Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldexp Structured version   Unicode version

Theorem cnfldexp 18661
 Description: The exponentiation operator in the field of complex numbers (for nonnegative exponents). (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cnfldexp .gmulGrpfld

Proof of Theorem cnfldexp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6239 . . . . 5 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
2 oveq2 6240 . . . . 5
31, 2eqeq12d 2422 . . . 4 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
43imbi2d 314 . . 3 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
5 oveq1 6239 . . . . 5 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
6 oveq2 6240 . . . . 5
75, 6eqeq12d 2422 . . . 4 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
87imbi2d 314 . . 3 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
9 oveq1 6239 . . . . 5 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
10 oveq2 6240 . . . . 5
119, 10eqeq12d 2422 . . . 4 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
1211imbi2d 314 . . 3 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
13 oveq1 6239 . . . . 5 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
14 oveq2 6240 . . . . 5
1513, 14eqeq12d 2422 . . . 4 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
1615imbi2d 314 . . 3 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
17 eqid 2400 . . . . . 6 mulGrpfld mulGrpfld
18 cnfldbas 18634 . . . . . 6 fld
1917, 18mgpbas 17357 . . . . 5 mulGrpfld
20 cnfld1 18653 . . . . . 6 fld
2117, 20ringidval 17365 . . . . 5 mulGrpfld
22 eqid 2400 . . . . 5 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
2319, 21, 22mulg0 16361 . . . 4 .gmulGrpfld
24 exp0 12122 . . . 4
2523, 24eqtr4d 2444 . . 3 .gmulGrpfld
26 oveq1 6239 . . . . . 6 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
27 cnring 18650 . . . . . . . . . 10 fld
2817ringmgp 17414 . . . . . . . . . 10 fld mulGrpfld
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . . . 9 mulGrpfld
30 cnfldmul 18636 . . . . . . . . . . 11 fld
3117, 30mgpplusg 17355 . . . . . . . . . 10 mulGrpfld
3219, 22, 31mulgnn0p1 16367 . . . . . . . . 9 mulGrpfld .gmulGrpfld .gmulGrpfld
3329, 32mp3an1 1311 . . . . . . . 8 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
3433ancoms 451 . . . . . . 7 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
35 expp1 12125 . . . . . . 7
3634, 35eqeq12d 2422 . . . . . 6 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
3726, 36syl5ibr 221 . . . . 5 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
3837expcom 433 . . . 4 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
3938a2d 26 . . 3 .gmulGrpfld .gmulGrpfld
404, 8, 12, 16, 25, 39nn0ind 10916 . 2 .gmulGrpfld
4140impcom 428 1 .gmulGrpfld
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1403   wcel 1840  cfv 5523  (class class class)co 6232  cc 9438  cc0 9440  c1 9441   caddc 9443   cmul 9445  cn0 10754  cexp 12118  cmnd 16133  .gcmg 16270  mulGrpcmgp 17351  crg 17408  ℂfldccnfld 18630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-addf 9519  ax-mulf 9520 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-fz 11642  df-seq 12060  df-exp 12119  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-starv 14814  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-unif 14822  df-0g 14946  df-mgm 16086  df-sgrp 16125  df-mnd 16135  df-grp 16271  df-mulg 16274  df-cmn 17014  df-mgp 17352  df-ur 17364  df-ring 17410  df-cring 17411  df-cnfld 18631 This theorem is referenced by:  plypf1  22791  dchrfi  23801  dchrabs  23806  lgsqrlem1  23887  lgseisenlem4  23898  dchrisum0flblem1  23964  proot1ex  35489
 Copyright terms: Public domain W3C validator