MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldmul Structured version   Unicode version

Theorem cnfldmul 17836
Description: The multiplication operation of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldmul  |-  x.  =  ( .r ` fld )

Proof of Theorem cnfldmul
StepHypRef Expression
1 mulex 11002 . 2  |-  x.  e.  _V
2 cnfldstr 17832 . . 3  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.
3 mulrid 14296 . . 3  |-  .r  = Slot  ( .r `  ndx )
4 snsstp3 4038 . . . 4  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_  {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }
5 ssun1 3531 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )
6 ssun1 3531 . . . . . 6  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  C_  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
7 df-cnfld 17831 . . . . . 6  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
86, 7sseqtr4i 3401 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  C_fld
95, 8sstri 3377 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_fld
104, 9sstri 3377 . . 3  |-  { <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  C_fld
112, 3, 10strfv 14220 . 2  |-  (  x.  e.  _V  ->  x.  =  ( .r ` fld )
)
121, 11ax-mp 5 1  |-  x.  =  ( .r ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2984    u. cun 3338   {csn 3889   {ctp 3893   <.cop 3895    o. ccom 4856   ` cfv 5430   CCcc 9292   1c1 9295    + caddc 9297    x. cmul 9299    <_ cle 9431    - cmin 9607   3c3 10384  ;cdc 10767   *ccj 12597   abscabs 12735   ndxcnx 14183   Basecbs 14186   +g cplusg 14250   .rcmulr 14251   *rcstv 14252  TopSetcts 14256   lecple 14257   distcds 14259   UnifSetcunif 14260   MetOpencmopn 17818  metUnifcmetu 17820  ℂfldccnfld 17830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-mulf 9374
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-oadd 6936  df-er 7113  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-5 10395  df-6 10396  df-7 10397  df-8 10398  df-9 10399  df-10 10400  df-n0 10592  df-z 10659  df-dec 10768  df-uz 10874  df-fz 11450  df-struct 14188  df-ndx 14189  df-slot 14190  df-base 14191  df-plusg 14263  df-mulr 14264  df-starv 14265  df-tset 14269  df-ple 14270  df-ds 14272  df-unif 14273  df-cnfld 17831
This theorem is referenced by:  cncrng  17849  cnfld1  17853  cndrng  17857  cnflddiv  17858  cnfldexp  17861  cnsrng  17862  cnsubrglem  17875  absabv  17882  cnsubrg  17885  cnmsubglem  17887  expmhm  17892  nn0srg  17893  rge0srg  17894  zringmulr  17904  zrngmulr  17910  dvdsrz  17914  zlpirlem3  17922  prmirredlemOLD  17932  expghm  17935  expghmOLD  17936  mulgrhmOLD  17941  psgnghm  18022  psgnco  18025  evpmodpmf1o  18038  remulr  18053  mdetralt  18426  clmmul  20659  clmmcl  20668  cphsubrglem  20708  cphdivcl  20713  cphabscl  20716  cphsqrcl2  20717  cphsqrcl3  20718  ipcau2  20761  plypf1  21692  dvply2g  21763  taylply2  21845  reefgim  21927  amgmlem  22395  amgm  22396  wilthlem2  22419  wilthlem3  22420  dchrelbas3  22589  dchrzrhmul  22597  dchrmulcl  22600  dchrn0  22601  dchrinvcl  22604  dchrsum2  22619  sum2dchr  22625  qabvexp  22887  ostthlem2  22889  padicabv  22891  ostth2lem2  22895  ostth3  22899  xrge0slmod  26324  iistmd  26344  xrge0iifmhm  26381  xrge0pluscn  26382  qqhrhm  26430  mzpmfpOLD  29096  cnsrexpcl  29534  cnsrplycl  29536  rngunsnply  29542
  Copyright terms: Public domain W3C validator