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Theorem cnfcom3lemOLD 8155
Description: Lemma for cnfcom3OLD 8156. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of cnfcom3lem 8147 as of 4-Jul-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcomOLD.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcomOLD.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcomOLD.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcomOLD.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcomOLD.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcomOLD.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcomOLD.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcomOLD.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcomOLD.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcomOLD.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3OLD.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lemOLD  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    x, M    f, k, x, z, F   
z, T    x, W    f, G, k, x, z   
f, H, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3lemOLD
StepHypRef Expression
1 cnfcomOLD.w . . 3  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
2 cnfcomOLD.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 cnvimass 5357 . . . . . 6  |-  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) 
C_  dom  F
4 cnfcomOLD.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcomOLD.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
6 omelon 8063 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  e.  On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
85, 7, 2cantnff1o 8137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
9 f1ocnv 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
10 f1of 5816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
12 cnfcomOLD.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1311, 12ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
144, 13syl5eqel 2559 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
155, 7, 2cantnfsOLD 8115 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  Fin ) ) )
1614, 15mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  e.  Fin ) )
1716simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
18 fdm 5735 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
203, 19syl5sseq 3552 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  A
)
21 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' ( om CNF  A ) `  B )  e.  _V
224, 21eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . 12  |-  F  e. 
_V
2322cnvex 6731 . . . . . . . . . . 11  |-  `' F  e.  _V
24 imaexg 6721 . . . . . . . . . . 11  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V )
25 cnfcomOLD.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
2625oion 7961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2723, 24, 26mp2b 10 . . . . . . . . . 10  |-  dom  G  e.  On
2827elexi 3123 . . . . . . . . 9  |-  dom  G  e.  _V
2928uniex 6580 . . . . . . . 8  |-  U. dom  G  e.  _V
3029sucid 4957 . . . . . . 7  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
31 cnfcomOLD.h . . . . . . . 8  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
32 cnfcomOLD.t . . . . . . . 8  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
33 cnfcomOLD.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
34 cnfcomOLD.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
35 cnfcom3OLD.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
36 peano1 6703 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  om
3736a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3835, 37sseldd 3505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
395, 2, 12, 4, 25, 31, 32, 33, 34, 1, 38cnfcom2lemOLD 8153 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
4030, 39syl5eleqr 2562 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
4125oif 7955 . . . . . . 7  |-  G : dom  G --> ( `' F " ( _V  \  1o ) )
4241ffvelrni 6020 . . . . . 6  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4340, 42syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
4420, 43sseldd 3505 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  A
)
45 onelon 4903 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  U. dom  G )  e.  A )  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
462, 44, 45syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
471, 46syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
48 oecl 7187 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
496, 2, 48sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
50 onelon 4903 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  A
)  e.  On  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  B  e.  On )
5149, 12, 50syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
52 ontri1 4912 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
536, 51, 52sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
5435, 53mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  om )
554fveq2i 5869 . . . . . . . 8  |-  ( ( om CNF  A ) `  F )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
) )
56 f1ocnvfv2 6171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
)  =  B )
578, 12, 56syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  ( `' ( om CNF  A ) `  B ) )  =  B )
5855, 57syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  F )  =  B )
5958adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  =  B )
606a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  om  e.  On )
612adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  A  e.  On )
6214adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  F  e.  S )
6336a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  (/)  e.  om )
64 1on 7137 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  On
6564a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  1o  e.  On )
662, 20ssexd 4594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V )
675, 7, 2, 25, 14cantnfclOLD 8116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  dom  G  e. 
om ) )
6867simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
6925oiiso 7962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( `' F "
( _V  \  1o ) )  e.  _V  /\  _E  We  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom 
G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
7066, 68, 69syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
7170ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) ) )
72 isof1o 6209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
74 f1ocnv 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  ->  `' G :
( `' F "
( _V  \  1o ) ) -1-1-onto-> dom  G )
75 f1of 5816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) -1-1-onto-> dom 
G  ->  `' G : ( `' F " ( _V  \  1o ) ) --> dom  G
)
7673, 74, 753syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  G )
77 ffvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' G : ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) --> dom  G  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  dom  G )
7876, 77sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  dom  G )
79 elssuni 4275 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  x )  e.  dom  G  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
81 onelon 4903 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  G  e.  On  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G )  ->  ( `' G `  x )  e.  On )
8227, 78, 81sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( `' G `  x )  e.  On )
83 onuni 6612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
G  e.  On  ->  U.
dom  G  e.  On )
8427, 83ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. dom  G  e.  On
85 ontri1 4912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' G `  x )  e.  On  /\ 
U. dom  G  e.  On )  ->  ( ( `' G `  x ) 
C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8682, 84, 85sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( ( `' G `  x )  C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8780, 86mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
8840ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  U. dom  G  e.  dom  G )
89 isorel 6210 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  /\  ( U. dom  G  e.  dom  G  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G ) )  ->  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <-> 
( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x )
) ) )
9071, 88, 78, 89syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
91 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' G `  x )  e.  _V
9291epelc 4793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
931breq1i 4454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
94 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G `
 ( `' G `  x ) )  e. 
_V
9594epelc 4793 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x )
) )
9693, 95bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `
 ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
9790, 92, 963bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
98 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  W  =  (/) )
99 f1ocnvfv2 6171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> ( `' F " ( _V 
\  1o ) )  /\  x  e.  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
10073, 99sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
10198, 100eleq12d 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  (/)  e.  x ) )
10297, 101bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  (/)  e.  x
) )
10387, 102mtbid 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  -.  (/)  e.  x )
104 onss 6610 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
1052, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  On )
10620, 105sstrd 3514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  C_  On )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  C_  On )
108107sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  e.  On )
109 on0eqel 4995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  =  (/)  \/  (/)  e.  x
) )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( x  =  (/)  \/  (/)  e.  x ) )
111110ord 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  -> 
( -.  x  =  (/)  ->  (/)  e.  x ) )
112103, 111mt3d 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  =  (/) )
113 el1o 7149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  1o  <->  x  =  (/) )
114112, 113sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) ) )  ->  x  e.  1o )
115114ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( `' F "
( _V  \  1o ) )  ->  x  e.  1o ) )
116115ssrdv 3510 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( `' F " ( _V  \  1o ) )  C_  1o )
1175, 60, 61, 62, 63, 65, 116cantnflt2OLD 8122 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  ( om 
^o  1o ) )
118 oe1 7193 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
1196, 118ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  1o )  =  om
120117, 119syl6eleq 2565 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  om )
12159, 120eqeltrrd 2556 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  B  e.  om )
122121ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  ->  B  e.  om )
)
123122necon3bd 2679 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  B  e. 
om  ->  W  =/=  (/) ) )
12454, 123mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
125 dif1o 7150 . 2  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  W  =/=  (/) ) )
12647, 124, 125sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   (/)c0 3785   U.cuni 4245   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    _E cep 4789    We wwe 4837   Oncon0 4878   suc csuc 4880   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588    Isom wiso 5589  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286   omcom 6684  seq𝜔cseqom 7112   1oc1o 7123    +o coa 7127    .o comu 7128    ^o coe 7129   Fincfn 7516  OrdIsocoi 7934   CNF ccnf 8078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-seqom 7113  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-oexp 7136  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-cnf 8079
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