Theorem cnfillim 15590

Description: A function is continuous iff it respects filter limits. (Contributed by Jeff Hankins, 6-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfillim.1	|- X = U.J
cnfillim.2	|- Y = U.K
cnfillim.3	|- L = (filGen` ({y | E.z e. f y = (F"z)} u. {Y}))

Assertion

Ref	Expression
cnfillim	|- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) <-> A.f e. Fil (X = U.f -> A.x e. X (x e. ((fLim1` J)` f) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L)))))

Distinct variable groups:   x,f,y,z,F   f,J,x,y,z   f,K,x,z   f,X,x,z   f,Y,x,z

Proof of Theorem cnfillim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfillim.1	. . 3 |- X = U.J
2		cnfillim.2	. . 3 |- Y = U.K
3	1, 2	cncnp 9055	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) <-> A.x e. X F e. ((J CnP K)` x)))
4		cnfillim.3	. . . 4 |- L = (filGen` ({y | E.z e. f y = (F"z)} u. {Y}))
5	1, 2, 4	cnpfillim 15589	. . 3 |- (((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) /\ x e. X) -> (F e. ((J CnP K)` x) <-> A.f e. Fil ((X = U.f /\ x e. ((fLim1` J)` f)) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L))))
6	5	ralbidva 2119	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.x e. X F e. ((J CnP K)` x) <-> A.x e. X A.f e. Fil ((X = U.f /\ x e. ((fLim1` J)` f)) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L))))
7		ralcom 2242	. . . 4 |- (A.x e. X A.f e. Fil ((X = U.f /\ x e. ((fLim1` J)` f)) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L)) <-> A.f e. Fil A.x e. X ((X = U.f /\ x e. ((fLim1` J)` f)) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L)))
8		impexp 374	. . . . 5 |- (((X = U.f /\ x e. ((fLim1` J)` f)) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L)) <-> (X = U.f -> (x e. ((fLim1` J)` f) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L))))
9	8	2ralbii 2129	. . . 4 |- (A.f e. Fil A.x e. X ((X = U.f /\ x e. ((fLim1` J)` f)) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L)) <-> A.f e. Fil A.x e. X (X = U.f -> (x e. ((fLim1` J)` f) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L))))
10		r19.21v 2178	. . . . 5 |- (A.x e. X (X = U.f -> (x e. ((fLim1` J)` f) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L))) <-> (X = U.f -> A.x e. X (x e. ((fLim1` J)` f) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L))))
11	10	ralbii 2127	. . . 4 |- (A.f e. Fil A.x e. X (X = U.f -> (x e. ((fLim1` J)` f) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L))) <-> A.f e. Fil (X = U.f -> A.x e. X (x e. ((fLim1` J)` f) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L))))
12	7, 9, 11	3bitri 194	. . 3 |- (A.x e. X A.f e. Fil ((X = U.f /\ x e. ((fLim1` J)` f)) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L)) <-> A.f e. Fil (X = U.f -> A.x e. X (x e. ((fLim1` J)` f) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L))))
13	12	a1i 8	. 2 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (A.x e. X A.f e. Fil ((X = U.f /\ x e. ((fLim1` J)` f)) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L)) <-> A.f e. Fil (X = U.f -> A.x e. X (x e. ((fLim1` J)` f) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L)))))
14	3, 6, 13	3bitrd 603	1 |- ((J e. Top /\ K e. Top /\ F:X-->Y) -> (F e. (J Cn K) <-> A.f e. Fil (X = U.f -> A.x e. X (x e. ((fLim1` J)` f) -> (F` x) e. ((fLim1` K)` L)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  A.wral 2105  E.wrex 2106   u. cun 2591  {csn 3044  U.cuni 3177  "cima 3989  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Topctop 8857   Cn ccn 9028   CnP ccnp 9029  filGencfg 10258  Filcfil 10264  fLim1cflim1 10294

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-map 5383  df-top 8861  df-nei 8989  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-fbas 10259  df-fg 10260  df-fil 10265  df-flim1 10295

Copyright terms: Public domain