MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldstr Structured version   Unicode version

Theorem cnfldstr 18549
Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldstr  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.

Proof of Theorem cnfldstr
StepHypRef Expression
1 df-cnfld 18548 . 2  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
2 eqid 2457 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )
32srngfn 14771 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } ) Struct  <. 1 ,  4
>.
4 9nn 10721 . . . . 5  |-  9  e.  NN
5 tsetndx 14803 . . . . 5  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
6 9lt10 10759 . . . . 5  |-  9  <  10
7 10nn 10722 . . . . 5  |-  10  e.  NN
8 plendx 14810 . . . . 5  |-  ( le
`  ndx )  =  10
9 dec10 11030 . . . . . 6  |-  10  = ; 1 0
10 1nn0 10832 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
11 0nn0 10831 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
12 2nn 10714 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
13 2pos 10648 . . . . . . 7  |-  0  <  2
1410, 11, 12, 13declt 11021 . . . . . 6  |- ; 1 0  < ; 1 2
159, 14eqbrtri 4475 . . . . 5  |-  10  < ; 1 2
1610, 12decnncl 11013 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN
17 dsndx 14819 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
184, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17strle3 14745 . . . 4  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. } Struct  <. 9 , ; 1
2 >.
19 3nn 10715 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
2010, 19decnncl 11013 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN
21 unifndx 14821 . . . . 5  |-  ( UnifSet ` 
ndx )  = ; 1 3
2220, 21strle1 14743 . . . 4  |-  { <. (
UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } Struct  <.; 1 3 , ; 1 3 >.
23 2nn0 10833 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
24 2lt3 10724 . . . . 5  |-  2  <  3
2510, 23, 19, 24declt 11021 . . . 4  |- ; 1 2  < ; 1 3
2618, 22, 25strleun 14742 . . 3  |-  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) Struct  <. 9 , ; 1
3 >.
27 4lt9 10755 . . 3  |-  4  <  9
283, 26, 27strleun 14742 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) ) Struct  <. 1 , ; 1 3 >.
291, 28eqbrtri 4475 1  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    u. cun 3469   {csn 4032   {ctp 4036   <.cop 4038   class class class wbr 4456    o. ccom 5012   ` cfv 5594   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   2c2 10606   3c3 10607   4c4 10608   9c9 10613   10c10 10614  ;cdc 11000   *ccj 12941   abscabs 13079   Struct cstr 14640   ndxcnx 14641   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713   *rcstv 14714  TopSetcts 14718   lecple 14719   distcds 14721   UnifSetcunif 14722   MetOpencmopn 18535  metUnifcmetu 18537  ℂfldccnfld 18547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-cnfld 18548
This theorem is referenced by:  cnfldex  18550  cnfldbas  18551  cnfldadd  18552  cnfldmul  18553  cnfldcj  18554  cnfldtset  18555  cnfldle  18556  cnfldds  18557  cnfldunif  18558
  Copyright terms: Public domain W3C validator