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Theorem cnfex 31646
Description: The class of continuous functions between two topologies is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfex  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )

Proof of Theorem cnfex
Dummy variables  y 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
21jctr 540 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Top  /\  U. J  =  U. J ) )
3 istopon 19596 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  <->  ( J  e.  Top  /\  U. J  =  U. J ) )
42, 3sylibr 212 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 eqid 2454 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
65jctr 540 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  ->  ( K  e.  Top  /\  U. K  =  U. K ) )
7 istopon 19596 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  <->  ( K  e.  Top  /\  U. K  =  U. K ) )
86, 7sylibr 212 . . 3  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
9 cnfval 19904 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( J  Cn  K )  =  {
f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f
" y )  e.  J } )
104, 8, 9syl2an 475 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  =  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }
)
11 uniexg 6570 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
12 uniexg 6570 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
13 mapvalg 7422 . . . . 5  |-  ( ( U. K  e.  _V  /\ 
U. J  e.  _V )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  =  { f  |  f : U. J --> U. K } )
1411, 12, 13syl2anr 476 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  =  {
f  |  f : U. J --> U. K } )
15 mapex 7418 . . . . 5  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\ 
U. K  e.  _V )  ->  { f  |  f : U. J --> U. K }  e.  _V )
1612, 11, 15syl2an 475 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  { f  |  f : U. J --> U. K }  e.  _V )
1714, 16eqeltrd 2542 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  e.  _V )
18 rabexg 4587 . . 3  |-  ( ( U. K  ^m  U. J )  e.  _V  ->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }  e.  _V )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }  e.  _V )
2010, 19eqeltrd 2542 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cab 2439   A.wral 2804   {crab 2808   _Vcvv 3106   U.cuni 4235   `'ccnv 4987   "cima 4991   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   Topctop 19564  TopOnctopon 19565    Cn ccn 19895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-map 7414  df-topon 19572  df-cn 19898
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  32077  stoweidlem57  32081  stoweidlem59  32083
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