MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldsub Structured version   Unicode version

Theorem cnfldsub 18425
Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldsub  |-  -  =  ( -g ` fld )

Proof of Theorem cnfldsub
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 18403 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfldadd 18404 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( invg ` fld )  =  ( invg ` fld )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( -g ` fld )  =  ( -g ` fld )
51, 2, 3, 4grpsubval 16072 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x ( -g ` fld ) y )  =  ( x  +  ( ( invg ` fld ) `  y ) ) )
6 cnfldneg 18423 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( invg ` fld ) `  y )  =  -u y )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( invg ` fld ) `  y )  =  -u y )
87oveq2d 6297 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  ( ( invg ` fld ) `  y ) )  =  ( x  +  -u y ) )
9 negsub 9872 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  -u y )  =  ( x  -  y ) )
105, 8, 93eqtrrd 2489 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  =  ( x ( -g ` fld ) y ) )
1110mpt2eq3ia 6347 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) )
12 subf 9827 . . . 4  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
13 ffn 5721 . . . 4  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  -  Fn  ( CC  X.  CC ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  -  Fn  ( CC  X.  CC )
15 fnov 6395 . . 3  |-  (  -  Fn  ( CC  X.  CC ) 
<->  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) ) )
1614, 15mpbi 208 . 2  |-  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y
) )
17 cnring 18419 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
18 ringgrp 17182 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-fld  e.  Grp
201, 4grpsubf 16096 . . . 4  |-  (fld  e.  Grp  ->  ( -g ` fld ) : ( CC 
X.  CC ) --> CC )
21 ffn 5721 . . . 4  |-  ( (
-g ` fld ) : ( CC 
X.  CC ) --> CC 
->  ( -g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC ) )
2219, 20, 21mp2b 10 . . 3  |-  ( -g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC )
23 fnov 6395 . . 3  |-  ( (
-g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  ( -g ` fld )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) ) )
2422, 23mpbi 208 . 2  |-  ( -g ` fld )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) )
2511, 16, 243eqtr4i 2482 1  |-  -  =  ( -g ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    X. cxp 4987    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   CCcc 9493    + caddc 9498    - cmin 9810   -ucneg 9811   Grpcgrp 16032   invgcminusg 16033   -gcsg 16034   Ringcrg 17177  ℂfldccnfld 18399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-cmn 16779  df-mgp 17121  df-ring 17179  df-cring 17180  df-cnfld 18400
This theorem is referenced by:  zndvds  18566  resubgval  18623  cnngp  21265  cnfldtgp  21351  clmsub  21558  clmsubcl  21563  qqhucn  27951  zringsubgval  32865
  Copyright terms: Public domain W3C validator