MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld0 Structured version   Unicode version

Theorem cnfld0 18568
Description: The zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld0  |-  0  =  ( 0g ` fld )

Proof of Theorem cnfld0
StepHypRef Expression
1 00id 9772 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 cnring 18566 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
3 ringgrp 17329 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-fld  e.  Grp
5 0cn 9605 . . . 4  |-  0  e.  CC
6 cnfldbas 18550 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
7 cnfldadd 18551 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
8 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 0g
` fld
)  =  ( 0g
` fld
)
96, 7, 8grpid 16211 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Grp  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 ) )
104, 5, 9mp2an 672 . . 3  |-  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 )
111, 10mpbi 208 . 2  |-  ( 0g
` fld
)  =  0
1211eqcomi 2470 1  |-  0  =  ( 0g ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   0cc0 9509    + caddc 9512   0gc0g 14856   Grpcgrp 16179   Ringcrg 17324  ℂfldccnfld 18546
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-cmn 16926  df-mgp 17268  df-ring 17326  df-cring 17327  df-cnfld 18547
This theorem is referenced by:  cnfldneg  18570  cndrng  18573  cnflddiv  18574  cnfldinv  18575  cnfldmulg  18576  cnsubmlem  18592  cnsubdrglem  18595  absabv  18601  qsssubdrg  18603  cnmgpabl  18605  cnmsubglem  18606  gzrngunitlem  18608  gzrngunit  18609  gsumfsum  18610  expmhm  18611  nn0srg  18612  rge0srg  18613  zring0  18624  zrng0  18631  zlpirlem1  18640  zlpir  18643  zringunit  18646  zrngunit  18647  prmirredOLD  18654  expghm  18655  expghmOLD  18656  psgninv  18744  zrhpsgnmhm  18746  re0g  18774  regsumsupp  18784  cnfldnm  21411  clm0  21697  cphsubrglem  21749  cphreccllem  21750  tdeglem1  22581  tdeglem3  22582  tdeglem4  22583  plypf1  22734  dvply2g  22806  tayl0  22882  taylpfval  22885  efsubm  23063  jensenlem2  23442  jensen  23443  amgmlem  23444  amgm  23445  dchrghm  23656  dchrabs  23660  sum2dchr  23674  lgseisenlem4  23752  qrng0  23931  xrge0slmod  27987  zringnm  28093  zzsnmOLD  28095  rezh  28105  fsumcnsrcl  31277  cnsrplycl  31278  rngunsnply  31284  proot1ex  31323  deg1mhm  31329  2zrng0  32846
  Copyright terms: Public domain W3C validator