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Theorem cnfcom3lem 8150
Description: Lemma for cnfcom3 8151. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom.a  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
cnfcom.b  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
cnfcom.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
cnfcom.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cnfcom.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3.1  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3lem  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Distinct variable groups:    x, k,
z, A    x, M    f, k, x, z, F   
z, T    x, W    f, G, k, x, z   
f, H, x    S, k, z    ph, k, x, z
Allowed substitution hints:    ph( f)    A( f)    B( x, z, f, k)    S( x, f)    T( x, f, k)    H( z, k)    K( x, z, f, k)    M( z, f, k)    W( z, f, k)

Proof of Theorem cnfcom3lem
StepHypRef Expression
1 cnfcom.w . . 3  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
2 cnfcom.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  On )
3 suppssdm 6916 . . . . . 6  |-  ( F supp  (/) )  C_  dom  F
4 cnfcom.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)
5 cnfcom.s . . . . . . . . . . . . 13  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
6 omelon 8066 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  om  e.  On
76a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  om  e.  On )
85, 7, 2cantnff1o 8140 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
) )
9 f1ocnv 5818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S )
10 f1of 5806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) -1-1-onto-> S  ->  `' ( om CNF  A ) : ( om  ^o  A ) --> S )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  `' ( om CNF  A
) : ( om 
^o  A ) --> S )
12 cnfcom.b . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ( om 
^o  A ) )
1311, 12ffvelrnd 6017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
)  e.  S )
144, 13syl5eqel 2535 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  S )
155, 7, 2cantnfs 8088 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F  e.  S  <->  ( F : A --> om  /\  F finSupp 
(/) ) ) )
1614, 15mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( F : A --> om  /\  F finSupp  (/) ) )
1716simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : A --> om )
18 fdm 5725 . . . . . . 7  |-  ( F : A --> om  ->  dom 
F  =  A )
1917, 18syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  F  =  A )
203, 19syl5sseq 3537 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  A )
21 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F supp  (/) )  e.  _V
22 cnfcom.g . . . . . . . . . . . 12  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
2322oion 7964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F supp  (/) )  e.  _V  ->  dom  G  e.  On )
2421, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  dom  G  e.  On
2524elexi 3105 . . . . . . . . 9  |-  dom  G  e.  _V
2625uniex 6581 . . . . . . . 8  |-  U. dom  G  e.  _V
2726sucid 4947 . . . . . . 7  |-  U. dom  G  e.  suc  U. dom  G
28 cnfcom.h . . . . . . . 8  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
29 cnfcom.t . . . . . . . 8  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
30 cnfcom.m . . . . . . . 8  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
31 cnfcom.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
32 cnfcom3.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  om  C_  B )
33 peano1 6704 . . . . . . . . . 10  |-  (/)  e.  om
3433a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  om )
3532, 34sseldd 3490 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
(/)  e.  B )
365, 2, 12, 4, 22, 28, 29, 30, 31, 1, 35cnfcom2lem 8148 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  G  =  suc  U.
dom  G )
3727, 36syl5eleqr 2538 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
3822oif 7958 . . . . . . 7  |-  G : dom  G --> ( F supp  (/) )
3938ffvelrni 6015 . . . . . 6  |-  ( U. dom  G  e.  dom  G  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( F supp  (/) ) )
4037, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  ( F supp  (/) ) )
4120, 40sseldd 3490 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  A
)
42 onelon 4893 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( G `  U. dom  G )  e.  A )  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
432, 41, 42syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  U. dom  G )  e.  On )
441, 43syl5eqel 2535 . 2  |-  ( ph  ->  W  e.  On )
45 oecl 7189 . . . . . . 7  |-  ( ( om  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
466, 2, 45sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( om  ^o  A
)  e.  On )
47 onelon 4893 . . . . . 6  |-  ( ( ( om  ^o  A
)  e.  On  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  B  e.  On )
4846, 12, 47syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  On )
49 ontri1 4902 . . . . 5  |-  ( ( om  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
506, 48, 49sylancr 663 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( om  C_  B  <->  -.  B  e.  om )
)
5132, 50mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  B  e.  om )
524fveq2i 5859 . . . . . . . 8  |-  ( ( om CNF  A ) `  F )  =  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF 
A ) `  B
) )
53 f1ocnvfv2 6168 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( om CNF  A ) : S -1-1-onto-> ( om  ^o  A
)  /\  B  e.  ( om  ^o  A ) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  ( `' ( om CNF  A
) `  B )
)  =  B )
548, 12, 53syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  ( `' ( om CNF  A ) `  B ) )  =  B )
5552, 54syl5eq 2496 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( om CNF  A
) `  F )  =  B )
5655adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  =  B )
576a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  om  e.  On )
582adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  A  e.  On )
5914adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  F  e.  S )
6033a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  (/)  e.  om )
61 1on 7139 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  On
6261a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  1o  e.  On )
632, 20ssexd 4584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  e. 
_V )
645, 7, 2, 22, 14cantnfcl 8089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  (  _E  We  ( F supp 
(/) )  /\  dom  G  e.  om ) )
6564simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  _E  We  ( F supp  (/) ) )
6622oiiso 7965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F supp  (/) )  e. 
