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Theorem cnfcomlemOLD 8054
Description: Lemma for cnfcomOLD 8055. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of cnfcomlem 8046 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcomOLD.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcomOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcomOLD.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcomOLD.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcomOLD.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcomOLD.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcomOLD.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcomOLD.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcomOLD.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcomOLD.1  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  G
)
cnfcomOLD.2  |-  ( ph  ->  O  e.  ( om 
^o  ( G `  I ) ) )
cnfcomOLD.3  |-  ( ph  ->  ( T `  I
) : ( H `
 I ) -1-1-onto-> O )
Assertion
Ref Expression
cnfcomlemOLD  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    k, I, x, z    x, M    f,
k, x, z, F   
z, T    f, G, k, x, z    f, H, x    S, k, z
Allowed substitution hints:    ph( x, z, f, k)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    I( f)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    O( x, z, f, k)

Proof of Theorem cnfcomlemOLD
Dummy variables  u  v  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omelon 7966 . . . . . . 7  |-  om  e.  On
2 cnfcomOLD.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnvimass 5300 . . . . . . . . . 10  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
4 cnfcomOLD.f . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcomOLD.s . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
61a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
75, 6, 2cantnff1o 8040 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
8 f1ocnv 5764 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
9 f1of 5752 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
107, 8, 93syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
11 cnfcomOLD.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1210, 11ffvelrnd 5956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
134, 12syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
145, 6, 2cantnfsOLD 8018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
1513, 14mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1615simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
17 fdm 5674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
193, 18syl5sseq 3515 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
20 cnfcomOLD.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  I  e.  dom  G
)
21 cnfcomOLD.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2221oif 7858 . . . . . . . . . . 11  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
2322ffvelrni 5954 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  dom  G  -> 
( G `  I
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2420, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G `  I
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2519, 24sseldd 3468 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( G `  I
)  e.  A )
26 onelon 4855 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  I )  e.  A )  -> 
( G `  I
)  e.  On )
272, 25, 26syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( G `  I
)  e.  On )
28 oecl 7090 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  ( G `  I )  e.  On )  -> 
( om  ^o  ( G `  I )
)  e.  On )
291, 27, 28sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( G `  I )
)  e.  On )
3016, 25ffvelrnd 5956 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  I )
)  e.  om )
31 nnon 6595 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( G `
 I ) )  e.  om  ->  ( F `  ( G `  I ) )  e.  On )
3230, 31syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  I )
)  e.  On )
33 omcl 7089 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 I ) )  e.  On )  -> 
( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  e.  On )
3429, 32, 33syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  e.  On )
355, 6, 2, 21, 13cantnfclOLD 8019 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
3635simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  e.  om )
37 elnn 6599 . . . . . . 7  |-  ( ( I  e.  dom  G  /\  dom  G  e.  om )  ->  I  e.  om )
3820, 36, 37syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  om )
39 cnfcomOLD.h . . . . . . . 8  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
4039cantnfvalf 7987 . . . . . . 7  |-  H : om
--> On
4140ffvelrni 5954 . . . . . 6  |-  ( I  e.  om  ->  ( H `  I )  e.  On )
4238, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  I
)  e.  On )
43 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )
4443oacomf1o 7117 . . . . 5  |-  ( ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  e.  On  /\  ( H `  I )  e.  On )  ->  (
( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) : ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  ( H `  I )
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
4534, 42, 44syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) : ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  ( H `  I )
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
46 cnfcomOLD.t . . . . . . . 8  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
4746seqomsuc 7025 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  om  ->  ( T `  suc  I )  =  ( I ( k  e.  _V , 
f  e.  _V  |->  K ) ( T `  I ) ) )
4838, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I )  =  ( I ( k  e. 
_V ,  f  e. 
