MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnfcom3clem Structured version   Unicode version

Theorem cnfcom3clem 8209
Description: Lemma for cnfcom3c 8210. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom3c.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom3c.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  b
)
cnfcom3c.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cnfcom3c.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom3c.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom3c.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom3c.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom3c.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3c.x  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
cnfcom3c.y  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
cnfcom3c.n  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
cnfcom3c.l  |-  L  =  ( b  e.  ( om  ^o  A ) 
|->  N )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3clem  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
Distinct variable groups:    g, b,
k, u, v, w, x, z, A    u, K, v    g, L, w   
x, M    u, T, v, z    f, k, u, v, x, z, F   
f, G, k, u, v, x, z    f, H, u, v, x    S, k, z    u, W, v, w, x
Allowed substitution hints:    A( f)    S( x, w, v, u, f, g, b)    T( x, w, f, g, k, b)    F( w, g, b)    G( w, g, b)    H( z, w, g, k, b)    K( x, z, w, f, g, k, b)    L( x, z, v, u, f, k, b)    M( z, w, v, u, f, g, k, b)    N( x, z, w, v, u, f, g, k, b)    W( z, f, g, k, b)    X( x, z, w, v, u, f, g, k, b)    Y( x, z, w, v, u, f, g, k, b)

Proof of Theorem cnfcom3clem
StepHypRef Expression
1 cnfcom3c.s . . . . . 6  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
2 simp1 1005 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  A  e.  On )
3 omelon 8151 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
4 1onn 7348 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  om
5 ondif2 7212 . . . . . . . . 9  |-  ( om  e.  ( On  \  2o )  <->  ( om  e.  On  /\  1o  e.  om ) )
63, 4, 5mpbir2an 928 . . . . . . . 8  |-  om  e.  ( On  \  2o )
7 oeworde 7302 . . . . . . . 8  |-  ( ( om  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  A  C_  ( om  ^o  A ) )
86, 2, 7sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  A  C_  ( om  ^o  A
) )
9 simp2 1006 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  b  e.  A )
108, 9sseldd 3471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  b  e.  ( om  ^o  A
) )
11 cnfcom3c.f . . . . . 6  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  b
)
12 cnfcom3c.g . . . . . 6  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
13 cnfcom3c.h . . . . . 6  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
14 cnfcom3c.t . . . . . 6  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
15 cnfcom3c.m . . . . . 6  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
16 cnfcom3c.k . . . . . 6  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
17 cnfcom3c.w . . . . . 6  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
18 simp3 1007 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  om  C_  b
)
191, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cnfcom3lem 8207 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  W  e.  ( On  \  1o ) )
20 cnfcom3c.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
21 cnfcom3c.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
22 cnfcom3c.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
231, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22cnfcom3 8208 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  N : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
24 f1of 5831 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  ->  N :
b --> ( om  ^o  W ) )
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  N : b --> ( om 
^o  W ) )
26 vex 3090 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
27 fex 6153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N : b --> ( om  ^o  W )  /\  b  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
2825, 26, 27sylancl 666 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  N  e.  _V )
29 cnfcom3c.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( b  e.  ( om  ^o  A ) 
|->  N )
3029fvmpt2 5973 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( om 
^o  A )  /\  N  e.  _V )  ->  ( L `  b
)  =  N )
3110, 28, 30syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  ( L `  b )  =  N )
32 f1oeq1 5822 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  b )  =  N  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  <->  N :
b
-1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3331, 32syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  <->  N :
b
-1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3423, 33mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
35 oveq2 6313 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( om  ^o  w )  =  ( om  ^o  W
) )
36 f1oeq3 5824 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  w )  =  ( om  ^o  W )  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3735, 36syl 17 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3837rspcev 3188 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  ( On 
\  1o )  /\  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )
3919, 34, 38syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )
40393expia 1207 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A )  ->  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
4140ralrimiva 2846 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
42 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( om 
^o  A )  e. 
_V
4342mptex 6151 . . . 4  |-  ( b  e.  ( om  ^o  A )  |->  N )  e.  _V
4429, 43eqeltri 2513 . . 3  |-  L  e. 
_V
45 nfmpt1 4515 . . . . . 6  |-  F/_ b
( b  e.  ( om  ^o  A ) 
|->  N )
4629, 45nfcxfr 2589 . . . . 5  |-  F/_ b L
4746nfeq2 2608 . . . 4  |-  F/ b  g  =  L
48 fveq1 5880 . . . . . . 7  |-  ( g  =  L  ->  (
g `  b )  =  ( L `  b ) )
49 f1oeq1 5822 . . . . . . 7  |-  ( ( g `  b )  =  ( L `  b )  ->  (
( g `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
5048, 49syl 17 . . . . . 6  |-  ( g  =  L  ->  (
( g `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
5150rexbidv 2946 . . . . 5  |-  ( g  =  L  ->  ( E. w  e.  ( On  \  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
5251imbi2d 317 . . . 4  |-  ( g  =  L  ->  (
( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( g `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) )  <-> 
( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) ) )
5347, 52ralbid 2866 . . 3  |-  ( g  =  L  ->  ( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) )  <->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) ) )
5444, 53spcev 3179 . 2  |-  ( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
5541, 54syl 17 1  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ w3a 982    = wceq 1437   E.wex 1659    e. wcel 1870   A.wral 2782   E.wrex 2783   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    u. cun 3440    C_ wss 3442   (/)c0 3767   U.cuni 4222    |-> cmpt 4484    _E cep 4763   `'ccnv 4853   dom cdm 4854    o. ccom 4858   Oncon0 5442   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   omcom 6706   supp csupp 6925  seq𝜔cseqom 7172   1oc1o 7183   2oc2o 7184    +o coa 7187    .o comu 7188    ^o coe 7189  OrdIsocoi 8024   CNF ccnf 8165
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-seqom 7173  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-oexp 7196  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-cnf 8166
This theorem is referenced by:  cnfcom3c  8210
  Copyright terms: Public domain W3C validator