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Theorem cnfcom3lem 8060
Description: Lemma for cnfcom3 8061. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lem  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    x, M    f, k, x, z, F   
z, T    x, W    f, G, k, x, z   
f, H, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom.w . . 3  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
2 cnfcom.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 suppssdm 6830 . . . . . 6  |-  ( F supp  (/) )  C_  dom  F
4 cnfcom.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
6 omelon 7977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  e.  On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
85, 7, 2cantnff1o 8050 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
9 f1ocnv 5736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
10 f1of 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
12 cnfcom.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1311, 12ffvelrnd 5934 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
144, 13syl5eqel 2474 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
155, 7, 2cantnfs 7998 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  F finSupp 
(/) ) ) )
1614, 15mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  F finSupp  (/) ) )
1716simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
18 fdm 5643 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
203, 19syl5sseq 3465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  A )
21 ovex 6224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F supp  (/) )  e.  _V
22 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
2322oion 7876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F supp  (/) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  dom  G  e.  On
2524elexi 3044 . . . . . . . . 9  |-  dom  G  e.  _V
2625uniex 6495 . . . . . . . 8  |-  U. dom  G  e.  _V
2726sucid 4871 . . . . . . 7  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
28 cnfcom.h . . . . . . . 8  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
29 cnfcom.t . . . . . . . 8  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
30 cnfcom.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
31 cnfcom.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
32 cnfcom3.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
33 peano1 6618 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  om
3433a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3532, 34sseldd 3418 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
365, 2, 12, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 1, 35cnfcom2lem 8058 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
3727, 36syl5eleqr 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
3822oif 7870 . . . . . . 7  |-  G : dom  G --> ( F supp  (/) )
3938ffvelrni 5932 . . . . . 6  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( F supp  (/) ) )
4037, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( F supp  (/) ) )
4120, 40sseldd 3418 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  A
)
42 onelon 4817 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  U. dom  G )  e.  A )  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
432, 41, 42syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
441, 43syl5eqel 2474 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
45 oecl 7105 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
466, 2, 45sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
47 onelon 4817 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  A
)  e.  On  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  B  e.  On )
4846, 12, 47syl2anc 659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
49 ontri1 4826 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
506, 48, 49sylancr 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
5132, 50mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  om )
524fveq2i 5777 . . . . . . . 8  |-  ( ( om CNF  A ) `  F )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
) )
53 f1ocnvfv2 6084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
)  =  B )
548, 12, 53syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  ( `' ( om CNF  A ) `  B ) )  =  B )
5552, 54syl5eq 2435 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  F )  =  B )
5655adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  =  B )
576a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  om  e.  On )
582adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  A  e.  On )
5914adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  F  e.  S )
6033a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  (/)  e.  om )
61 1on 7055 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  On
6261a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  1o  e.  On )
632, 20ssexd 4512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  e. 
_V )
645, 7, 2, 22, 14cantnfcl 7999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( F supp 
(/) )  /\  dom  G  e.  om ) )
6564simpld 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  _E  We  ( F supp  (/) ) )
6622oiiso 7877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F supp  (/) )  e. 
_V  /\  _E  We  ( F supp  (/) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G , 
( F supp  (/) ) ) )
6763, 65, 66syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) ) )
6867ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G , 
( F supp  (/) ) ) )
69 isof1o 6122 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) ) )
71 f1ocnv 5736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) )  ->  `' G : ( F supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  G
)
72 f1of 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' G : ( F supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  G  ->  `' G : ( F supp  (/) ) --> dom 
G )
7370, 71, 723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  `' G :
( F supp  (/) ) --> dom 
G )
74 ffvelrn 5931 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' G : ( F supp  (/) ) --> dom  G  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( `' G `  x )  e.  dom  G )
7573, 74sylancom 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( `' G `  x )  e.  dom  G )
76 elssuni 4192 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  x )  e.  dom  G  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
78 onelon 4817 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  G  e.  On  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G )  ->  ( `' G `  x )  e.  On )
7924, 75, 78sylancr 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( `' G `  x )  e.  On )
80 onuni 6527 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
G  e.  On  ->  U.
dom  G  e.  On )
8124, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. dom  G  e.  On
82 ontri1 4826 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' G `  x )  e.  On  /\ 
U. dom  G  e.  On )  ->  ( ( `' G `  x ) 
C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8379, 81, 82sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( ( `' G `  x ) 
C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8477, 83mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
8537ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
86 isorel 6123 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) )  /\  ( U. dom  G  e. 
dom  G  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G ) )  ->  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <-> 
( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x )
) ) )
8768, 85, 75, 86syl12anc 1224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
88 fvex 5784 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' G `  x )  e.  _V
8988epelc 4707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
901breq1i 4374 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
91 fvex 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G `
 ( `' G `  x ) )  e. 
_V
9291epelc 4707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x )
) )
9390, 92bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `
 ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
9487, 89, 933bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
95 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  W  =  (/) )
96 f1ocnvfv2 6084 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp 
(/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
9770, 96sylancom 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
9895, 97eleq12d 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  (/)  e.  x ) )
9994, 98bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  (/)  e.  x
) )
10084, 99mtbid 298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  -.  (/)  e.  x
)
101 onss 6525 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
1022, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  On )
10320, 102sstrd 3427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  On )
104103adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F supp  (/) )  C_  On )
105104sselda 3417 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  x  e.  On )
106 on0eqel 4909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  =  (/)  \/  (/)  e.  x
) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( x  =  (/)  \/  (/)  e.  x ) )
108107ord 375 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( -.  x  =  (/)  ->  (/)  e.  x
) )
109100, 108mt3d 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  x  =  (/) )
110 el1o 7067 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  1o  <->  x  =  (/) )
111109, 110sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  x  e.  1o )
112111ex 432 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( F supp  (/) )  ->  x  e.  1o )
)
113112ssrdv 3423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F supp  (/) )  C_  1o )
1145, 57, 58, 59, 60, 62, 113cantnflt2 8005 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  ( om 
^o  1o ) )
115 oe1 7111 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
1166, 115ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  1o )  =  om
117114, 116syl6eleq 2480 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  om )
11856, 117eqeltrrd 2471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  B  e.  om )
119118ex 432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  ->  B  e.  om )
)
120119necon3bd 2594 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  B  e. 
om  ->  W  =/=  (/) ) )
12151, 120mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
122 dif1o 7068 . 2  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  W  =/=  (/) ) )
12344, 121, 122sylanbrc 662 1  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    u. cun 3387    C_ wss 3389   (/)c0 3711   U.cuni 4163   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425    _E cep 4703    We wwe 4751   Oncon0 4792   suc csuc 4794   `'ccnv 4912   dom cdm 4913   -->wf 5492   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496    Isom wiso 5497  (class class class)co 6196    |-> cmpt2 6198   omcom 6599   supp csupp 6817  seq𝜔cseqom 7030   1oc1o 7041    +o coa 7045    .o comu 7046    ^o coe 7047   finSupp cfsupp 7744  OrdIsocoi 7849   CNF ccnf 7991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-supp 6818  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-seqom 7031  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-omul 7053  df-oexp 7054  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-fsupp 7745  df-oi 7850  df-cnf 7992
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