Theorem cnfldbas 17666

Description: The base set of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 17-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldbas	|- CC = ( Base ` ℂfld )

Proof of Theorem cnfldbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnex 9351	. 2 |- CC e. _V
2		cnfldstr 17664	. . 3 |- ℂfld Struct <. 1 , ; 1 3 >.
3		baseid 14203	. . 3 |- Base = Slot ( Base ` ndx )
4		snsstp1 4012	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. }
5		ssun1 3507	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } )
6		ssun1 3507	. . . . . 6 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
7		df-cnfld 17663	. . . . . 6 |- ℂfld = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) u. ( { <. (TopSet ` ndx ) , ( MetOpen ` ( abs o. - ) ) >. , <. ( le ` ndx ) , <_ >. , <. ( dist ` ndx ) , ( abs o. - ) >. } u. { <. ( UnifSet ` ndx ) , (metUnif ` ( abs o. - ) ) >. } ) )
8	6, 7	sseqtr4i 3377	. . . . 5 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } u. { <. ( *r ` ndx ) , * >. } ) C_ ℂfld
9	5, 8	sstri 3353	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. , <. ( +g ` ndx ) , + >. , <. ( .r ` ndx ) , x. >. } C_ ℂfld
10	4, 9	sstri 3353	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , CC >. } C_ ℂfld
11	2, 3, 10	strfv 14191	. 2 |- ( CC e. _V -> CC = ( Base ` ℂfld ) )
12	1, 11	ax-mp 5	1 |- CC = ( Base ` ℂfld )

Syntax hints:   = wceq 1362   e. wcel 1755   _Vcvv 2962   u. cun 3314   {csn 3865   {ctp 3869   <.cop 3871   o. ccom 4831   ` cfv 5406   CCcc 9268   1c1 9271   + caddc 9273   x. cmul 9275   <_ cle 9407   - cmin 9583   3c3 10360  ;cdc 10743   *ccj 12569   abscabs 12707   ndxcnx 14154   Basecbs 14157   +g cplusg 14221   .rcmulr 14222   *rcstv 14223  TopSetcts 14227   lecple 14228   distcds 14230   UnifSetcunif 14231   MetOpencmopn 17650  metUnifcmetu 17652  ℂ_fldccnfld 17662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-starv 14236  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-unif 14244  df-cnfld 17663

This theorem is referenced by:  cncrng  17681  cnfld0  17684  cnfld1  17685  cnfldneg  17686  cnfldplusf  17687  cnfldsub  17688  cndrng  17689  cnflddiv  17690  cnfldinv  17691  cnfldmulg  17692  cnfldexp  17693  cnsrng  17694  cnsubmlem  17705  cnsubglem  17706  cnsubrglem  17707  cnsubdrglem  17708  absabv  17714  cnsubrg  17717  cnmgpabl  17718  cnmsubglem  17719  gzrngunit  17722  gsumfsum  17723  expmhm  17724  zringbas  17731  zring0  17735  zrngbas  17737  zrng0  17741  dvdsrz  17744  zlpirlem1  17750  zlpirlem3  17752  zringunit  17756  zrngunit  17757  expghm  17765  expghmOLD  17766  cnmsgnbas  17850  psgninv  17854  zrhpsgnmhm  17856  rebase  17878  re0g  17884  regsumsupp  17894  cnfldms  20197  cnfldnm  20200  cnfldtopn  20203  cnfldtopon  20204  clmsscn  20493  cphsubrglem  20538  cphreccllem  20539  cphdivcl  20543  cphabscl  20546  cphsqrcl2  20547  cphsqrcl3  20548  cphipcl  20552  cncms  20709  cnflduss  20710  cnfldcusp  20711  resscdrg  20712  ishl2  20724  recms  20726  tdeglem3  21413  tdeglem4  21414  tdeglem2  21415  plypf1  21565  dvply2g  21636  dvply2  21637  dvnply  21639  taylfvallem  21708  taylf  21711  tayl0  21712  taylpfval  21715  taylply2  21718  taylply  21719  jensenlem1  22265  jensenlem2  22266  jensen  22267  amgmlem  22268  amgm  22269  wilthlem2  22292  wilthlem3  22293  dchrelbas2  22461  dchrelbas3  22462  dchrn0  22474  dchrghm  22480  dchrabs  22484  sum2dchr  22498  lgseisenlem4  22576  qrngbas  22753  cchhllem  22956  nn0srg  26063  rge0srg  26064  regsumfsum  26103  xrge0slmod  26166  iistmd  26186  xrge0iifmhm  26223  xrge0pluscn  26224  zringnm  26242  zzsnmOLD  26244  cnzh  26253  rezh  26254  cnrrext  26293  esumpfinvallem  26377  cnpwstotbnd  28540  repwsmet  28577  rrnequiv  28578  mzpmfpOLD  28929  cnsrexpcl  29367  fsumcnsrcl  29368  cnsrplycl  29369  rngunsnply  29375  proot1ex  29414  deg1mhm  29420