_V  |->  K ) ( T `  I ) ) )
49 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ u K
50 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ v K
51 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ k
( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e. 
dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) ) )
52 nfcv 2616 . . . . . . . . 9  |-  F/_ f
( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e. 
dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) ) )
53 cnfcomOLD.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
54 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( dom  f  +o  x
)  =  ( dom  f  +o  y ) )
5554cbvmptv 4494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  =  ( y  e.  M  |->  ( dom  f  +o  y ) )
56 cnfcomOLD.m . . . . . . . . . . . . . 14  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
57 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  k  =  u )
5857fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( G `  k
)  =  ( G `
 u ) )
5958oveq2d 6219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( om  ^o  ( G `  k )
)  =  ( om 
^o  ( G `  u ) ) )
6058fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( F `  ( G `  k )
)  =  ( F `
 ( G `  u ) ) )
6159, 60oveq12d 6221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  =  ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) ) )
6256, 61syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  M  =  ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) ) )
63 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  f  =  v )
6463dmeqd 5153 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  dom  f  =  dom  v )
6564oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( dom  f  +o  y )  =  ( dom  v  +o  y
) )
6662, 65mpteq12dv 4481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( y  e.  M  |->  ( dom  f  +o  y ) )  =  ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) ) )
6755, 66syl5eq 2507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  =  ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) ) )
68 oveq2 6211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( M  +o  x )  =  ( M  +o  y
) )
6968cbvmptv 4494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  dom  f  |->  ( M  +o  x ) )  =  ( y  e.  dom  f  |->  ( M  +o  y ) )
7062oveq1d 6218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( M  +o  y
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) )
7164, 70mpteq12dv 4481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( y  e.  dom  f  |->  ( M  +o  y ) )  =  ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  +o  y
) ) )
7269, 71syl5eq 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( x  e.  dom  f  |->  ( M  +o  x ) )  =  ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  +o  y
) ) )
7372cnveqd 5126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) )  =  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) ) )
7467, 73uneq12d 3622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  |->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  +o  y
) ) ) )
7553, 74syl5eq 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  =  u  /\  f  =  v )  ->  K  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  |->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  +o  y
) ) ) )
7649, 50, 51, 52, 75cbvmpt2 6277 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K )  =  ( u  e. 
_V ,  v  e. 
_V  |->  ( ( y  e.  ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  |->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  +o  y
) ) ) )
7776a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K )  =  ( u  e.  _V , 
v  e.  _V  |->  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e. 
dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) ) ) ) )
78 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  u  =  I )
7978fveq2d 5806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( G `  u )  =  ( G `  I ) )
8079oveq2d 6219 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( om  ^o  ( G `  u ) )  =  ( om 
^o  ( G `  I ) ) )
8179fveq2d 5806 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( F `  ( G `  u ) )  =  ( F `
 ( G `  I ) ) )
8280, 81oveq12d 6221 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) )  -> 
v  =  ( T `
 I ) )
8483dmeqd 5153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) )  ->  dom  v  =  dom  ( T `  I ) )
85 cnfcomOLD.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( T `  I
) : ( H `
 I ) -1-1-onto-> O )
86 f1odm 5756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( T `  I ) : ( H `  I ) -1-1-onto-> O  ->  dom  ( T `
 I )  =  ( H `  I
) )
8785, 86syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  dom  ( T `  I )  =  ( H `  I ) )
8884, 87sylan9eqr 2517 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  dom  v  =  ( H `  I ) )
8988oveq1d 6218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( dom  v  +o  y )  =  ( ( H `  I
)  +o  y ) )
9082, 89mpteq12dv 4481 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) ) 
|->  ( dom  v  +o  y ) )  =  ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) ) )
9182oveq1d 6218 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 u ) )  .o  ( F `  ( G `  u ) ) )  +o  y
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) )
9288, 91mpteq12dv 4481 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( y  e. 
dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u )
)  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) )  =  ( y  e.  ( H `  I
)  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  +o  y
) ) )
9392cnveqd 5126 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `
 ( G `  u ) ) )  +o  y ) )  =  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )
9490, 93uneq12d 3622 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  =  I  /\  v  =  ( T `  I ) ) )  ->  ( ( y  e.  ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  |->  ( dom  v  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  dom  v  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  u ) )  .o  ( F `  ( G `  u )
) )  +o  y
) ) )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) )
95 elex 3087 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  dom  G  ->  I  e.  _V )
9620, 95syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  _V )
97 fvex 5812 . . . . . . . 8  |-  ( T `
 I )  e. 
_V
9897a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( T `  I
)  e.  _V )
99 ovex 6228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  e.  _V
10099mptex 6060 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  e.  _V
101 fvex 5812 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H `
 I )  e. 
_V
102101mptex 6060 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) )  e.  _V
103102cnvex 6638 . . . . . . . . 9  |-  `' ( y  e.  ( H `
 I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) )  e.  _V
104100, 103unex 6491 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )  e.  _V
105104a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) )  e. 
