Theorem cnfcom3clemOLD 8169

Description: Lemma for cnfcom3cOLD 8170. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of cnfcom3clem 8161 as of 4-Jul-2019. (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnfcom3cOLD.s	|- S = dom ( om CNF A )
cnfcom3cOLD.f	|- F = ( `' ( om CNF A ) ` b )
cnfcom3cOLD.g	|- G = OrdIso ( _E , ( `' F " ( _V \ 1o ) ) )
cnfcom3cOLD.h	|- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
cnfcom3cOLD.t	|- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
cnfcom3cOLD.m	|- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
cnfcom3cOLD.k	|- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
cnfcom3cOLD.w	|- W = ( G ` U. dom G )
cnfcom3cOLD.x	|- X = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( F ` W ) .o v ) +o u ) )
cnfcom3cOLD.y	|- Y = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o u ) +o v ) )
cnfcom3cOLD.n	|- N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) )
cnfcom3cOLD.l	|- L = ( b e. ( om ^o A ) |-> N )

Assertion

Ref	Expression
cnfcom3clemOLD	|- ( A e. On -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )

Distinct variable groups:   g, b, k, u, v, w, x, z, A   u, K, v   g, L, w   x, M   u, T, v, z   f, k, u, v, x, z, F   f, G, k, u, v, x, z   f, H, u, v, x   S, k, z   u, W, v, w, x

Allowed substitution hints:   A( f)   S( x, w, v, u, f, g, b)   T( x, w, f, g, k, b)   F( w, g, b)   G( w, g, b)   H( z, w, g, k, b)   K( x, z, w, f, g, k, b)   L( x, z, v, u, f, k, b)   M( z, w, v, u, f, g, k, b)   N( x, z, w, v, u, f, g, k, b)   W( z, f, g, k, b)   X( x, z, w, v, u, f, g, k, b)   Y( x, z, w, v, u, f, g, k, b)

