MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld0 Structured version   Unicode version

Theorem cnfld0 18253
Description: The zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld0  |-  0  =  ( 0g ` fld )

Proof of Theorem cnfld0
StepHypRef Expression
1 00id 9755 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 cnrng 18251 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
3 rnggrp 17017 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-fld  e.  Grp
5 0cn 9589 . . . 4  |-  0  e.  CC
6 cnfldbas 18235 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
7 cnfldadd 18236 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
8 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
` fld
)  =  ( 0g
` fld
)
96, 7, 8grpid 15899 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Grp  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 ) )
104, 5, 9mp2an 672 . . 3  |-  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 )
111, 10mpbi 208 . 2  |-  ( 0g
` fld
)  =  0
1211eqcomi 2480 1  |-  0  =  ( 0g ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   CCcc 9491   0cc0 9493    + caddc 9496   0gc0g 14698   Grpcgrp 15730   Ringcrg 17012  ℂfldccnfld 18231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-cmn 16615  df-mgp 16956  df-rng 17014  df-cring 17015  df-cnfld 18232
This theorem is referenced by:  cnfldneg  18255  cndrng  18258  cnflddiv  18259  cnfldinv  18260  cnfldmulg  18261  cnsubmlem  18274  cnsubdrglem  18277  absabv  18283  qsssubdrg  18285  cnmgpabl  18287  cnmsubglem  18288  gzrngunitlem  18290  gzrngunit  18291  gsumfsum  18292  expmhm  18293  nn0srg  18294  rge0srg  18295  zring0  18306  zrng0  18312  zlpirlem1  18321  zlpir  18324  zringunit  18327  zrngunit  18328  prmirredOLD  18335  expghm  18336  expghmOLD  18337  psgninv  18425  zrhpsgnmhm  18427  re0g  18455  regsumsupp  18465  cnfldnm  21113  clm0  21399  cphsubrglem  21451  cphreccllem  21452  tdeglem1  22283  tdeglem3  22284  tdeglem4  22285  plypf1  22436  dvply2g  22507  tayl0  22583  taylpfval  22586  efsubm  22763  jensenlem2  23142  jensen  23143  amgmlem  23144  amgm  23145  dchrghm  23356  dchrabs  23360  sum2dchr  23374  lgseisenlem4  23452  qrng0  23631  xrge0slmod  27594  zringnm  27691  zzsnmOLD  27693  rezh  27703  fsumcnsrcl  30947  cnsrplycl  30948  rngunsnply  30954  proot1ex  30993  deg1mhm  30999
  Copyright terms: Public domain W3C validator