_V )
10677, 94, 96, 98, 105ovmpt2d 6331 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( I ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ( T `  I
) )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) )
10748, 106eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I )  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) 
|->  ( ( H `  I )  +o  y
) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I ) 
|->  ( ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  +o  y
) ) ) )
108 f1oeq1 5743 . . . . 5  |-  ( ( T `  suc  I
)  =  ( ( y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) )  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I )
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( ( y  e.  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) ) )
109107, 108syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) )  <->  ( (
y  e.  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) )  |->  ( ( H `  I )  +o  y ) )  u.  `' ( y  e.  ( H `  I )  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  y ) ) ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) ) )
11045, 109mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) )
1111a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  ->  om  e.  On )
112 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  ->  A  e.  On )
113 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  ->  F  e.  S )
11456oveq1i 6213 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  +o  z )  =  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
)
115114a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  e.  _V  /\  z  e.  _V )  ->  ( M  +o  z
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  k )
)  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )
116115mpt2eq3ia 6263 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z ) )  =  ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) )
117 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  (/)  =  (/)
118 seqomeq12 7022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) )  =  ( k  e.  _V , 
z  e.  _V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )  +o  z ) )  /\  (/)  =  (/) )  -> seq𝜔 (
( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) ) )
119116, 117, 118mp2an 672 . . . . . . 7  |- seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( M  +o  z ) ) ,  (/) )  = seq𝜔 ( ( k  e. 
_V ,  z  e. 
_V  |->  ( ( ( om  ^o  ( G `
 k ) )  .o  ( F `  ( G `  k ) ) )  +o  z
) ) ,  (/) )
12039, 119eqtri 2483 . . . . . 6  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( ( ( om 
^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `  ( G `  k )
) )  +o  z
) ) ,  (/) )
1215, 111, 112, 21, 113, 120cantnfsucOLD 8022 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  I  e.  om )  ->  ( H `  suc  I )  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) )
1222, 13, 38, 121syl21anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  suc  I )  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) )
123 f1oeq2 5744 . . . 4  |-  ( ( H `  suc  I
)  =  ( ( ( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) )  -> 
( ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) ) )
124122, 123syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( T `  suc  I ) : ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  +o  ( H `  I ) ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) ) ) )
125110, 124mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
126 sssucid 4907 . . . . . 6  |-  dom  G  C_ 
suc  dom  G
127126, 20sseldi 3465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  suc  dom  G )
128 epelg 4744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  e.  dom  G  -> 
( y  _E  I  <->  y  e.  I ) )
12920, 128syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  _E  I  <->  y  e.  I ) )
130129biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  y  _E  I )
1312, 19ssexd 4550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
13235simpld 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
13321oiiso 7865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
134131, 132, 133syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
135134adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
13621oicl 7857 . . . . . . . . . . . 12  |-  Ord  dom  G
137 ordelss 4846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Ord  dom  G  /\  I  e.  dom  G )  ->  I  C_  dom  G )
138136, 20, 137sylancr 663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  C_  dom  G )
139138sselda 3467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  y  e.  dom  G )
14020adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  I  e.  dom  G )
141 isorel 6129 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  /\  ( y  e.  dom  G  /\  I  e.  dom  G ) )  ->  ( y  _E  I  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  I )
) )
142135, 139, 140, 141syl12anc 1217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  (
y  _E  I  <->  ( G `  y )  _E  ( G `  I )
) )
143130, 142mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( G `  y )  _E  ( G `  I
) )
144 fvex 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 I )  e. 
_V
145144epelc 4745 . . . . . . . 8  |-  ( ( G `  y )  _E  ( G `  I )  <->  ( G `  y )  e.  ( G `  I ) )
146143, 145sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  I )  ->  ( G `  y )  e.  ( G `  I
) )
147146ralrimiva 2830 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. y  e.  I 
( G `  y
)  e.  ( G `
 I ) )
148 ffun 5672 . . . . . . . 8  |-  ( G : dom  G --> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  ->  Fun  G )
14922, 148ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  Fun  G
150 funimass4 5854 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  G  /\  I  C_ 
dom  G )  -> 
( ( G "
I )  C_  ( G `  I )  <->  A. y  e.  I  ( G `  y )  e.  ( G `  I ) ) )
151149, 138, 150sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( G "
I )  C_  ( G `  I )  <->  A. y  e.  I  ( G `  y )  e.  ( G `  I ) ) )
152147, 151mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G " I
)  C_  ( G `  I ) )
1531a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  om  e.  On )
154 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  A  e.  On )
155 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  F  e.  S )
156 peano1 6608 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
157156a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  (/)  e.  om )
158 simpr1 994 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  I  e.  suc  dom  G )
159 simpr2 995 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  ( G `  I )  e.  On )
160 simpr3 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  ( G " I )  C_  ( G `  I ) )
1615, 153, 154, 21, 155, 120, 157, 158, 159, 160cantnfltOLD 8024 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  F  e.  S )  /\  ( I  e. 
