Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcomOLD Structured version   Unicode version

Theorem cnfcomOLD 8184
 Description: Any ordinal is equinumerous to the leading term of its Cantor normal form. Here we show that bijection explicitly. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of cnfcom 8176 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcomOLD.s CNF
cnfcomOLD.a
cnfcomOLD.b
cnfcomOLD.f CNF
cnfcomOLD.g OrdIso
cnfcomOLD.h seq𝜔
cnfcomOLD.t seq𝜔
cnfcomOLD.m
cnfcomOLD.k
cnfcomOLD.1
Assertion
Ref Expression
cnfcomOLD
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,,,,   ,   ,,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,)   ()   (,,,)   (,,)

Proof of Theorem cnfcomOLD
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnfcomOLD.1 . 2
2 cnfcomOLD.s . . . . . 6 CNF
3 omelon 8096 . . . . . . 7
43a1i 11 . . . . . 6
5 cnfcomOLD.a . . . . . 6
6 cnfcomOLD.g . . . . . 6 OrdIso
7 cnfcomOLD.f . . . . . . 7 CNF
82, 4, 5cantnff1o 8169 . . . . . . . . 9 CNF
9 f1ocnv 5811 . . . . . . . . 9 CNF CNF
10 f1of 5799 . . . . . . . . 9 CNF CNF
118, 9, 103syl 18 . . . . . . . 8 CNF
12 cnfcomOLD.b . . . . . . . 8
1311, 12ffvelrnd 6010 . . . . . . 7 CNF
147, 13syl5eqel 2494 . . . . . 6
152, 4, 5, 6, 14cantnfclOLD 8148 . . . . 5
1615simprd 461 . . . 4
17 elnn 6693 . . . 4
181, 16, 17syl2anc 659 . . 3
19 eleq1 2474 . . . . . 6
20 suceq 5475 . . . . . . . 8
2120fveq2d 5853 . . . . . . 7
2220fveq2d 5853 . . . . . . 7
23 fveq2 5849 . . . . . . . . 9
2423oveq2d 6294 . . . . . . . 8
2523fveq2d 5853 . . . . . . . 8
2624, 25oveq12d 6296 . . . . . . 7
2721, 22, 26f1oeq123d 5796 . . . . . 6
2819, 27imbi12d 318 . . . . 5
2928imbi2d 314 . . . 4
30 eleq1 2474 . . . . . 6
31 suceq 5475 . . . . . . . 8
3231fveq2d 5853 . . . . . . 7
3331fveq2d 5853 . . . . . . 7
34 fveq2 5849 . . . . . . . . 9
3534oveq2d 6294 . . . . . . . 8
3634fveq2d 5853 . . . . . . . 8
3735, 36oveq12d 6296 . . . . . . 7
3832, 33, 37f1oeq123d 5796 . . . . . 6
3930, 38imbi12d 318 . . . . 5
40 eleq1 2474 . . . . . 6
41 suceq 5475 . . . . . . . 8
4241fveq2d 5853 . . . . . . 7
4341fveq2d 5853 . . . . . . 7
44 fveq2 5849 . . . . . . . . 9
4544oveq2d 6294 . . . . . . . 8
4644fveq2d 5853 . . . . . . . 8
4745, 46oveq12d 6296 . . . . . . 7
4842, 43, 47f1oeq123d 5796 . . . . . 6
4940, 48imbi12d 318 . . . . 5
50 eleq1 2474 . . . . . 6
51 suceq 5475 . . . . . . . 8
5251fveq2d 5853 . . . . . . 7
5351fveq2d 5853 . . . . . . 7
54 fveq2 5849 . . . . . . . . 9
5554oveq2d 6294 . . . . . . . 8
5654fveq2d 5853 . . . . . . . 8
5755, 56oveq12d 6296 . . . . . . 7
5852, 53, 57f1oeq123d 5796 . . . . . 6
5950, 58imbi12d 318 . . . . 5
605adantr 463 . . . . . . 7
6112adantr 463 . . . . . . 7
62 cnfcomOLD.h . . . . . . 7 seq𝜔
63 cnfcomOLD.t . . . . . . 7 seq𝜔
64 cnfcomOLD.m . . . . . . 7
65 cnfcomOLD.k . . . . . . 7
66 simpr 459 . . . . . . 7
673a1i 11 . . . . . . . 8
68 cnvimass 5177 . . . . . . . . . . 11
692, 4, 5cantnfsOLD 8147 . . . . . . . . . . . . . 14
7014, 69mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
7170simpld 457 . . . . . . . . . . . 12
72 fdm 5718 . . . . . . . . . . . 12
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . 11
7468, 73syl5sseq 3490 . . . . . . . . . 10
75 onss 6608 . . . . . . . . . . 11
765, 75syl 17 . . . . . . . . . 10
7774, 76sstrd 3452 . . . . . . . . 9
786oif 7989 . . . . . . . . . 10
7978ffvelrni 6008 . . . . . . . . 9
80 ssel2 3437 . . . . . . . . 9
8177, 79, 80syl2an 475 . . . . . . . 8
82 peano1 6703 . . . . . . . . 9
8382a1i 11 . . . . . . . 8
84 oen0 7272 . . . . . . . 8
8567, 81, 83, 84syl21anc 1229 . . . . . . 7
86 0ex 4526 . . . . . . . . 9
8763seqom0g 7158 . . . . . . . . 9
8886, 87ax-mp 5 . . . . . . . 8
89 f1o0 5833 . . . . . . . . . 10
9062seqom0g 7158 . . . . . . . . . . 11
91 f1oeq2 5791 . . . . . . . . . . 11
9286, 90, 91mp2b 10 . . . . . . . . . 10
9389, 92mpbir 209 . . . . . . . . 9
94 f1oeq1 5790 . . . . . . . . 9
9593, 94mpbiri 233 . . . . . . . 8
9688, 95mp1i 13 . . . . . . 7
972, 60, 61, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 66, 85, 96cnfcomlemOLD 8183 . . . . . 6
9897ex 432 . . . . 5
996oicl 7988 . . . . . . . . . 10
100 ordtr 5424 . . . . . . . . . 10
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . . 9
102 trsuc 5494 . . . . . . . . 9