Proof of Theorem cnfcom3clemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfcom3cOLD.s	. . . . . 6 |- S = dom ( om CNF A )
2		simp1 996	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> A e. On )
3		omelon 8075	. . . . . . . . 9 |- om e. On
4		1onn 7300	. . . . . . . . 9 |- 1o e. om
5		ondif2 7164	. . . . . . . . 9 |- ( om e. ( On \ 2o ) <-> ( om e. On /\ 1o e. om ) )
6	3, 4, 5	mpbir2an 918	. . . . . . . 8 |- om e. ( On \ 2o )
7		oeworde 7254	. . . . . . . 8 |- ( ( om e. ( On \ 2o ) /\ A e. On ) -> A C_ ( om ^o A ) )
8	6, 2, 7	sylancr 663	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> A C_ ( om ^o A ) )
9		simp2 997	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> b e. A )
10	8, 9	sseldd 3510	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> b e. ( om ^o A ) )
11		cnfcom3cOLD.f	. . . . . 6 |- F = ( `' ( om CNF A ) ` b )
12		cnfcom3cOLD.g	. . . . . 6 |- G = OrdIso ( _E , ( `' F " ( _V \ 1o ) ) )
13		cnfcom3cOLD.h	. . . . . 6 |- H = seq𝜔 ( ( k e. _V , z e. _V |-> ( M +o z ) ) , (/) )
14		cnfcom3cOLD.t	. . . . . 6 |- T = seq𝜔 ( ( k e. _V , f e. _V |-> K ) , (/) )
15		cnfcom3cOLD.m	. . . . . 6 |- M = ( ( om ^o ( G ` k ) ) .o ( F ` ( G ` k ) ) )
16		cnfcom3cOLD.k	. . . . . 6 |- K = ( ( x e. M |-> ( dom f +o x ) ) u. `' ( x e. dom f |-> ( M +o x ) ) )
17		cnfcom3cOLD.w	. . . . . 6 |- W = ( G ` U. dom G )
18		simp3 998	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> om C_ b )
19	1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18	cnfcom3lemOLD 8167	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> W e. ( On \ 1o ) )
20		cnfcom3cOLD.x	. . . . . . 7 |- X = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( F ` W ) .o v ) +o u ) )
21		cnfcom3cOLD.y	. . . . . . 7 |- Y = ( u e. ( F ` W ) , v e. ( om ^o W ) |-> ( ( ( om ^o W ) .o u ) +o v ) )
22		cnfcom3cOLD.n	. . . . . . 7 |- N = ( ( X o. `' Y ) o. ( T ` dom G ) )
23	1, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22	cnfcom3OLD 8168	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
24		f1of 5822	. . . . . . . . . 10 |- ( N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) -> N : b --> ( om ^o W ) )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N : b --> ( om ^o W ) )
26		vex 3121	. . . . . . . . 9 |- b e. _V
27		fex 6144	. . . . . . . . 9 |- ( ( N : b --> ( om ^o W ) /\ b e. _V ) -> N e. _V )
28	25, 26, 27	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> N e. _V )
29		cnfcom3cOLD.l	. . . . . . . . 9 |- L = ( b e. ( om ^o A ) |-> N )
30	29	fvmpt2 5964	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. ( om ^o A ) /\ N e. _V ) -> ( L ` b ) = N )
31	10, 28, 30	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( L ` b ) = N )
32		f1oeq1 5813	. . . . . . 7 |- ( ( L ` b ) = N -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
33	31, 32	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) <-> N : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
34	23, 33	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) )
35		oveq2 6303	. . . . . . 7 |- ( w = W -> ( om ^o w ) = ( om ^o W ) )
36		f1oeq3 5815	. . . . . . 7 |- ( ( om ^o w ) = ( om ^o W ) -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
37	35, 36	syl 16	. . . . . 6 |- ( w = W -> ( ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) )
38	37	rspcev 3219	. . . . 5 |- ( ( W e. ( On \ 1o ) /\ ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o W ) ) -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) )
39	19, 34, 38	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( A e. On /\ b e. A /\ om C_ b ) -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) )
40	39	3expia 1198	. . 3 |- ( ( A e. On /\ b e. A ) -> ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
41	40	ralrimiva 2881	. 2 |- ( A e. On -> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
42		ovex 6320	. . . . 5 |- ( om ^o A ) e. _V
43	42	mptex 6142	. . . 4 |- ( b e. ( om ^o A ) |-> N ) e. _V
44	29, 43	eqeltri 2551	. . 3 |- L e. _V
45		nfmpt1 4542	. . . . . 6 |- F/_ b ( b e. ( om ^o A ) |-> N )
46	29, 45	nfcxfr 2627	. . . . 5 |- F/_ b L
47	46	nfeq2 2646	. . . 4 |- F/ b g = L
48		fveq1 5871	. . . . . . 7 |- ( g = L -> ( g ` b ) = ( L ` b ) )
49		f1oeq1 5813	. . . . . . 7 |- ( ( g ` b ) = ( L ` b ) -> ( ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
50	48, 49	syl 16	. . . . . 6 |- ( g = L -> ( ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
51	50	rexbidv 2978	. . . . 5 |- ( g = L -> ( E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) <-> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
52	51	imbi2d 316	. . . 4 |- ( g = L -> ( ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) <-> ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) )
53	47, 52	ralbid 2901	. . 3 |- ( g = L -> ( A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) <-> A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) ) )
54	44, 53	spcev 3210	. 2 |- ( A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( L ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )
55	41, 54	syl 16	1 |- ( A e. On -> E. g A. b e. A ( om C_ b -> E. w e. ( On \ 1o ) ( g ` b ) : b -1-1-onto-> ( om ^o w ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ w3a 973   = wceq 1379   E.wex 1596   e. wcel 1767   A.wral 2817   E.wrex 2818   _Vcvv 3118   \ cdif 3478   u. cun 3479   C_ wss 3481   (/)c0 3790   U.cuni 4251   |-> cmpt 4511   _E cep 4795   Oncon0 4884   `'ccnv 5004   dom cdm 5005   "cima 5008   o. ccom 5009   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   omcom 6695  seq_𝜔cseqom 7124   1oc1o 7135   2oc2o 7136   +o coa 7139   .o comu 7140   ^o coe 7141  OrdIsocoi 7946   CNF ccnf 8090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-seqom 7125  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-oexp 7148  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-oi 7947  df-cnf 8091

This theorem is referenced by:  cnfcom3cOLD  8170