MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld0 Structured version   Unicode version

Theorem cnfld0 17809
Description: The zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld0  |-  0  =  ( 0g ` fld )

Proof of Theorem cnfld0
StepHypRef Expression
1 00id 9536 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 cnrng 17807 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
3 rnggrp 16636 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-fld  e.  Grp
5 0cn 9370 . . . 4  |-  0  e.  CC
6 cnfldbas 17791 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
7 cnfldadd 17792 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
8 eqid 2437 . . . . 5  |-  ( 0g
` fld
)  =  ( 0g
` fld
)
96, 7, 8grpid 15562 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Grp  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 ) )
104, 5, 9mp2an 672 . . 3  |-  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 )
111, 10mpbi 208 . 2  |-  ( 0g
` fld
)  =  0
1211eqcomi 2441 1  |-  0  =  ( 0g ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   CCcc 9272   0cc0 9274    + caddc 9277   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402   Ringcrg 16631  ℂfldccnfld 17787
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15534  df-cmn 16268  df-mgp 16578  df-rng 16633  df-cring 16634  df-cnfld 17788
This theorem is referenced by:  cnfldneg  17811  cndrng  17814  cnflddiv  17815  cnfldinv  17816  cnfldmulg  17817  cnsubmlem  17830  cnsubdrglem  17833  absabv  17839  qsssubdrg  17841  cnmgpabl  17843  cnmsubglem  17844  gzrngunitlem  17846  gzrngunit  17847  gsumfsum  17848  expmhm  17849  nn0srg  17850  rge0srg  17851  zring0  17862  zrng0  17868  zlpirlem1  17877  zlpir  17880  zringunit  17883  zrngunit  17884  prmirredOLD  17891  expghm  17892  expghmOLD  17893  psgninv  17981  zrhpsgnmhm  17983  re0g  18011  regsumsupp  18021  cnfldnm  20327  clm0  20613  cphsubrglem  20665  cphreccllem  20666  tdeglem1  21496  tdeglem3  21497  tdeglem4  21498  plypf1  21649  dvply2g  21720  tayl0  21796  taylpfval  21799  jensenlem2  22350  jensen  22351  amgmlem  22352  amgm  22353  dchrghm  22564  dchrabs  22568  sum2dchr  22582  lgseisenlem4  22660  qrng0  22839  xrge0slmod  26260  zringnm  26336  zzsnmOLD  26338  rezh  26348  fsumcnsrcl  29466  cnsrplycl  29467  rngunsnply  29473  proot1ex  29512  deg1mhm  29518
  Copyright terms: Public domain W3C validator