Theorem cnfldbas 16662

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	|- CC = ( Base ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 9027	. 2 |- CC e. _V
2		cnfldstr 16660	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
3		baseid 13466	. . 3 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
4		snsstp1 3909	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. }
5		ssun1 3470	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( * r ` ndx ) , * >. } )
6		ssun1 3470	. . . . . 6 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( * r ` ndx ) , * >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( * r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
7		df-cnfld 16659	. . . . . 6 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( * r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
8	6, 7	sseqtr4i 3341	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( * r ` ndx ) , * >. } ) C_ ℂfld
9	5, 8	sstri 3317	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ℂfld
10	4, 9	sstri 3317	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. } C_ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 13456	. 2 |- ( CC e. _V -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
12	1, 11	ax-mp 8	1 |- CC = ( Base ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   u. cun 3278   {csn 3774   {ctp 3776   <.cop 3777   o. ccom 4841   ` cfv 5413   CCcc 8944   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   <_ cle 9077   - cmin 9247   3c3 10006  ;cdc 10338   *ccj 11856   abscabs 11994   ndxcnx 13421   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   * rcstv 13486  TopSetcts 13490   lecple 13491   distcds 13493   UnifSetcunif 13494   MetOpencmopn 16646  metUnifcmetu 16648  ℂ_fldccnfld 16658

This theorem is referenced by:  cncrng  16677  cnfld0  16680  cnfld1  16681  cnfldneg  16682  cnfldplusf  16683  cnfldsub  16684  cndrng  16685  cnflddiv  16686  cnfldinv  16687  cnfldmulg  16688  cnfldexp  16689  cnsrng  16690  cnsubmlem  16701  cnsubglem  16702  cnsubrglem  16703  cnsubdrglem  16704  absabv  16711  cnsubrg  16714  cnmgpabl  16715  cnmsubglem  16716  gzrngunit  16719  zrngunit  16720  gsumfsum  16721  dvdsrz  16722  zlpirlem1  16723  zlpirlem3  16725  expmhm  16731  expghm  16732  chrrhm  16767  domnchr  16768  cnfldms  18763  cnfldnm  18766  cnfldtopn  18769  cnfldtopon  18770  clmsscn  19057  cphsubrglem  19093  cphreccllem  19094  cphdivcl  19098  cphabscl  19101  cphsqrcl2  19102  cphsqrcl3  19103  cphipcl  19107  cncms  19262  cnflduss  19263  cnfldcusp  19264  resscdrg  19265  ishl2  19277  tdeglem3  19935  tdeglem4  19936  tdeglem2  19937  plypf1  20084  dvply2g  20155  dvply2  20156  dvnply  20158  taylfvallem  20227  taylf  20230  tayl0  20231  taylpfval  20234  taylply2  20237  taylply  20238  jensenlem1  20778  jensenlem2  20779  jensen  20780  amgmlem  20781  amgm  20782  wilthlem2  20805  wilthlem3  20806  dchrelbas2  20974  dchrelbas3  20975  dchrzrhmul  20983  dchrn0  20987  dchrghm  20993  dchrabs  20997  sum2dchr  21011  lgsdchr  21085  lgseisenlem4  21089  qrngbas  21266  zzsbase  24216  zzs0  24220  rebase  24222  re0g  24226  iistmd  24253  xrge0iifmhm  24278  xrge0pluscn  24279  zzsnm  24295  recms  24296  cnzh  24307  rezh  24308  esumpfinvallem  24417  sitgclcn  24611  cnpwstotbnd  26396  repwsmet  26433  rrnequiv  26434  mzpmfp  26694  cnsrexpcl  27238  fsumcnsrcl  27239  cnsrplycl  27240  rngunsnply  27246  cnmsgnbas  27303  proot1ex  27388  deg1mhm  27394

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-cnfld 16659