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Theorem cnfcom3lemOLD 8172
Description: Lemma for cnfcom3OLD 8173. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of cnfcom3lem 8164 as of 4-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcomOLD.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcomOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcomOLD.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcomOLD.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcomOLD.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcomOLD.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcomOLD.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcomOLD.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcomOLD.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcomOLD.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3OLD.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lemOLD  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    x, M    f, k, x, z, F   
z, T    x, W    f, G, k, x, z   
f, H, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3lemOLD
StepHypRef Expression
1 cnfcomOLD.w . . 3  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
2 cnfcomOLD.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnvimass 5367 . . . . . 6  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
4 cnfcomOLD.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcomOLD.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
6 omelon 8080 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  e.  On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
85, 7, 2cantnff1o 8154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
9 f1ocnv 5834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
10 f1of 5822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
12 cnfcomOLD.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1311, 12ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
144, 13syl5eqel 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
155, 7, 2cantnfsOLD 8132 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
1614, 15mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1716simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
18 fdm 5741 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
203, 19syl5sseq 3547 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
21 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  _V
224, 21eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e. 
_V
2322cnvex 6746 . . . . . . . . . . 11  |-  `' F  e.  _V
24 imaexg 6736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V )
25 cnfcomOLD.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2625oion 7979 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2723, 24, 26mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  dom  G  e.  On
2827elexi 3119 . . . . . . . . 9  |-  dom  G  e.  _V
2928uniex 6595 . . . . . . . 8  |-  U. dom  G  e.  _V
3029sucid 4966 . . . . . . 7  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
31 cnfcomOLD.h . . . . . . . 8  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
32 cnfcomOLD.t . . . . . . . 8  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
33 cnfcomOLD.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
34 cnfcomOLD.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
35 cnfcom3OLD.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
36 peano1 6718 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  om
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3835, 37sseldd 3500 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
395, 2, 12, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 1, 38cnfcom2lemOLD 8170 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
4030, 39syl5eleqr 2552 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
4125oif 7973 . . . . . . 7  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
4241ffvelrni 6031 . . . . . 6  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4340, 42syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4420, 43sseldd 3500 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  A
)
45 onelon 4912 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  U. dom  G )  e.  A )  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
462, 44, 45syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
471, 46syl5eqel 2549 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
48 oecl 7205 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
496, 2, 48sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
50 onelon 4912 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  A
)  e.  On  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  B  e.  On )
5149, 12, 50syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
52 ontri1 4921 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
536, 51, 52sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
5435, 53mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  om )
554fveq2i 5875 . . . . . . . 8  |-  ( ( om CNF  A ) `  F )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
) )
56 f1ocnvfv2 6184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
)  =  B )
578, 12, 56syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  ( `' ( om CNF  A ) `  B ) )  =  B )
5855, 57syl5eq 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  F )  =  B )
5958adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  =  B )
606a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  om  e.  On )
612adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  A  e.  On )
6214adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  F  e.  S )
6336a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  (/)  e.  om )
64 1on 7155 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  On
6564a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  1o  e.  On )
662, 20ssexd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
675, 7, 2, 25, 14cantnfclOLD 8133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
6867simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
6925oiiso 7980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
7066, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
72 isof1o 6222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
74 f1ocnv 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  ->  `' G :
( `' F "
( _V  \  1o ) ) -1-1-onto-> dom  G )
75 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) -1-1-onto-> dom 
G  ->  `' G : ( `' F " ( _V  \  1o ) ) --> dom  G
)
7673, 74, 753syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  G )
77 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  G  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  dom  G )
7876, 77sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  dom  G )
79 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  x )  e.  dom  G  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
81 onelon 4912 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  G  e.  On  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G )  ->  ( `' G `  x )  e.  On )
8227, 78, 81sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  On )
83 onuni 6627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
G  e.  On  ->  U.
dom  G  e.  On )
8427, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. dom  G  e.  On
85 ontri1 4921 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' G `  x )  e.  On  /\ 
U. dom  G  e.  On )  ->  ( ( `' G `  x ) 
C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8682, 84, 85sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( ( `' G `  x )  C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8780, 86mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
8840ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  U. dom  G  e.  dom  G )
89 isorel 6223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  /\  ( U. dom  G  e.  dom  G  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G ) )  ->  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <-> 
( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x )
) ) )
9071, 88, 78, 89syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
91 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' G `  x )  e.  _V
9291epelc 4802 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
931breq1i 4463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
94 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G `
 ( `' G `  x ) )  e. 
_V
9594epelc 4802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x )
) )
9693, 95bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `
 ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
9790, 92, 963bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
98 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  W  =  (/) )
99 f1ocnvfv2 6184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  x  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
10073, 99sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
10198, 100eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  (/)  e.  x ) )
10297, 101bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  (/)  e.  x
) )
10387, 102mtbid 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  -.  (/)  e.  x )
104 onss 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
1052, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  On )
10620, 105sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  On )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  C_  On )
108107sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  e.  On )
109 on0eqel 5004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  =  (/)  \/  (/)  e.  x
) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( x  =  (/)  \/  (/)  e.  x ) )
111110ord 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( -.  x  =  (/)  ->  (/)  e.  x ) )
112103, 111mt3d 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  =  (/) )
113 el1o 7167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  1o  <->  x  =  (/) )
114112, 113sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  e.  1o )
115114ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  ->  x  e.  1o ) )
116115ssrdv 3505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  C_  1o )
1175, 60, 61, 62, 63, 65, 116cantnflt2OLD 8139 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  ( om 
^o  1o ) )
118 oe1 7211 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
1196, 118ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  1o )  =  om
120117, 119syl6eleq 2555 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  om )
12159, 120eqeltrrd 2546 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  B  e.  om )
122121ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  ->  B  e.  om )
)
123122necon3bd 2669 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  B  e. 
om  ->  W  =/=  (/) ) )
12454, 123mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
125 dif1o 7168 . 2  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  W  =/=  (/) ) )
12647, 124, 125sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793   U.cuni 4251   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    _E cep 4798    We wwe 4846   Oncon0 4887   suc csuc 4889   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   "cima 5011   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594    Isom wiso 5595  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298   omcom 6699  seq𝜔cseqom 7130   1oc1o 7141    +o coa 7145    .o comu 7146    ^o coe 7147   Fincfn 7535  OrdIsocoi 7952   CNF ccnf 8095
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-seqom 7131  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-cnf 8096
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