MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld1 Structured version   Unicode version

Theorem cnfld1 18422
Description: The unit element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld1  |-  1  =  ( 1r ` fld )

Proof of Theorem cnfld1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 9553 . . . 4  |-  1  e.  CC
2 mulid2 9597 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
1  x.  x )  =  x )
3 mulid1 9596 . . . . . 6  |-  ( x  e.  CC  ->  (
x  x.  1 )  =  x )
42, 3jca 532 . . . . 5  |-  ( x  e.  CC  ->  (
( 1  x.  x
)  =  x  /\  ( x  x.  1
)  =  x ) )
54rgen 2803 . . . 4  |-  A. x  e.  CC  ( ( 1  x.  x )  =  x  /\  ( x  x.  1 )  =  x )
61, 5pm3.2i 455 . . 3  |-  ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  CC  (
( 1  x.  x
)  =  x  /\  ( x  x.  1
)  =  x ) )
7 cnring 18419 . . . 4  |-fld  e.  Ring
8 cnfldbas 18403 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
9 cnfldmul 18405 . . . . 5  |-  x.  =  ( .r ` fld )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1r
` fld
)  =  ( 1r
` fld
)
118, 9, 10isringid 17203 . . . 4  |-  (fld  e.  Ring  -> 
( ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  CC  ( ( 1  x.  x )  =  x  /\  ( x  x.  1 )  =  x ) )  <->  ( 1r ` fld )  =  1 ) )
127, 11ax-mp 5 . . 3  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A. x  e.  CC  (
( 1  x.  x
)  =  x  /\  ( x  x.  1
)  =  x ) )  <->  ( 1r ` fld )  =  1 )
136, 12mpbi 208 . 2  |-  ( 1r
` fld
)  =  1
1413eqcomi 2456 1  |-  1  =  ( 1r ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   1c1 9496    x. cmul 9500   1rcur 17132   Ringcrg 17177  ℂfldccnfld 18399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-0g 14821  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-cmn 16779  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-cnfld 18400
This theorem is referenced by:  cndrng  18426  cnfldinv  18428  cnfldexp  18430  cnsubrglem  18447  cnsubdrglem  18448  zsssubrg  18455  gzrngunitlem  18461  expmhm  18464  nn0srg  18465  rge0srg  18466  zring1  18478  zrng1  18484  prmirredlemOLD  18504  mulgrhmOLD  18513  mulgrhm2OLD  18514  re1r  18627  clm1  21551  cphsubrglem  21602  taylply2  22741  efsubm  22916  amgmlem  23297  amgm  23298  wilthlem2  23321  wilthlem3  23322  dchrelbas3  23491  dchrzrh1  23497  dchrmulcl  23502  dchrn0  23503  dchrinvcl  23506  dchrfi  23508  dchrabs  23513  sumdchr2  23523  rpvmasum2  23675  qrng1  23785  xrge0slmod  27812  iistmd  27862  xrge0iifmhm  27899  cnsrexpcl  31090  rngunsnply  31098  proot1ex  31137
  Copyright terms: Public domain W3C validator