MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldstr Structured version   Unicode version

Theorem cnfldstr 17929
Description: The field of complex numbers is a structure. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldstr  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.

Proof of Theorem cnfldstr
StepHypRef Expression
1 df-cnfld 17928 . 2  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
2 eqid 2451 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  =  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )
32srngfn 14395 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } ) Struct  <. 1 ,  4
>.
4 9nn 10587 . . . . 5  |-  9  e.  NN
5 tsetndx 14427 . . . . 5  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
6 9lt10 10625 . . . . 5  |-  9  <  10
7 10nn 10588 . . . . 5  |-  10  e.  NN
8 plendx 14434 . . . . 5  |-  ( le
`  ndx )  =  10
9 dec10 10886 . . . . . 6  |-  10  = ; 1 0
10 1nn0 10696 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN0
11 0nn0 10695 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
12 2nn 10580 . . . . . . 7  |-  2  e.  NN
13 2pos 10514 . . . . . . 7  |-  0  <  2
1410, 11, 12, 13declt 10877 . . . . . 6  |- ; 1 0  < ; 1 2
159, 14eqbrtri 4409 . . . . 5  |-  10  < ; 1 2
1610, 12decnncl 10869 . . . . 5  |- ; 1 2  e.  NN
17 dsndx 14443 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
184, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17strle3 14373 . . . 4  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. } Struct  <. 9 , ; 1
2 >.
19 3nn 10581 . . . . . 6  |-  3  e.  NN
2010, 19decnncl 10869 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN
21 unifndx 14445 . . . . 5  |-  ( UnifSet ` 
ndx )  = ; 1 3
2220, 21strle1 14371 . . . 4  |-  { <. (
UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } Struct  <.; 1 3 , ; 1 3 >.
23 2nn0 10697 . . . . 5  |-  2  e.  NN0
24 2lt3 10590 . . . . 5  |-  2  <  3
2510, 23, 19, 24declt 10877 . . . 4  |- ; 1 2  < ; 1 3
2618, 22, 25strleun 14370 . . 3  |-  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) Struct  <. 9 , ; 1
3 >.
27 4lt9 10621 . . 3  |-  4  <  9
283, 26, 27strleun 14370 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) ) Struct  <. 1 , ; 1 3 >.
291, 28eqbrtri 4409 1  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    u. cun 3424   {csn 3975   {ctp 3979   <.cop 3981   class class class wbr 4390    o. ccom 4942   ` cfv 5516   CCcc 9381   0cc0 9383   1c1 9384    + caddc 9386    x. cmul 9388    < clt 9519    <_ cle 9520    - cmin 9696   2c2 10472   3c3 10473   4c4 10474   9c9 10479   10c10 10480  ;cdc 10856   *ccj 12687   abscabs 12825   Struct cstr 14272   ndxcnx 14273   Basecbs 14276   +g cplusg 14340   .rcmulr 14341   *rcstv 14342  TopSetcts 14346   lecple 14347   distcds 14349   UnifSetcunif 14350   MetOpencmopn 17915  metUnifcmetu 17917  ℂfldccnfld 17927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-fz 11539  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-cnfld 17928
This theorem is referenced by:  cnfldex  17930  cnfldbas  17931  cnfldadd  17932  cnfldmul  17933  cnfldcj  17934  cnfldtset  17935  cnfldle  17936  cnfldds  17937  cnfldunif  17938
  Copyright terms: Public domain W3C validator