103101, 102mpan 668 . . . . . . . 8
104103imim1i 57 . . . . . . 7
1055ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10
10612ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10
107 simprl 756 . . . . . . . . . 10
10876ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15
10974ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11078ffvelrni 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
111110ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112109, 111sseldd 3443 . . . . . . . . . . . . . . 15
113108, 112sseldd 3443 . . . . . . . . . . . . . 14
114 eloni 5420 . . . . . . . . . . . . . 14
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
116 vex 3062 . . . . . . . . . . . . . . 15
117116sucid 5489 . . . . . . . . . . . . . 14
1185, 74ssexd 4541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11915simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1206oiiso 7996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121118, 119, 120syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122121ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123103ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16
124 isorel 6205 . . . . . . . . . . . . . . . 16
125122, 123, 107, 124syl12anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15
126116sucex 6629 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127126epelc 4736 . . . . . . . . . . . . . . 15
128 fvex 5859 . . . . . . . . . . . . . . . 16
129128epelc 4736 . . . . . . . . . . . . . . 15
130125, 127, 1293bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . . 14
131117, 130mpbii 211 . . . . . . . . . . . . 13
132 ordsucss 6636 . . . . . . . . . . . . 13
133115, 131, 132sylc 59 . . . . . . . . . . . 12
13478ffvelrni 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
135123, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136109, 135sseldd 3443 . . . . . . . . . . . . . . 15
137108, 136sseldd 3443 . . . . . . . . . . . . . 14
138 suceloni 6631 . . . . . . . . . . . . . 14
139137, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
1403a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
14182a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
142 oewordi 7277 . . . . . . . . . . . . 13
143139, 113, 140, 141, 142syl31anc 1233 . . . . . . . . . . . 12
144133, 143mpd 15 . . . . . . . . . . 11
14571ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14
146145, 136ffvelrnd 6010 . . . . . . . . . . . . 13
147 nnon 6689 . . . . . . . . . . . . . . 15
148146, 147syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
149 oecl 7224 . . . . . . . . . . . . . . 15
150140, 137, 149syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . 14
151 oen0 7272 . . . . . . . . . . . . . . 15
152140, 137, 141, 151syl21anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14
153 omord2 7253 . . . . . . . . . . . . . 14
154148, 140, 150, 152, 153syl31anc 1233 . . . . . . . . . . . . 13
155146, 154mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
156 oesuc 7214 . . . . . . . . . . . . 13
157140, 137, 156syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12
158155, 157eleqtrrd 2493 . . . . . . . . . . 11
159144, 158sseldd 3443 . . . . . . . . . 10
160 simprr 758 . . . . . . . . . 10
1612, 105, 106, 7, 6, 62, 63, 64, 65, 107, 159, 160cnfcomlemOLD 8183 . . . . . . . . 9
162161exp32 603 . . . . . . . 8
163162a2d 26 . . . . . . 7
164104, 163syl5 30 . . . . . 6
165164expcom 433 . . . . 5
16639, 49, 59, 98, 165finds2 6712 . . . 4
16729, 166vtoclga 3123 . . 3
16818, 167mpcom 34 . 2
1691, 168mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3059   cdif 3411   cun 3412   wss 3414  c0 3738   class class class wbr 4395   cmpt 4453   wtr 4489   cep 4732   wwe 4781  ccnv 4822   cdm 4823  cima 4826   word 5409  con0 5410   csuc 5412  wf 5565  wf1o 5568  cfv 5569   wiso 5570  (class class class)co 6278   cmpt2 6280  com 6683  seq𝜔cseqom 7149  c1o 7160   coa 7164   comu 7165   coe 7166  cfn 7554  OrdIsocoi 7968   CNF ccnf 8110 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-seqom 7150  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-oexp 7173  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-oi 7969  df-cnf 8111 This theorem is referenced by:  cnfcom2OLD  8186
 Copyright terms: Public domain W3C validator