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Theorem cnfcom3lemOLD 8172
 Description: Lemma for cnfcom3OLD 8173. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of cnfcom3lem 8164 as of 4-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcomOLD.s CNF
cnfcomOLD.a
cnfcomOLD.b
cnfcomOLD.f CNF
cnfcomOLD.g OrdIso
cnfcomOLD.h seq𝜔
cnfcomOLD.t seq𝜔
cnfcomOLD.m
cnfcomOLD.k
cnfcomOLD.w
cnfcom3OLD.1
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lemOLD
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,,,,   ,   ,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,,)   (,)   (,,)   (,)   (,,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem cnfcom3lemOLD
StepHypRef Expression
1 cnfcomOLD.w . . 3
2 cnfcomOLD.a . . . 4
3 cnvimass 5367 . . . . . 6
4 cnfcomOLD.f . . . . . . . . . 10 CNF
5 cnfcomOLD.s . . . . . . . . . . . . 13 CNF
6 omelon 8080 . . . . . . . . . . . . . 14
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
85, 7, 2cantnff1o 8154 . . . . . . . . . . . 12 CNF
9 f1ocnv 5834 . . . . . . . . . . . 12 CNF CNF
10 f1of 5822 . . . . . . . . . . . 12 CNF CNF
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . . . . 11 CNF
12 cnfcomOLD.b . . . . . . . . . . 11
1311, 12ffvelrnd 6033 . . . . . . . . . 10 CNF
144, 13syl5eqel 2549 . . . . . . . . 9
155, 7, 2cantnfsOLD 8132 . . . . . . . . 9
1614, 15mpbid 210 . . . . . . . 8
1716simpld 459 . . . . . . 7
18 fdm 5741 . . . . . . 7
1917, 18syl 16 . . . . . 6
203, 19syl5sseq 3547 . . . . 5
21 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . 13 CNF
224, 21eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . 12
2322cnvex 6746 . . . . . . . . . . 11
24 imaexg 6736 . . . . . . . . . . 11
25 cnfcomOLD.g . . . . . . . . . . . 12 OrdIso
2625oion 7979 . . . . . . . . . . 11
2723, 24, 26mp2b 10 . . . . . . . . . 10
2827elexi 3119 . . . . . . . . 9
2928uniex 6595 . . . . . . . 8
3029sucid 4966 . . . . . . 7
31 cnfcomOLD.h . . . . . . . 8 seq𝜔
32 cnfcomOLD.t . . . . . . . 8 seq𝜔
33 cnfcomOLD.m . . . . . . . 8
34 cnfcomOLD.k . . . . . . . 8
35 cnfcom3OLD.1 . . . . . . . . 9
36 peano1 6718 . . . . . . . . . 10
3736a1i 11 . . . . . . . . 9
3835, 37sseldd 3500 . . . . . . . 8
395, 2, 12, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 1, 38cnfcom2lemOLD 8170 . . . . . . 7
4030, 39syl5eleqr 2552 . . . . . 6
4125oif 7973 . . . . . . 7
4241ffvelrni 6031 . . . . . 6
4340, 42syl 16 . . . . 5
4420, 43sseldd 3500 . . . 4
45 onelon 4912 . . . 4
462, 44, 45syl2anc 661 . . 3
471, 46syl5eqel 2549 . 2
48 oecl 7205 . . . . . . 7
496, 2, 48sylancr 663 . . . . . 6
50 onelon 4912 . . . . . 6
5149, 12, 50syl2anc 661 . . . . 5
52 ontri1 4921 . . . . 5
536, 51, 52sylancr 663 . . . 4
5435, 53mpbid 210 . . 3
554fveq2i 5875 . . . . . . . 8 CNF CNF CNF
56 f1ocnvfv2 6184 . . . . . . . . 9 CNF CNF CNF
578, 12, 56syl2anc 661 . . . . . . . 8 CNF CNF
5855, 57syl5eq 2510 . . . . . . 7 CNF
5958adantr 465 . . . . . 6 CNF
606a1i 11 . . . . . . . 8
612adantr 465 . . . . . . . 8
6214adantr 465 . . . . . . . 8
6336a1i 11 . . . . . . . 8
64 1on 7155 . . . . . . . . 9
6564a1i 11 . . . . . . . 8
662, 20ssexd 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
675, 7, 2, 25, 14cantnfclOLD 8133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6867simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6925oiiso 7980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7066, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
72 isof1o 6222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
74 f1ocnv 5834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
75 f1of 5822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7673, 74, 753syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16
77 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7876, 77sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15
79 elssuni 4281 . . . . . . . . . . . . . . 15
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
81 onelon 4912 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8227, 78, 81sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15
83 onuni 6627 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8427, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
85 ontri1 4921 . . . . . . . . . . . . . . 15
8682, 84, 85sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14
8780, 86mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
8840ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16
89 isorel 6223 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9071, 88, 78, 89syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15
91 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291epelc 4802 . . . . . . . . . . . . . . 15
931breq1i 4463 . . . . . . . . . . . . . . . 16
94 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9594epelc 4802 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9693, 95bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . 15
9790, 92, 963bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . . 14
98 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15
99 f1ocnvfv2 6184 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10073, 99sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15
10198, 100eleq12d 2539 . . . . . . . . . . . . . 14
10297, 101bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13
10387, 102mtbid 300 . . . . . . . . . . . 12
104 onss 6625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1052, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10620, 105sstrd 3509 . . . . . . . . . . . . . . . 16
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
108107sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . 14
109 on0eqel 5004 . . . . . . . . . . . . . 14
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
111110ord 377 . . . . . . . . . . . 12
112103, 111mt3d 125 . . . . . . . . . . 11
113 el1o 7167 . . . . . . . . . . 11
114112, 113sylibr 212 . . . . . . . . . 10
115114ex 434 . . . . . . . . 9
116115ssrdv 3505 . . . . . . . 8
1175, 60, 61, 62, 63, 65, 116cantnflt2OLD 8139 . . . . . . 7 CNF
118 oe1 7211 . . . . . . . 8
1196, 118ax-mp 5 . . . . . . 7
120117, 119syl6eleq 2555 . . . . . 6 CNF
12159, 120eqeltrrd 2546 . . . . 5
122121ex 434 . . . 4
123122necon3bd 2669 . . 3
12454, 123mpd 15 . 2
125 dif1o 7168 . 2
12647, 124, 125sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  cvv 3109   cdif 3468   cun 3469   wss 3471  c0 3793  cuni 4251   class class class wbr 4456   cmpt 4515   cep 4798   wwe 4846  con0 4887   csuc 4889  ccnv 5007   cdm 5008  cima 5011  wf 5590  wf1o 5593  cfv 5594   wiso 5595  (class class class)co 6296   cmpt2 6298  com 6699  seq𝜔cseqom 7130  c1o 7141   coa 7145   comu 7146   coe 7147  cfn 7535  OrdIsocoi 7952   CNF ccnf 8095 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-seqom 7131  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-oexp 7154  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-oi 7953  df-cnf 8096 This theorem is referenced by:  cnfcom3OLD  8173  cnfcom3clemOLD  8174
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