MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldcusp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem cnfldcusp 22372
Description: The field of complex numbers is a complete uniform space. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldcusp  |-fld  e. CUnifSp

Proof of Theorem cnfldcusp
StepHypRef Expression
1 0cn 9660 . . 3  |-  0  e.  CC
21ne0ii 3749 . 2  |-  CC  =/=  (/)
3 cncms 22370 . 2  |-fld  e. CMetSp
4 eqid 2461 . . 3  |-  (UnifSt ` fld )  =  (UnifSt ` fld )
54cnflduss 22371 . 2  |-  (UnifSt ` fld )  =  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) )
6 cnfldbas 19022 . . 3  |-  CC  =  ( Base ` fld )
7 absf 13448 . . . . . 6  |-  abs : CC
--> RR
8 subf 9902 . . . . . 6  |-  -  :
( CC  X.  CC )
--> CC
9 fco 5761 . . . . . 6  |-  ( ( abs : CC --> RR  /\  -  : ( CC  X.  CC ) --> CC )  -> 
( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR )
107, 8, 9mp2an 683 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  ) :
( CC  X.  CC )
--> RR
11 ffn 5750 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  ) : ( CC  X.  CC ) --> RR  ->  ( abs  o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC ) )
12 fnresdm 5706 . . . . 5  |-  ( ( abs  o.  -  )  Fn  ( CC  X.  CC )  ->  ( ( abs 
o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( abs  o.  -  ) )
1310, 11, 12mp2b 10 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( abs  o.  -  )
14 cnfldds 19028 . . . . 5  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( dist ` fld )
1514reseq1i 5119 . . . 4  |-  ( ( abs  o.  -  )  |`  ( CC  X.  CC ) )  =  ( ( dist ` fld )  |`  ( CC 
X.  CC ) )
1613, 15eqtr3i 2485 . . 3  |-  ( abs 
o.  -  )  =  ( ( dist ` fld )  |`  ( CC 
X.  CC ) )
176, 16, 4cmetcusp1 22368 . 2  |-  ( ( CC  =/=  (/)  /\fld  e. CMetSp  /\  (UnifSt ` fld )  =  (metUnif `  ( abs  o.  -  ) ) )  ->fld  e. CUnifSp )
182, 3, 5, 17mp3an 1373 1  |-fld  e. CUnifSp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   (/)c0 3742    X. cxp 4850    |` cres 4854    o. ccom 4856    Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600   CCcc 9562   RRcr 9563   0cc0 9564    - cmin 9885   abscabs 13345   distcds 15247  metUnifcmetu 19009  ℂfldccnfld 19018  UnifStcuss 21316  CUnifSpccusp 21360  CMetSpccms 22348
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643  ax-mulf 9644
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-iin 4294  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-supp 6941  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-er 7388  df-map 7499  df-ixp 7548  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fsupp 7909  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-4 10697  df-5 10698  df-6 10699  df-7 10700  df-8 10701  df-9 10702  df-10 10703  df-n0 10898  df-z 10966  df-dec 11080  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-struct 15171  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-starv 15253  df-sca 15254  df-vsca 15255  df-ip 15256  df-tset 15257  df-ple 15258  df-ds 15260  df-unif 15261  df-hom 15262  df-cco 15263  df-rest 15369  df-topn 15370  df-0g 15388  df-gsum 15389  df-topgen 15390  df-pt 15391  df-prds 15394  df-xrs 15448  df-qtop 15454  df-imas 15455  df-xps 15458  df-mre 15540  df-mrc 15541  df-acs 15543  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-submnd 16631  df-mulg 16724  df-cntz 17019  df-cmn 17480  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-fbas 19015  df-fg 19016  df-metu 19017  df-cnfld 19019  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-topsp 19972  df-cld 20082  df-ntr 20083  df-cls 20084  df-nei 20162  df-cn 20291  df-cnp 20292  df-haus 20379  df-cmp 20450  df-tx 20625  df-hmeo 20818  df-fil 20909  df-flim 21002  df-fcls 21004  df-ust 21263  df-utop 21294  df-uss 21319  df-usp 21320  df-cfilu 21350  df-cusp 21361  df-xms 21383  df-ms 21384  df-tms 21385  df-cncf 21958  df-cfil 22273  df-cmet 22275  df-cms 22351
This theorem is referenced by:  cnrrext  28862
  Copyright terms: Public domain W3C validator