MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldds Structured version   Unicode version

Theorem cnfldds 18409
Description: The metric of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldds  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )

Proof of Theorem cnfldds
StepHypRef Expression
1 absf 13152 . . . 4  |-  abs : CC
--> RR
2 subf 9827 . . . 4  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
3 fco 5731 . . . 4  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
41, 2, 3mp2an 672 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
5 cnex 9576 . . . 4  |-  CC  e.  _V
65, 5xpex 6589 . . 3  |-  ( CC 
X.  CC )  e. 
_V
7 reex 9586 . . 3  |-  RR  e.  _V
8 fex2 6740 . . 3  |-  ( ( ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR  /\  ( CC  X.  CC )  e. 
_V  /\  RR  e.  _V )  ->  ( abs 
o.  -  )  e.  _V )
94, 6, 7, 8mp3an 1325 . 2  |-  ( abs 
o.  -  )  e.  _V
10 cnfldstr 18401 . . 3  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.
11 dsid 14783 . . 3  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
12 snsstp3 4168 . . . 4  |-  { <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }
13 ssun1 3652 . . . . 5  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_  ( { <. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o.  -  )
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } )
14 ssun2 3653 . . . . . 6  |-  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } )  C_  (
( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
15 df-cnfld 18400 . . . . . 6  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
1614, 15sseqtr4i 3522 . . . . 5  |-  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } )  C_fld
1713, 16sstri 3498 . . . 4  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  (
MetOpen `  ( abs  o.  -  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_fld
1812, 17sstri 3498 . . 3  |-  { <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  C_fld
1910, 11, 18strfv 14648 . 2  |-  ( ( abs  o.  -  )  e.  _V  ->  ( abs  o. 
-  )  =  (
dist ` fld ) )
209, 19ax-mp 5 1  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095    u. cun 3459   {csn 4014   {ctp 4018   <.cop 4020    X. cxp 4987    o. ccom 4993   -->wf 5574   ` cfv 5578   CCcc 9493   RRcr 9494   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    <_ cle 9632    - cmin 9810   3c3 10593  ;cdc 10986   *ccj 12911   abscabs 13049   ndxcnx 14611   Basecbs 14614   +g cplusg 14679   .rcmulr 14680   *rcstv 14681  TopSetcts 14685   lecple 14686   distcds 14688   UnifSetcunif 14689   MetOpencmopn 18387  metUnifcmetu 18389  ℂfldccnfld 18399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-rp 11232  df-fz 11684  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-cnfld 18400
This theorem is referenced by:  reds  18630  cnfldms  21261  cnfldnm  21264  cnngp  21265  cncms  21773  cnfldcusp  21775  qqhcn  27950  qqhucn  27951  cnrrext  27969  cnpwstotbnd  30269  repwsmet  30306  rrnequiv  30307
  Copyright terms: Public domain W3C validator