MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldsub Structured version   Unicode version

Theorem cnfldsub 17863
Description: The subtraction operator in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldsub  |-  -  =  ( -g ` fld )

Proof of Theorem cnfldsub
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfldbas 17841 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
2 cnfldadd 17842 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
3 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( invg ` fld )  =  ( invg ` fld )
4 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( -g ` fld )  =  ( -g ` fld )
51, 2, 3, 4grpsubval 15600 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x ( -g ` fld ) y )  =  ( x  +  ( ( invg ` fld ) `  y ) ) )
6 cnfldneg 17861 . . . . . 6  |-  ( y  e.  CC  ->  (
( invg ` fld ) `  y )  =  -u y )
76adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( ( invg ` fld ) `  y )  =  -u y )
87oveq2d 6126 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  ( ( invg ` fld ) `  y ) )  =  ( x  +  -u y ) )
9 negsub 9676 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  +  -u y )  =  ( x  -  y ) )
105, 8, 93eqtrrd 2480 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC )  ->  ( x  -  y
)  =  ( x ( -g ` fld ) y ) )
1110mpt2eq3ia 6170 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) )
12 subf 9631 . . . 4  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
13 ffn 5578 . . . 4  |-  (  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC  ->  -  Fn  ( CC  X.  CC ) )
1412, 13ax-mp 5 . . 3  |-  -  Fn  ( CC  X.  CC )
15 fnov 6217 . . 3  |-  (  -  Fn  ( CC  X.  CC ) 
<->  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y ) ) )
1614, 15mpbi 208 . 2  |-  -  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x  -  y
) )
17 cnrng 17857 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
18 rnggrp 16669 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
1917, 18ax-mp 5 . . . 4  |-fld  e.  Grp
201, 4grpsubf 15624 . . . 4  |-  (fld  e.  Grp  ->  ( -g ` fld ) : ( CC 
X.  CC ) --> CC )
21 ffn 5578 . . . 4  |-  ( (
-g ` fld ) : ( CC 
X.  CC ) --> CC 
->  ( -g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC ) )
2219, 20, 21mp2b 10 . . 3  |-  ( -g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC )
23 fnov 6217 . . 3  |-  ( (
-g ` fld )  Fn  ( CC  X.  CC )  <->  ( -g ` fld )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) ) )
2422, 23mpbi 208 . 2  |-  ( -g ` fld )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  CC  |->  ( x (
-g ` fld ) y ) )
2511, 16, 243eqtr4i 2473 1  |-  -  =  ( -g ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    X. cxp 4857    Fn wfn 5432   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112   CCcc 9299    + caddc 9304    - cmin 9614   -ucneg 9615   Grpcgrp 15429   invgcminusg 15430   -gcsg 15432   Ringcrg 16664  ℂfldccnfld 17837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-addf 9380  ax-mulf 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-fz 11457  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-0g 14399  df-mnd 15434  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-sbg 15566  df-cmn 16298  df-mgp 16611  df-rng 16666  df-cring 16667  df-cnfld 17838
This theorem is referenced by:  zndvds  18001  resubgval  18058  cnngp  20378  cnfldtgp  20464  clmsub  20671  clmsubcl  20676  qqhucn  26440  zringsubgval  30878
  Copyright terms: Public domain W3C validator