_V  /\  _E  We  ( F supp  (/) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G , 
( F supp  (/) ) ) )
6763, 65, 66syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) ) )
6867ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G , 
( F supp  (/) ) ) )
69 isof1o 6206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G 
Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) ) )
71 f1ocnv 5818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp  (/) )  ->  `' G : ( F supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  G
)
72 f1of 5806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( `' G : ( F supp  (/) ) -1-1-onto-> dom  G  ->  `' G : ( F supp  (/) ) --> dom 
G )
7370, 71, 723syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  `' G :
( F supp  (/) ) --> dom 
G )
74 ffvelrn 6014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' G : ( F supp  (/) ) --> dom  G  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( `' G `  x )  e.  dom  G )
7573, 74sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( `' G `  x )  e.  dom  G )
76 elssuni 4264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' G `  x )  e.  dom  G  -> 
( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( `' G `  x )  C_  U. dom  G )
78 onelon 4893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  G  e.  On  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G )  ->  ( `' G `  x )  e.  On )
7924, 75, 78sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( `' G `  x )  e.  On )
80 onuni 6613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( dom 
G  e.  On  ->  U.
dom  G  e.  On )
8124, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. dom  G  e.  On
82 ontri1 4902 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( `' G `  x )  e.  On  /\ 
U. dom  G  e.  On )  ->  ( ( `' G `  x ) 
C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8379, 81, 82sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( ( `' G `  x ) 
C_  U. dom  G  <->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) ) )
8477, 83mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  -.  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
8537ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  U. dom  G  e. 
dom  G )
86 isorel 6207 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  Isom  _E  ,  _E  ( dom  G ,  ( F supp  (/) ) )  /\  ( U. dom  G  e. 
dom  G  /\  ( `' G `  x )  e.  dom  G ) )  ->  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <-> 
( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x )
) ) )
8768, 85, 75, 86syl12anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
88 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' G `  x )  e.  _V
8988epelc 4783 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( U. dom  G  _E  ( `' G `  x )  <->  U. dom  G  e.  ( `' G `  x ) )
901breq1i 4444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
91 fvex 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( G `
 ( `' G `  x ) )  e. 
_V
9291epelc 4783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( W  _E  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x )
) )
9390, 92bitr3i 251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G `  U. dom  G )  _E  ( G `
 ( `' G `  x ) )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) )
9487, 89, 933bitr3g 287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) ) ) )
95 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  W  =  (/) )
96 f1ocnvfv2 6168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G : dom  G -1-1-onto-> ( F supp 
(/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
9770, 96sylancom 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( G `  ( `' G `  x ) )  =  x )
9895, 97eleq12d 2525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( W  e.  ( G `  ( `' G `  x ) )  <->  (/)  e.  x ) )
9994, 98bitrd 253 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( U. dom  G  e.  ( `' G `  x )  <->  (/)  e.  x
) )
10084, 99mtbid 300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  -.  (/)  e.  x
)
101 onss 6611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
1022, 101syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  C_  On )
10320, 102sstrd 3499 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F supp  (/) )  C_  On )
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F supp  (/) )  C_  On )
105104sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  x  e.  On )
106 on0eqel 4985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  On  ->  (
x  =  (/)  \/  (/)  e.  x
) )
107105, 106syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( x  =  (/)  \/  (/)  e.  x ) )
108107ord 377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  ( -.  x  =  (/)  ->  (/)  e.  x
) )
109100, 108mt3d 125 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  x  =  (/) )
110 el1o 7151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  1o  <->  x  =  (/) )
111109, 110sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  W  =  (/) )  /\  x  e.  ( F supp  (/) ) )  ->  x  e.  1o )
112111ex 434 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( x  e.  ( F supp  (/) )  ->  x  e.  1o )
)
113112ssrdv 3495 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( F supp  (/) )  C_  1o )
1145, 57, 58, 59, 60, 62, 113cantnflt2 8095 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  ( om 
^o  1o ) )
115 oe1 7195 . . . . . . . 8  |-  ( om  e.  On  ->  ( om  ^o  1o )  =  om )
1166, 115ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( om 
^o  1o )  =  om
117114, 116syl6eleq 2541 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  ( ( om CNF  A ) `  F
)  e.  om )
11856, 117eqeltrrd 2532 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  W  =  (/) )  ->  B  e.  om )
119118ex 434 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( W  =  (/)  ->  B  e.  om )
)
120119necon3bd 2655 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  B  e. 
om  ->  W  =/=  (/) ) )
12151, 120mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  W  =/=  (/) )
122 dif1o 7152 . 2  |-  ( W  e.  ( On  \  1o )  <->  ( W  e.  On  /\  W  =/=  (/) ) )
12344, 121, 122sylanbrc 664 1  |-  ( ph  ->  W  e.  ( On 
\  1o ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    C_ wss 3461   (/)c0 3770   U.cuni 4234   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495    _E cep 4779    We wwe 4827   Oncon0 4868   suc csuc 4870   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   -->wf 5574   -1-1-onto->wf1o 5577   ` cfv 5578    Isom wiso 5579  (class class class)co 6281    |-> cmpt2 6283   omcom 6685   supp csupp 6903  seq𝜔cseqom 7114   1oc1o 7125    +o coa 7129    .o comu 7130    ^o coe 7131   finSupp cfsupp 7831  OrdIsocoi 7937   CNF ccnf 8081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-seqom 7115  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-oexp 7138  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-oi 7938  df-cnf 8082
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