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Theorem cnfex 29893
Description: The class of continuous functions between two topologies is a set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Assertion
Ref Expression
cnfex  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )

Proof of Theorem cnfex
Dummy variables  y 
f are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2452 . . . . 5  |-  U. J  =  U. J
21jctr 542 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e.  Top  /\  U. J  =  U. J ) )
3 istopon 18657 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  <->  ( J  e.  Top  /\  U. J  =  U. J ) )
42, 3sylibr 212 . . 3  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
5 eqid 2452 . . . . 5  |-  U. K  =  U. K
65jctr 542 . . . 4  |-  ( K  e.  Top  ->  ( K  e.  Top  /\  U. K  =  U. K ) )
7 istopon 18657 . . . 4  |-  ( K  e.  (TopOn `  U. K )  <->  ( K  e.  Top  /\  U. K  =  U. K ) )
86, 7sylibr 212 . . 3  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
9 cnfval 18964 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  K  e.  (TopOn `  U. K ) )  ->  ( J  Cn  K )  =  {
f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f
" y )  e.  J } )
104, 8, 9syl2an 477 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  =  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  | 
A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }
)
11 uniexg 6482 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  U. K  e.  _V )
12 uniexg 6482 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  U. J  e.  _V )
13 mapvalg 7329 . . . . 5  |-  ( ( U. K  e.  _V  /\ 
U. J  e.  _V )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  =  { f  |  f : U. J --> U. K } )
1411, 12, 13syl2anr 478 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  =  {
f  |  f : U. J --> U. K } )
15 mapex 7325 . . . . 5  |-  ( ( U. J  e.  _V  /\ 
U. K  e.  _V )  ->  { f  |  f : U. J --> U. K }  e.  _V )
1612, 11, 15syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  { f  |  f : U. J --> U. K }  e.  _V )
1714, 16eqeltrd 2540 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( U. K  ^m  U. J )  e.  _V )
18 rabexg 4545 . . 3  |-  ( ( U. K  ^m  U. J )  e.  _V  ->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }  e.  _V )
1917, 18syl 16 . 2  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  { f  e.  ( U. K  ^m  U. J )  |  A. y  e.  K  ( `' f " y
)  e.  J }  e.  _V )
2010, 19eqeltrd 2540 1  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  Cn  K
)  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2437   A.wral 2796   {crab 2800   _Vcvv 3072   U.cuni 4194   `'ccnv 4942   "cima 4946   -->wf 5517   ` cfv 5521  (class class class)co 6195    ^m cmap 7319   Topctop 18625  TopOnctopon 18626    Cn ccn 18955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4739  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-map 7321  df-topon 18633  df-cn 18958
This theorem is referenced by:  stoweidlem53  29991  stoweidlem57  29995  stoweidlem59  29997
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