MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldnm Structured version   Unicode version

Theorem cnfldnm 21452
Description: The norm of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldnm  |-  abs  =  ( norm ` fld )

Proof of Theorem cnfldnm
StepHypRef Expression
1 0cn 9577 . . . . 5  |-  0  e.  CC
2 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( abs  o.  -  )
32cnmetdval 21444 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  ( x ( abs 
o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  ( x  -  0 ) ) )
41, 3mpan2 669 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  (
x  -  0 ) ) )
5 subid1 9830 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  -  0 )  =  x )
65fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( x  e.  CC  ->  ( abs `  ( x  - 
0 ) )  =  ( abs `  x
) )
74, 6eqtrd 2495 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x ( abs  o.  -  ) 0 )  =  ( abs `  x
) )
87mpteq2ia 4521 . 2  |-  ( x  e.  CC  |->  ( x ( abs  o.  -  ) 0 ) )  =  ( x  e.  CC  |->  ( abs `  x
) )
9 eqid 2454 . . 3  |-  ( norm ` fld )  =  ( norm ` fld )
10 cnfldbas 18619 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
11 cnfld0 18637 . . 3  |-  0  =  ( 0g ` fld )
12 cnfldds 18625 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
139, 10, 11, 12nmfval 21275 . 2  |-  ( norm ` fld )  =  ( x  e.  CC  |->  ( x ( abs  o.  -  )
0 ) )
14 absf 13252 . . . . 5  |-  abs : CC
--> RR
1514a1i 11 . . . 4  |-  ( T. 
->  abs : CC --> RR )
1615feqmptd 5901 . . 3  |-  ( T. 
->  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( abs `  x ) ) )
1716trud 1407 . 2  |-  abs  =  ( x  e.  CC  |->  ( abs `  x ) )
188, 13, 173eqtr4ri 2494 1  |-  abs  =  ( norm ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398   T. wtru 1399    e. wcel 1823    |-> cmpt 4497    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    - cmin 9796   abscabs 13149  ℂfldccnfld 18615   normcnm 21263
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-rp 11222  df-fz 11676  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-cmn 16999  df-mgp 17337  df-ring 17395  df-cring 17396  df-cnfld 18616  df-nm 21269
This theorem is referenced by:  cnngp  21453  cnnrg  21454  abscn  21516  clmabs  21748  tchcph  21846  zringnm  28175  cnzh  28185  rezh  28186
  Copyright terms: Public domain W3C validator