suc  dom  G  /\  ( G `  I )  e.  On  /\  ( G
" I )  C_  ( G `  I ) ) )  ->  ( H `  I )  e.  ( om  ^o  ( G `  I )
) )
1622, 13, 127, 27, 152, 161syl23anc 1226 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  I
)  e.  ( om 
^o  ( G `  I ) ) )
163 ffn 5670 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A --> om  ->  F  Fn  A )
164 elpreima 5935 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  A  ->  (
( G `  I
)  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( ( G `  I )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  I )
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
16516, 163, 1643syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( G `  I )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  <-> 
( ( G `  I )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  I )
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) ) )
16624, 165mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( G `  I )  e.  A  /\  ( F `  ( G `  I )
)  e.  ( _V 
\  1o ) ) )
167166simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  I )
)  e.  ( _V 
\  1o ) )
168 dif1o 7053 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( G `
 I ) )  e.  ( _V  \  1o )  <->  ( ( F `
 ( G `  I ) )  e. 
_V  /\  ( F `  ( G `  I
) )  =/=  (/) ) )
169168simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( G `
 I ) )  e.  ( _V  \  1o )  ->  ( F `
 ( G `  I ) )  =/=  (/) )
170167, 169syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F `  ( G `  I )
)  =/=  (/) )
171 on0eln0 4885 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  ( G `
 I ) )  e.  On  ->  ( (/) 
e.  ( F `  ( G `  I ) )  <->  ( F `  ( G `  I ) )  =/=  (/) ) )
17232, 171syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( (/)  e.  ( F `  ( G `  I ) )  <->  ( F `  ( G `  I
) )  =/=  (/) ) )
173170, 172mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  ( F `  ( G `  I
) ) )
174 omword1 7125 . . . . 5  |-  ( ( ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  e.  On  /\  ( F `  ( G `
 I ) )  e.  On )  /\  (/) 
e.  ( F `  ( G `  I ) ) )  ->  ( om  ^o  ( G `  I ) )  C_  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
17529, 32, 173, 174syl21anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  ( G `  I )
)  C_  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) )
176 oaabs2 7197 . . . 4  |-  ( ( ( ( H `  I )  e.  ( om  ^o  ( G `
 I ) )  /\  ( ( om 
^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) )  e.  On )  /\  ( om  ^o  ( G `  I ) )  C_  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `  ( G `  I )
) ) )  -> 
( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) ) )
177162, 34, 175, 176syl21anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) ) )
178 f1oeq3 5745 . . 3  |-  ( ( ( H `  I
)  +o  ( ( om  ^o  ( G `
 I ) )  .o  ( F `  ( G `  I ) ) ) )  =  ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) )  ->  ( ( T `
 suc  I ) : ( H `  suc  I ) -1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
179177, 178syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( H `  I )  +o  (
( om  ^o  ( G `  I )
)  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )  <->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) ) )
180125, 179mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( T `  suc  I ) : ( H `  suc  I
)
-1-1-onto-> ( ( om  ^o  ( G `  I ) )  .o  ( F `
 ( G `  I ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    u. cun 3437    C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    _E cep 4741    We wwe 4789   Ord word 4829   Oncon0 4830   suc csuc 4832   `'ccnv 4950   dom cdm 4951   "cima 4954   Fun wfun 5523    Fn wfn 5524   -->wf 5525   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529    Isom wiso 5530  (class class class)co 6203    |-> cmpt2 6205   omcom 6589  seq𝜔cseqom 7015   1oc1o 7026    +o coa 7030    .o comu 7031    ^o coe 7032   Fincfn 7423  OrdIsocoi 7837   CNF ccnf 7981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-seqom 7016  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-oexp 7039  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-oi 7838  df-cnf 7982
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