MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld1 Structured version   Unicode version

Theorem cnfld1 17846
Description: The unit element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld1  |-  1  =  ( 1r ` fld )

Proof of Theorem cnfld1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9345 . . . 4  |-  1  e.  CC
2 mulid2 9389 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  x )  =  x )
3 mulid1 9388 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
42, 3jca 532 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 1  x.  x
)  =  x  /\  ( x  x.  1
)  =  x ) )
54rgen 2786 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  ( ( 1  x.  x )  =  x  /\  ( x  x.  1 )  =  x )
61, 5pm3.2i 455 . . 3  |-  ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  CC  (
( 1  x.  x
)  =  x  /\  ( x  x.  1
)  =  x ) )
7 cnrng 17843 . . . 4  |-fld  e.  Ring
8 cnfldbas 17827 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
9 cnfldmul 17829 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` fld )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1r
` fld
)  =  ( 1r
` fld
)
118, 9, 10isrngid 16675 . . . 4  |-  (fld  e.  Ring  -> 
( ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  CC  ( ( 1  x.  x )  =  x  /\  ( x  x.  1 )  =  x ) )  <->  ( 1r ` fld )  =  1 ) )
127, 11ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  CC  (
( 1  x.  x
)  =  x  /\  ( x  x.  1
)  =  x ) )  <->  ( 1r ` fld )  =  1 )
136, 12mpbi 208 . 2  |-  ( 1r
` fld
)  =  1
1413eqcomi 2447 1  |-  1  =  ( 1r ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   CCcc 9285   1c1 9288    x. cmul 9292   1rcur 16608   Ringcrg 16650  ℂfldccnfld 17823
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-grp 15550  df-cmn 16284  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-cnfld 17824
This theorem is referenced by:  cndrng  17850  cnfldinv  17852  cnfldexp  17854  cnsubrglem  17868  cnsubdrglem  17869  zsssubrg  17876  gzrngunitlem  17882  expmhm  17885  nn0srg  17886  rge0srg  17887  zring1  17899  zrng1  17905  prmirredlemOLD  17925  mulgrhmOLD  17934  mulgrhm2OLD  17935  re1r  18048  clm1  20650  cphsubrglem  20701  taylply2  21838  amgmlem  22388  amgm  22389  wilthlem2  22412  wilthlem3  22413  dchrelbas3  22582  dchrzrh1  22588  dchrmulcl  22593  dchrn0  22594  dchrinvcl  22597  dchrfi  22599  dchrabs  22604  sumdchr2  22614  rpvmasum2  22766  qrng1  22876  xrge0slmod  26317  iistmd  26337  xrge0iifmhm  26374  cnsrexpcl  29527  rngunsnply  29535  proot1ex  29574
  Copyright terms: Public domain W3C validator