MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldmul Structured version   Unicode version

Theorem cnfldmul 18911
Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldmul  |-  x.  =  ( .r ` fld )

Proof of Theorem cnfldmul
StepHypRef Expression
1 mulex 11301 . 2  |-  x.  e.  _V
2 cnfldstr 18907 . . 3  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.
3 mulrid 15202 . . 3  |-  .r  = Slot  ( .r `  ndx )
4 snsstp3 4156 . . . 4  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_  {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }
5 ssun1 3635 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )
6 ssun1 3635 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  C_  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
7 df-cnfld 18906 . . . . . 6  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
86, 7sseqtr4i 3503 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  C_fld
95, 8sstri 3479 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_fld
104, 9sstri 3479 . . 3  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_fld
112, 3, 10strfv 15120 . 2  |-  (  x.  e.  _V  ->  x.  =  ( .r ` fld )
)
121, 11ax-mp 5 1  |-  x.  =  ( .r ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    u. cun 3440   {csn 4002   {ctp 4006   <.cop 4008    o. ccom 4858   ` cfv 5601   CCcc 9536   1c1 9539    + caddc 9541    x. cmul 9543    <_ cle 9675    - cmin 9859   3c3 10660  ;cdc 11051   *ccj 13138   abscabs 13276   ndxcnx 15081   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   .rcmulr 15153   *rcstv 15154  TopSetcts 15158   lecple 15159   distcds 15161   UnifSetcunif 15162   MetOpencmopn 18895  metUnifcmetu 18896  ℂfldccnfld 18905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-mulf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-cnfld 18906
This theorem is referenced by:  cncrng  18924  cnfld1  18928  cndrng  18932  cnflddiv  18933  cnfldexp  18936  cnsrng  18937  cnsubrglem  18953  absabv  18960  cnsubrg  18963  cnmsubglem  18965  expmhm  18970  nn0srg  18971  rge0srg  18972  zringmulr  18982  expghm  18998  psgnghm  19079  psgnco  19082  evpmodpmf1o  19095  remulr  19110  mdetralt  19564  clmmul  21999  clmmcl  22008  cphsubrglem  22048  cphdivcl  22053  cphabscl  22056  cphsqrtcl2  22057  cphsqrtcl3  22058  ipcau2  22101  plypf1  23034  dvply2g  23106  taylply2  23188  reefgim  23270  efabl  23364  efsubm  23365  amgmlem  23780  amgm  23781  wilthlem2  23859  wilthlem3  23860  dchrelbas3  24029  dchrzrhmul  24037  dchrmulcl  24040  dchrn0  24041  dchrinvcl  24044  dchrsum2  24059  sum2dchr  24065  qabvexp  24327  ostthlem2  24329  padicabv  24331  ostth2lem2  24335  ostth3  24339  xrge0slmod  28446  iistmd  28547  xrge0iifmhm  28584  xrge0pluscn  28585  qqhrhm  28632  cnsrexpcl  35730  cnsrplycl  35732  rngunsnply  35738  amgm2d  36287  amgm3d  36288  amgm4d  36289  cnfldsrngmul  38529  aacllem  39301
  Copyright terms: Public domain W3C validator