Theorem cnfldbas 18188

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	|- CC = ( Base ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 9562	. 2 |- CC e. _V
2		cnfldstr 18186	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
3		baseid 14525	. . 3 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
4		snsstp1 4171	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. }
5		ssun1 3660	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
6		ssun1 3660	. . . . . 6 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
7		df-cnfld 18185	. . . . . 6 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
8	6, 7	sseqtr4i 3530	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ℂfld
9	5, 8	sstri 3506	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ℂfld
10	4, 9	sstri 3506	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. } C_ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 14513	. 2 |- ( CC e. _V -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
12	1, 11	ax-mp 5	1 |- CC = ( Base ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1374   e. wcel 1762   _Vcvv 3106   u. cun 3467   {csn 4020   {ctp 4024   <.cop 4026   o. ccom 4996   ` cfv 5579   CCcc 9479   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   <_ cle 9618   - cmin 9794   3c3 10575  ;cdc 10965   *ccj 12879   abscabs 13017   ndxcnx 14476   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   .rcmulr 14545   *rcstv 14546  TopSetcts 14550   lecple 14551   distcds 14553   UnifSetcunif 14554   MetOpencmopn 18172  metUnifcmetu 18174  ℂ_fldccnfld 18184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-cnfld 18185

This theorem is referenced by:  cncrng  18203  cnfld0  18206  cnfld1  18207  cnfldneg  18208  cnfldplusf  18209  cnfldsub  18210  cndrng  18211  cnflddiv  18212  cnfldinv  18213  cnfldmulg  18214  cnfldexp  18215  cnsrng  18216  cnsubmlem  18227  cnsubglem  18228  cnsubrglem  18229  cnsubdrglem  18230  absabv  18236  cnsubrg  18239  cnmgpabl  18240  cnmsubglem  18241  gzrngunit  18244  gsumfsum  18245  expmhm  18246  nn0srg  18247  rge0srg  18248  zringbas  18255  zring0  18259  zrngbas  18261  zrng0  18265  dvdsrz  18268  zlpirlem1  18274  zlpirlem3  18276  zringunit  18280  zrngunit  18281  expghm  18289  expghmOLD  18290  cnmsgnbas  18374  psgninv  18378  zrhpsgnmhm  18380  rebase  18402  re0g  18408  regsumsupp  18418  cnfldms  21011  cnfldnm  21014  cnfldtopn  21017  cnfldtopon  21018  clmsscn  21307  cphsubrglem  21352  cphreccllem  21353  cphdivcl  21357  cphabscl  21360  cphsqrcl2  21361  cphsqrcl3  21362  cphipcl  21366  cncms  21523  cnflduss  21524  cnfldcusp  21525  resscdrg  21526  ishl2  21538  recms  21540  tdeglem3  22185  tdeglem4  22186  tdeglem2  22187  plypf1  22337  dvply2g  22408  dvply2  22409  dvnply  22411  taylfvallem  22480  taylf  22483  tayl0  22484  taylpfval  22487  taylply2  22490  taylply  22491  jensenlem1  23037  jensenlem2  23038  jensen  23039  amgmlem  23040  amgm  23041  wilthlem2  23064  wilthlem3  23065  dchrelbas2  23233  dchrelbas3  23234  dchrn0  23246  dchrghm  23252  dchrabs  23256  sum2dchr  23270  lgseisenlem4  23348  qrngbas  23525  cchhllem  23859  regsumfsum  27285  xrge0slmod  27347  iistmd  27370  xrge0iifmhm  27407  xrge0pluscn  27408  zringnm  27426  zzsnmOLD  27428  cnzh  27437  rezh  27438  cnrrext  27477  esumpfinvallem  27570  cnpwstotbnd  29747  repwsmet  29784  rrnequiv  29785  mzpmfpOLD  30135  cnsrexpcl  30572  fsumcnsrcl  30573  cnsrplycl  30574  rngunsnply  30580  proot1ex  30619  deg1mhm  30625