g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  ( -g ` fld )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) ) )
2422, 23mpbi 208 . 2  |-  ( -g ` fld )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) )
2511, 16, 243eqtr4i 2499 1  |-  -  =  ( -g ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    X. cxp 4990    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   CCcc 9479    + caddc 9484    - cmin 9794   -ucneg 9795   Grpcgrp 15716   invgcminusg 15717   -gcsg 15719   Ringcrg 16979  ℂfldccnfld 18184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-cmn 16589  df-mgp 16925  df-rng 16981  df-cring 16982  df-cnfld 18185
This theorem is referenced by:  zndvds  18348  resubgval  18405  cnngp  21015  cnfldtgp  21101  clmsub  21308  clmsubcl  21313  qqhucn  27595  zringsubgval  31943
  Copyright terms: Public domain W3C validator