MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnflddiv Structured version   Unicode version

Theorem cnflddiv 18212
Description: The division operation in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnflddiv  |-  /  =  (/r
` fld
)

Proof of Theorem cnflddiv
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnrng 18204 . . . . . . . 8  |-fld  e.  Ring
2 cnfldbas 18188 . . . . . . . . 9  |-  CC  =  ( Base ` fld )
3 cnfld0 18206 . . . . . . . . . 10  |-  0  =  ( 0g ` fld )
4 cndrng 18211 . . . . . . . . . 10  |-fld  e.  DivRing
52, 3, 4drngui 17178 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
\  { 0 } )  =  (Unit ` fld )
6 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  (/r ` fld )  =  (/r ` fld )
7 cnfldmul 18190 . . . . . . . . 9  |-  x.  =  ( .r ` fld )
82, 5, 6, 7dvrcan1 17117 . . . . . . . 8  |-  ( (fld  e. 
Ring  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  ->  (
( x (/r ` fld ) y )  x.  y )  =  x )
91, 8mp3an1 1306 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x (/r ` fld ) y )  x.  y )  =  x )
109oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
( x (/r ` fld ) y )  x.  y )  /  y
)  =  ( x  /  y ) )
112, 5, 6dvrcl 17112 . . . . . . . 8  |-  ( (fld  e. 
Ring  /\  x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC 
\  { 0 } ) )  ->  (
x (/r ` fld ) y )  e.  CC )
121, 11mp3an1 1306 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x
(/r ` fld ) y )  e.  CC )
13 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )
14 eldifsn 4145 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( CC  \  { 0 } )  <-> 
( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
1513, 14sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( y  e.  CC  /\  y  =/=  0 ) )
1615simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  e.  CC )
1715simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  y  =/=  0 )
1812, 16, 17divcan4d 10315 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( (
( x (/r ` fld ) y )  x.  y )  /  y
)  =  ( x (/r ` fld ) y ) )
1910, 18eqtr3d 2503 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  /  y )  =  ( x (/r ` fld ) y ) )
20 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  CC )
21 divval 10198 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  y  =/=  0 )  ->  (
x  /  y )  =  ( iota_ z  e.  CC  ( y  x.  z )  =  x ) )
2220, 16, 17, 21syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x  /  y )  =  ( iota_ z  e.  CC  ( y  x.  z
)  =  x ) )
2319, 22eqtr3d 2503 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x
(/r ` fld ) y )  =  ( iota_ z  e.  CC  ( y  x.  z
)  =  x ) )
24 eqid 2460 . . . . 5  |-  ( invr ` fld )  =  ( invr ` fld )
252, 7, 5, 24, 6dvrval 17111 . . . 4  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( x
(/r ` fld ) y )  =  ( x  x.  (
( invr ` fld ) `  y ) ) )
2623, 25eqtr3d 2503 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) )  ->  ( iota_ z  e.  CC  ( y  x.  z )  =  x )  =  ( x  x.  ( (
invr ` fld ) `  y ) ) )
2726mpt2eq3ia 6337 . 2  |-  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( iota_ z  e.  CC  ( y  x.  z
)  =  x ) )  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( x  x.  (
( invr ` fld ) `  y ) ) )
28 df-div 10196 . 2  |-  /  =  ( x  e.  CC ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } )  |->  ( iota_ z  e.  CC  ( y  x.  z )  =  x ) )
292, 7, 5, 24, 6dvrfval 17110 . 2  |-  (/r ` fld )  =  (
x  e.  CC , 
y  e.  ( CC 
\  { 0 } )  |->  ( x  x.  ( ( invr ` fld ) `  y ) ) )
3027, 28, 293eqtr4i 2499 1  |-  /  =  (/r
` fld
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655    \ cdif 3466   {csn 4020   ` cfv 5579   iota_crio 6235  (class class class)co 6275    |-> cmpt2 6277   CCcc 9479   0cc0 9481    x. cmul 9486    / cdiv 10195   Ringcrg 16979   invrcinvr 17097  /rcdvr 17108  ℂfldccnfld 18184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-cmn 16589  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-dvr 17109  df-drng 17174  df-cnfld 18185
This theorem is referenced by:  cnfldinv  18213  cnsubdrglem  18230  qsssubdrg  18238  redvr  18413  cvsdiv  21337  qrngdiv  23530
  Copyright terms: Public domain W3C validator