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Theorem cnfcom3clemOLD 8047
Description: Lemma for cnfcom3cOLD 8048. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of cnfcom3clem 8039 as of 4-Jul-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom3cOLD.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom3cOLD.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  b
)
cnfcom3cOLD.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
cnfcom3cOLD.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom3cOLD.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom3cOLD.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom3cOLD.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom3cOLD.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3cOLD.x  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
cnfcom3cOLD.y  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
cnfcom3cOLD.n  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
cnfcom3cOLD.l  |-  L  =  ( b  e.  ( om  ^o  A ) 
|->  N )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3clemOLD  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
Distinct variable groups:    g, b,
k, u, v, w, x, z, A    u, K, v    g, L, w   
x, M    u, T, v, z    f, k, u, v, x, z, F   
f, G, k, u, v, x, z    f, H, u, v, x    S, k, z    u, W, v, w, x
Allowed substitution hints:    A( f)    S( x, w, v, u, f, g, b)    T( x, w, f, g, k, b)    F( w, g, b)    G( w, g, b)    H( z, w, g, k, b)    K( x, z, w, f, g, k, b)    L( x, z, v, u, f, k, b)    M( z, w, v, u, f, g, k, b)    N( x, z, w, v, u, f, g, k, b)    W( z, f, g, k, b)    X( x, z, w, v, u, f, g, k, b)    Y( x, z, w, v, u, f, g, k, b)

Proof of Theorem cnfcom3clemOLD
StepHypRef Expression
1 cnfcom3cOLD.s . . . . . 6  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
2 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  A  e.  On )
3 omelon 7953 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
4 1onn 7178 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  om
5 ondif2 7042 . . . . . . . . 9  |-  ( om  e.  ( On  \  2o )  <->  ( om  e.  On  /\  1o  e.  om ) )
63, 4, 5mpbir2an 911 . . . . . . . 8  |-  om  e.  ( On  \  2o )
7 oeworde 7132 . . . . . . . 8  |-  ( ( om  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  A  C_  ( om  ^o  A ) )
86, 2, 7sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  A  C_  ( om  ^o  A
) )
9 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  b  e.  A )
108, 9sseldd 3455 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  b  e.  ( om  ^o  A
) )
11 cnfcom3cOLD.f . . . . . 6  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  b
)
12 cnfcom3cOLD.g . . . . . 6  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( `' F " ( _V 
\  1o ) ) )
13 cnfcom3cOLD.h . . . . . 6  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
14 cnfcom3cOLD.t . . . . . 6  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
15 cnfcom3cOLD.m . . . . . 6  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
16 cnfcom3cOLD.k . . . . . 6  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
17 cnfcom3cOLD.w . . . . . 6  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
18 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  om  C_  b
)
191, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cnfcom3lemOLD 8045 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  W  e.  ( On  \  1o ) )
20 cnfcom3cOLD.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
21 cnfcom3cOLD.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
22 cnfcom3cOLD.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
231, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22cnfcom3OLD 8046 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  N : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
24 f1of 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  ->  N :
b --> ( om  ^o  W ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  N : b --> ( om 
^o  W ) )
26 vex 3071 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
27 fex 6049 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N : b --> ( om  ^o  W )  /\  b  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
2825, 26, 27sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  N  e.  _V )
29 cnfcom3cOLD.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( b  e.  ( om  ^o  A ) 
|->  N )
3029fvmpt2 5880 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( om 
^o  A )  /\  N  e.  _V )  ->  ( L `  b
)  =  N )
3110, 28, 30syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  ( L `  b )  =  N )
32 f1oeq1 5730 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  b )  =  N  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  <->  N :
b
-1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  <->  N :
b
-1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3423, 33mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
35 oveq2 6198 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( om  ^o  w )  =  ( om  ^o  W
) )
36 f1oeq3 5732 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  w )  =  ( om  ^o  W )  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3837rspcev 3169 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  ( On 
\  1o )  /\  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )
3919, 34, 38syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )
40393expia 1190 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A )  ->  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
4140ralrimiva 2822 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
42 ovex 6215 . . . . 5  |-  ( om 
^o  A )  e. 
_V
4342mptex 6047 . . . 4  |-  ( b  e.  ( om  ^o  A )  |->  N )  e.  _V
4429, 43eqeltri 2535 . . 3  |-  L  e. 
_V
45 nfmpt1 4479 . . . . . 6  |-  F/_ b
( b  e.  ( om  ^o  A ) 
|->  N )
4629, 45nfcxfr 2611 . . . . 5  |-  F/_ b L
4746nfeq2 2629 . . . 4  |-  F/ b  g  =  L
48 fveq1 5788 . . . . . . 7  |-  ( g  =  L  ->  (
g `  b )  =  ( L `  b ) )
49 f1oeq1 5730 . . . . . . 7  |-  ( ( g `  b )  =  ( L `  b )  ->  (
( g `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
5048, 49syl 16 . . . . . 6  |-  ( g  =  L  ->  (
( g `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
5150rexbidv 2844 . . . . 5  |-  ( g  =  L  ->  ( E. w  e.  ( On  \  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
5251imbi2d 316 . . . 4  |-  ( g  =  L  ->  (
( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( g `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) )  <-> 
( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) ) )
5347, 52ralbid 2836 . . 3  |-  ( g  =  L  ->  ( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) )  <->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) ) )
5444, 53spcev 3160 . 2  |-  ( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
5541, 54syl 16 1  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   _Vcvv 3068    \ cdif 3423    u. cun 3424    C_ wss 3426   (/)c0 3735   U.cuni 4189    |-> cmpt 4448    _E cep 4728   Oncon0 4817   `'ccnv 4937   dom cdm 4938   "cima 4941    o. ccom 4942   -->wf 5512   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    |-> cmpt2 6192   omcom 6576  seq𝜔cseqom 7002   1oc1o 7013   2oc2o 7014    +o coa 7017    .o comu 7018    ^o coe 7019  OrdIsocoi 7824   CNF ccnf 7968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-seqom 7003  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-omul 7025  df-oexp 7026  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-oi 7825  df-cnf 7969
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