Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnflddiv Structured version   Unicode version

Theorem cnflddiv 18768
 Description: The division operation in the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnflddiv /rfld

Proof of Theorem cnflddiv
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnring 18760 . . . . . . . 8 fld
2 cnfldbas 18744 . . . . . . . . 9 fld
3 cnfld0 18762 . . . . . . . . . 10 fld
4 cndrng 18767 . . . . . . . . . 10 fld
52, 3, 4drngui 17722 . . . . . . . . 9 Unitfld
6 eqid 2402 . . . . . . . . 9 /rfld /rfld
7 cnfldmul 18746 . . . . . . . . 9 fld
82, 5, 6, 7dvrcan1 17660 . . . . . . . 8 fld /rfld
91, 8mp3an1 1313 . . . . . . 7 /rfld
109oveq1d 6293 . . . . . 6 /rfld
112, 5, 6dvrcl 17655 . . . . . . . 8 fld /rfld
121, 11mp3an1 1313 . . . . . . 7 /rfld
13 simpr 459 . . . . . . . . 9
14 eldifsn 4097 . . . . . . . . 9
1513, 14sylib 196 . . . . . . . 8
1615simpld 457 . . . . . . 7
1715simprd 461 . . . . . . 7
1812, 16, 17divcan4d 10367 . . . . . 6 /rfld /rfld
1910, 18eqtr3d 2445 . . . . 5 /rfld
20 simpl 455 . . . . . 6
21 divval 10250 . . . . . 6
2220, 16, 17, 21syl3anc 1230 . . . . 5
2319, 22eqtr3d 2445 . . . 4 /rfld
24 eqid 2402 . . . . 5 fld fld
252, 7, 5, 24, 6dvrval 17654 . . . 4 /rfld fld
2623, 25eqtr3d 2445 . . 3 fld
2726mpt2eq3ia 6343 . 2 fld
28 df-div 10248 . 2
292, 7, 5, 24, 6dvrfval 17653 . 2 /rfld fld
3027, 28, 293eqtr4i 2441 1 /rfld
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598   cdif 3411  csn 3972  cfv 5569  crio 6239  (class class class)co 6278   cmpt2 6280  cc 9520  cc0 9522   cmul 9527   cdiv 10247  crg 17518  cinvr 17640  /rcdvr 17651  ℂfldccnfld 18740 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-addf 9601  ax-mulf 9602 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-0g 15056  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-cmn 17124  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-unit 17611  df-invr 17641  df-dvr 17652  df-drng 17718  df-cnfld 18741 This theorem is referenced by:  cnfldinv  18769  cnsubdrglem  18789  qsssubdrg  18797  redvr  18951  cvsdiv  21901  qrngdiv  24190
 Copyright terms: Public domain W3C validator