Theorem cnfldbas 17802

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	|- CC = ( Base ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 9355	. 2 |- CC e. _V
2		cnfldstr 17800	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
3		baseid 14212	. . 3 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
4		snsstp1 4019	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. }
5		ssun1 3514	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
6		ssun1 3514	. . . . . 6 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
7		df-cnfld 17799	. . . . . 6 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
8	6, 7	sseqtr4i 3384	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ℂfld
9	5, 8	sstri 3360	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ℂfld
10	4, 9	sstri 3360	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. } C_ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 14200	. 2 |- ( CC e. _V -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
12	1, 11	ax-mp 5	1 |- CC = ( Base ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1369   e. wcel 1756   _Vcvv 2967   u. cun 3321   {csn 3872   {ctp 3876   <.cop 3878   o. ccom 4839   ` cfv 5413   CCcc 9272   1c1 9275   + caddc 9277   x. cmul 9279   <_ cle 9411   - cmin 9587   3c3 10364  ;cdc 10747   *ccj 12577   abscabs 12715   ndxcnx 14163   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   .rcmulr 14231   *rcstv 14232  TopSetcts 14236   lecple 14237   distcds 14239   UnifSetcunif 14240   MetOpencmopn 17786  metUnifcmetu 17788  ℂ_fldccnfld 17798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-cnfld 17799

This theorem is referenced by:  cncrng  17817  cnfld0  17820  cnfld1  17821  cnfldneg  17822  cnfldplusf  17823  cnfldsub  17824  cndrng  17825  cnflddiv  17826  cnfldinv  17827  cnfldmulg  17828  cnfldexp  17829  cnsrng  17830  cnsubmlem  17841  cnsubglem  17842  cnsubrglem  17843  cnsubdrglem  17844  absabv  17850  cnsubrg  17853  cnmgpabl  17854  cnmsubglem  17855  gzrngunit  17858  gsumfsum  17859  expmhm  17860  nn0srg  17861  rge0srg  17862  zringbas  17869  zring0  17873  zrngbas  17875  zrng0  17879  dvdsrz  17882  zlpirlem1  17888  zlpirlem3  17890  zringunit  17894  zrngunit  17895  expghm  17903  expghmOLD  17904  cnmsgnbas  17988  psgninv  17992  zrhpsgnmhm  17994  rebase  18016  re0g  18022  regsumsupp  18032  cnfldms  20335  cnfldnm  20338  cnfldtopn  20341  cnfldtopon  20342  clmsscn  20631  cphsubrglem  20676  cphreccllem  20677  cphdivcl  20681  cphabscl  20684  cphsqrcl2  20685  cphsqrcl3  20686  cphipcl  20690  cncms  20847  cnflduss  20848  cnfldcusp  20849  resscdrg  20850  ishl2  20862  recms  20864  tdeglem3  21508  tdeglem4  21509  tdeglem2  21510  plypf1  21660  dvply2g  21731  dvply2  21732  dvnply  21734  taylfvallem  21803  taylf  21806  tayl0  21807  taylpfval  21810  taylply2  21813  taylply  21814  jensenlem1  22360  jensenlem2  22361  jensen  22362  amgmlem  22363  amgm  22364  wilthlem2  22387  wilthlem3  22388  dchrelbas2  22556  dchrelbas3  22557  dchrn0  22569  dchrghm  22575  dchrabs  22579  sum2dchr  22593  lgseisenlem4  22671  qrngbas  22848  cchhllem  23101  regsumfsum  26218  xrge0slmod  26281  iistmd  26301  xrge0iifmhm  26338  xrge0pluscn  26339  zringnm  26357  zzsnmOLD  26359  cnzh  26368  rezh  26369  cnrrext  26408  esumpfinvallem  26492  cnpwstotbnd  28667  repwsmet  28704  rrnequiv  28705  mzpmfpOLD  29055  cnsrexpcl  29493  fsumcnsrcl  29494  cnsrplycl  29495  rngunsnply  29501  proot1ex  29540  deg1mhm  29546