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Theorem cnfcom3lem 7924
Description: Lemma for cnfcom3 7925. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lem  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    x, M    f, k, x, z, F   
z, T    x, W    f, G, k, x, z   
f, H, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom.w . . 3  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
2 cnfcom.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 suppssdm 6692 . . . . . 6  |-  ( F supp  (/) )  C_  dom  F
4 cnfcom.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
6 omelon 7840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  e.  On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
85, 7, 2cantnff1o 7914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
9 f1ocnv 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
10 f1of 5629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
12 cnfcom.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1311, 12ffvelrnd 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
144, 13syl5eqel 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
155, 7, 2cantnfs 7862 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  F finSupp 
(/) ) ) )
1614, 15mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  F finSupp  (/) ) )
1716simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
18 fdm 5551 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
203, 19syl5sseq 3392 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  A )
21 ovex 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F supp  (/) )  e.  _V
22 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
2322oion 7738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F supp  (/) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  dom  G  e.  On
2524elexi 2972 . . . . . . . . 9  |-  dom  G  e.  _V
2625uniex 6365 . . . . . . . 8  |-  U. dom  G  e.  _V
2726sucid 4785 . . . . . . 7  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
28 cnfcom.h . . . . . . . 8  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
29 cnfcom.t . . . . . . . 8  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
30 cnfcom.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
31 cnfcom.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
32 cnfcom3.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
33 peano1 6484 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  om
3433a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3532, 34sseldd 3345 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
365, 2, 12, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 1, 35cnfcom2lem 7922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
3727, 36syl5eleqr 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
3822oif 7732 . . . . . . 7  |-  G : dom  G --> ( F supp  (/) )
3938ffvelrni 5830 . . . . . 6  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( F supp  (/) ) )
4037, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( F supp  (/) ) )
4120, 40sseldd 3345 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  A
)
42 onelon 4731 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  U. dom  G )  e.  A )  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
432, 41, 42syl2anc 654 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
441, 43syl5eqel 2517 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
45 oecl 6965 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
466, 2, 45sylancr 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
47 onelon 4731 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  A
)  e.  On  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  B  e.  On )
4846, 12, 47syl2anc 654 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
49 ontri1 4740 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
506, 48, 49sylancr 656 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
5132, 50mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  om )
524fveq2i 5682 . . . . . . . 8  |-  ( ( om CNF  A ) `  F )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
) )
53 f1ocnvfv2 5971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
)  =  B )
548, 12, 53syl2anc 654 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  ( `' ( om CNF  A ) `  B ) )  =  B )
5552, 54syl5eq 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  F )  =  B )
5655adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  =  B )
576a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  om  e.  On )
582adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  A  e.  On )
5914adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  F  e.  S )
6033a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  (/)  e.  om )
61 1on 6915 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  On
6261a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  1o  e.  On )
632, 20ssexd 4427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  e. 
_V )
645, 7, 2, 22, 14cantnfcl 7863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( F supp 
(/) )  /\  dom  G  e.  om ) )
6564simpld 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  _E  We  ( F supp  (/) ) )
6622oiiso 7739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F supp  (/) )  e. 
_V  /\  _E  We  ( F supp  (/) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G , 
( F supp  (/) ) ) )
6763, 65, 66syl2anc 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) ) )
6867ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G , 
( F supp  (/) ) ) )
69 isof1o 6003 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) ) )
71 f1ocnv 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) )  ->  `' G : ( F supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  G
)
72 f1of 5629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' G : ( F supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  G  ->  `' G : ( F supp  (/) ) --> dom 
G )
7370, 71, 723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  `' G :
( F supp  (/) ) --> dom 
G )
74 ffvelrn 5829 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' G : ( F supp  (/) ) --> dom  G  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( `' G `  x )  e.  dom  G )
7573, 74sylancom 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( `' G `  x )  e.  dom  G )
76 elssuni 4109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  x )  e.  dom  G  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
78 onelon 4731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  G  e.  On  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G )  ->  ( `' G `  x )  e.  On )
7924, 75, 78sylancr 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( `' G `  x )  e.  On )
80 onuni 6393 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
G  e.  On  ->  U.
dom  G  e.  On )
8124, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. dom  G  e.  On
82 ontri1 4740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' G `  x )  e.  On  /\ 
U. dom  G  e.  On )  ->  ( ( `' G `  x ) 
C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8379, 81, 82sylancl 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( ( `' G `  x ) 
C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8477, 83mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
8537ad2antrr 718 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
86 isorel 6004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) )  /\  ( U. dom  G  e. 
dom  G  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G ) )  ->  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <-> 
( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x )
) ) )
8768, 85, 75, 86syl12anc 1209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
88 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' G `  x )  e.  _V
8988epelc 4621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
901breq1i 4287 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
91 fvex 5689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G `
 ( `' G `  x ) )  e. 
_V
9291epelc 4621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x )
) )
9390, 92bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `
 ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
9487, 89, 933bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
95 simplr 747 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  W  =  (/) )
96 f1ocnvfv2 5971 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp 
(/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
9770, 96sylancom 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
9895, 97eleq12d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  (/)  e.  x ) )
9994, 98bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  (/)  e.  x
) )
10084, 99mtbid 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  -.  (/)  e.  x
)
101 onss 6391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
1022, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  On )
10320, 102sstrd 3354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  On )
104103adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F supp  (/) )  C_  On )
105104sselda 3344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  x  e.  On )
106 on0eqel 4823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  =  (/)  \/  (/)  e.  x
) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( x  =  (/)  \/  (/)  e.  x ) )
108107ord 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( -.  x  =  (/)  ->  (/)  e.  x
) )
109100, 108mt3d 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  x  =  (/) )
110 el1o 6927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  1o  <->  x  =  (/) )
111109, 110sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  x  e.  1o )
112111ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( F supp  (/) )  ->  x  e.  1o )
)
113112ssrdv 3350 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F supp  (/) )  C_  1o )
1145, 57, 58, 59, 60, 62, 113cantnflt2 7869 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  ( om 
^o  1o ) )
115 oe1 6971 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
1166, 115ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  1o )  =  om
117114, 116syl6eleq 2523 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  om )
11856, 117eqeltrrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  B  e.  om )
119118ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  ->  B  e.  om )
)
120119necon3bd 2635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  B  e. 
om  ->  W  =/=  (/) ) )
12151, 120mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
122 dif1o 6928 . 2  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  W  =/=  (/) ) )
12344, 121, 122sylanbrc 657 1  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1362    e. wcel 1755    =/= wne 2596   _Vcvv 2962    \ cdif 3313    u. cun 3314    C_ wss 3316   (/)c0 3625   U.cuni 4079   class class class wbr 4280    e. cmpt 4338    _E cep 4617    We wwe 4665   Oncon0 4706   suc csuc 4708   `'ccnv 4826   dom cdm 4827   -->wf 5402   -1-1-onto->wf1o 5405   ` cfv 5406    Isom wiso 5407  (class class class)co 6080    e. cmpt2 6082   omcom 6465   supp csupp 6679  seq𝜔cseqom 6888   1oc1o 6901    +o coa 6905    .o comu 6906    ^o coe 6907   finSupp cfsupp 7608  OrdIsocoi 7711   CNF ccnf 7855
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-supp 6680  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-seqom 6889  df-1o 6908  df-2o 6909  df-oadd 6912  df-omul 6913  df-oexp 6914  df-er 7089  df-map 7204  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-fsupp 7609  df-oi 7712  df-cnf 7856
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