Theorem cnfldbas 18551

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	|- CC = ( Base ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 9590	. 2 |- CC e. _V
2		cnfldstr 18549	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
3		baseid 14692	. . 3 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
4		snsstp1 4183	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. }
5		ssun1 3663	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
6		ssun1 3663	. . . . . 6 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
7		df-cnfld 18548	. . . . . 6 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
8	6, 7	sseqtr4i 3532	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ℂfld
9	5, 8	sstri 3508	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ℂfld
10	4, 9	sstri 3508	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. } C_ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 14680	. 2 |- ( CC e. _V -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
12	1, 11	ax-mp 5	1 |- CC = ( Base ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 1819   _Vcvv 3109   u. cun 3469   {csn 4032   {ctp 4036   <.cop 4038   o. ccom 5012   ` cfv 5594   CCcc 9507   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   <_ cle 9646   - cmin 9824   3c3 10607  ;cdc 11000   *ccj 12941   abscabs 13079   ndxcnx 14641   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713   *rcstv 14714  TopSetcts 14718   lecple 14719   distcds 14721   UnifSetcunif 14722   MetOpencmopn 18535  metUnifcmetu 18537  ℂ_fldccnfld 18547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-cnfld 18548

This theorem is referenced by:  cncrng  18566  cnfld0  18569  cnfld1  18570  cnfldneg  18571  cnfldplusf  18572  cnfldsub  18573  cndrng  18574  cnflddiv  18575  cnfldinv  18576  cnfldmulg  18577  cnfldexp  18578  cnsrng  18579  cnsubmlem  18593  cnsubglem  18594  cnsubrglem  18595  cnsubdrglem  18596  absabv  18602  cnsubrg  18605  cnmgpabl  18606  cnmsubglem  18607  gzrngunit  18610  gsumfsum  18611  expmhm  18612  nn0srg  18613  rge0srg  18614  zringbas  18621  zring0  18625  zrngbas  18628  zrng0  18632  dvdsrz  18635  zlpirlem1  18641  zlpirlem3  18643  zringunit  18647  zrngunit  18648  expghm  18656  expghmOLD  18657  cnmsgnbas  18741  psgninv  18745  zrhpsgnmhm  18747  rebase  18769  re0g  18775  regsumsupp  18785  cnfldms  21409  cnfldnm  21412  cnfldtopn  21415  cnfldtopon  21416  clmsscn  21705  cphsubrglem  21750  cphreccllem  21751  cphdivcl  21755  cphabscl  21758  cphsqrtcl2  21759  cphsqrtcl3  21760  cphipcl  21764  cncms  21921  cnflduss  21922  cnfldcusp  21923  resscdrg  21924  ishl2  21936  recms  21938  tdeglem3  22583  tdeglem4  22584  tdeglem2  22585  plypf1  22735  dvply2g  22807  dvply2  22808  dvnply  22810  taylfvallem  22879  taylf  22882  tayl0  22883  taylpfval  22886  taylply2  22889  taylply  22890  efgh  23054  efabl  23063  efsubm  23064  jensenlem1  23442  jensenlem2  23443  jensen  23444  amgmlem  23445  amgm  23446  wilthlem2  23469  wilthlem3  23470  dchrelbas2  23638  dchrelbas3  23639  dchrn0  23651  dchrghm  23657  dchrabs  23661  sum2dchr  23675  lgseisenlem4  23753  qrngbas  23930  cchhllem  24317  efghgrpOLD  25502  regsumfsum  27933  xrge0slmod  27995  iistmd  28045  xrge0iifmhm  28082  xrge0pluscn  28083  zringnm  28101  zzsnmOLD  28103  cnzh  28112  rezh  28113  cnrrext  28152  esumpfinvallem  28246  cnpwstotbnd  30498  repwsmet  30535  rrnequiv  30536  mzpmfpOLD  30885  cnsrexpcl  31318  fsumcnsrcl  31319  cnsrplycl  31320  rngunsnply  31326  proot1ex  31365  deg1mhm  31371  binomcxplemdvbinom  31462  binomcxplemnotnn0  31465  cnfldsrngbas  32719  2zrng0  32888  aacllem  33360