MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfld0 Structured version   Unicode version

Theorem cnfld0 17862
Description: The zero element of the field of complex numbers. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
cnfld0  |-  0  =  ( 0g ` fld )

Proof of Theorem cnfld0
StepHypRef Expression
1 00id 9565 . . 3  |-  ( 0  +  0 )  =  0
2 cnrng 17860 . . . . 5  |-fld  e.  Ring
3 rnggrp 16672 . . . . 5  |-  (fld  e.  Ring  ->fld  e.  Grp )
42, 3ax-mp 5 . . . 4  |-fld  e.  Grp
5 0cn 9399 . . . 4  |-  0  e.  CC
6 cnfldbas 17844 . . . . 5  |-  CC  =  ( Base ` fld )
7 cnfldadd 17845 . . . . 5  |-  +  =  ( +g  ` fld )
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
` fld
)  =  ( 0g
` fld
)
96, 7, 8grpid 15594 . . . 4  |-  ( (fld  e. 
Grp  /\  0  e.  CC )  ->  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 ) )
104, 5, 9mp2an 672 . . 3  |-  ( ( 0  +  0 )  =  0  <->  ( 0g ` fld )  =  0 )
111, 10mpbi 208 . 2  |-  ( 0g
` fld
)  =  0
1211eqcomi 2447 1  |-  0  =  ( 0g ` fld )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   CCcc 9301   0cc0 9303    + caddc 9306   0gc0g 14399   Grpcgrp 15431   Ringcrg 16667  ℂfldccnfld 17840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-addf 9382  ax-mulf 9383
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-10 10409  df-n0 10601  df-z 10668  df-dec 10777  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-plusg 14272  df-mulr 14273  df-starv 14274  df-tset 14278  df-ple 14279  df-ds 14281  df-unif 14282  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-grp 15566  df-cmn 16300  df-mgp 16614  df-rng 16669  df-cring 16670  df-cnfld 17841
This theorem is referenced by:  cnfldneg  17864  cndrng  17867  cnflddiv  17868  cnfldinv  17869  cnfldmulg  17870  cnsubmlem  17883  cnsubdrglem  17886  absabv  17892  qsssubdrg  17894  cnmgpabl  17896  cnmsubglem  17897  gzrngunitlem  17899  gzrngunit  17900  gsumfsum  17901  expmhm  17902  nn0srg  17903  rge0srg  17904  zring0  17915  zrng0  17921  zlpirlem1  17930  zlpir  17933  zringunit  17936  zrngunit  17937  prmirredOLD  17944  expghm  17945  expghmOLD  17946  psgninv  18034  zrhpsgnmhm  18036  re0g  18064  regsumsupp  18074  cnfldnm  20380  clm0  20666  cphsubrglem  20718  cphreccllem  20719  tdeglem1  21549  tdeglem3  21550  tdeglem4  21551  plypf1  21702  dvply2g  21773  tayl0  21849  taylpfval  21852  jensenlem2  22403  jensen  22404  amgmlem  22405  amgm  22406  dchrghm  22617  dchrabs  22621  sum2dchr  22635  lgseisenlem4  22713  qrng0  22892  xrge0slmod  26334  zringnm  26410  zzsnmOLD  26412  rezh  26422  fsumcnsrcl  29549  cnsrplycl  29550  rngunsnply  29556  proot1ex  29595  deg1mhm  29601
  Copyright terms: Public domain W3C validator