MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfldcj Structured version   Unicode version

Theorem cnfldcj 18625
Description: The conjugation operation of the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfldcj  |-  *  =  ( *r ` fld )

Proof of Theorem cnfldcj
StepHypRef Expression
1 cjf 13022 . . 3  |-  * : CC --> CC
2 cnex 9562 . . 3  |-  CC  e.  _V
3 fex2 6728 . . 3  |-  ( ( * : CC --> CC  /\  CC  e.  _V  /\  CC  e.  _V )  ->  *  e.  _V )
41, 2, 2, 3mp3an 1322 . 2  |-  *  e. 
_V
5 cnfldstr 18620 . . 3  |-fld Struct 
<. 1 , ; 1 3 >.
6 starvid 14843 . . 3  |-  *r  = Slot  ( *r `  ndx )
7 ssun2 3654 . . . 4  |-  { <. ( *r `  ndx ) ,  * >. } 
C_  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  { <. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )
8 ssun1 3653 . . . . 5  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  C_  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
9 df-cnfld 18619 . . . . 5  |-fld  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  u.  ( {
<. (TopSet `  ndx ) ,  ( MetOpen `  ( abs  o. 
-  ) ) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  <_  >. ,  <. (
dist `  ndx ) ,  ( abs  o.  -  ) >. }  u.  { <. ( UnifSet `  ndx ) ,  (metUnif `  ( abs  o. 
-  ) ) >. } ) )
108, 9sseqtr4i 3522 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  CC >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  +  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  x.  >. }  u.  {
<. ( *r `  ndx ) ,  * >. } )  C_fld
117, 10sstri 3498 . . 3  |-  { <. ( *r `  ndx ) ,  * >. } 
C_fld
125, 6, 11strfv 14755 . 2  |-  ( *  e.  _V  ->  *  =  ( *r ` fld ) )
134, 12ax-mp 5 1  |-  *  =  ( *r ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    u. cun 3459   {csn 4016   {ctp 4020   <.cop 4022    o. ccom 4992   -->wf 5566   ` cfv 5570   CCcc 9479   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    <_ cle 9618    - cmin 9796   3c3 10582  ;cdc 10976   *ccj 13014   abscabs 13152   ndxcnx 14716   Basecbs 14719   +g cplusg 14787   .rcmulr 14788   *rcstv 14789  TopSetcts 14793   lecple 14794   distcds 14796   UnifSetcunif 14797   MetOpencmopn 18606  metUnifcmetu 18608  ℂfldccnfld 18618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-cj 13017  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-cnfld 18619
This theorem is referenced by:  cnsrng  18650  refldcj  18832  clmcj  21745  cphcjcl  21799  ipcau2  21846
  Copyright terms: Public domain W3C validator