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Theorem cnfcom3clem 8050
Description: Lemma for cnfcom3c 8051. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 4-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cnfcom3c.s  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
cnfcom3c.f  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  b
)
cnfcom3c.g  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
cnfcom3c.h  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
cnfcom3c.t  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
cnfcom3c.m  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
cnfcom3c.k  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
cnfcom3c.w  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
cnfcom3c.x  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
cnfcom3c.y  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
cnfcom3c.n  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
cnfcom3c.l  |-  L  =  ( b  e.  ( om  ^o  A ) 
|->  N )
Assertion
Ref Expression
cnfcom3clem  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
Distinct variable groups:    g, b,
k, u, v, w, x, z, A    u, K, v    g, L, w   
x, M    u, T, v, z    f, k, u, v, x, z, F   
f, G, k, u, v, x, z    f, H, u, v, x    S, k, z    u, W, v, w, x
Allowed substitution hints:    A( f)    S( x, w, v, u, f, g, b)    T( x, w, f, g, k, b)    F( w, g, b)    G( w, g, b)    H( z, w, g, k, b)    K( x, z, w, f, g, k, b)    L( x, z, v, u, f, k, b)    M( z, w, v, u, f, g, k, b)    N( x, z, w, v, u, f, g, k, b)    W( z, f, g, k, b)    X( x, z, w, v, u, f, g, k, b)    Y( x, z, w, v, u, f, g, k, b)

Proof of Theorem cnfcom3clem
StepHypRef Expression
1 cnfcom3c.s . . . . . 6  |-  S  =  dom  ( om CNF  A
)
2 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  A  e.  On )
3 omelon 7964 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
4 1onn 7189 . . . . . . . . 9  |-  1o  e.  om
5 ondif2 7053 . . . . . . . . 9  |-  ( om  e.  ( On  \  2o )  <->  ( om  e.  On  /\  1o  e.  om ) )
63, 4, 5mpbir2an 911 . . . . . . . 8  |-  om  e.  ( On  \  2o )
7 oeworde 7143 . . . . . . . 8  |-  ( ( om  e.  ( On 
\  2o )  /\  A  e.  On )  ->  A  C_  ( om  ^o  A ) )
86, 2, 7sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  A  C_  ( om  ^o  A
) )
9 simp2 989 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  b  e.  A )
108, 9sseldd 3466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  b  e.  ( om  ^o  A
) )
11 cnfcom3c.f . . . . . 6  |-  F  =  ( `' ( om CNF 
A ) `  b
)
12 cnfcom3c.g . . . . . 6  |-  G  = OrdIso
(  _E  ,  ( F supp  (/) ) )
13 cnfcom3c.h . . . . . 6  |-  H  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  z  e.  _V  |->  ( M  +o  z
) ) ,  (/) )
14 cnfcom3c.t . . . . . 6  |-  T  = seq𝜔 ( ( k  e.  _V ,  f  e.  _V  |->  K ) ,  (/) )
15 cnfcom3c.m . . . . . 6  |-  M  =  ( ( om  ^o  ( G `  k ) )  .o  ( F `
 ( G `  k ) ) )
16 cnfcom3c.k . . . . . 6  |-  K  =  ( ( x  e.  M  |->  ( dom  f  +o  x ) )  u.  `' ( x  e. 
dom  f  |->  ( M  +o  x ) ) )
17 cnfcom3c.w . . . . . 6  |-  W  =  ( G `  U. dom  G )
18 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  om  C_  b
)
191, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cnfcom3lem 8048 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  W  e.  ( On  \  1o ) )
20 cnfcom3c.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( F `
 W )  .o  v )  +o  u
) )
21 cnfcom3c.y . . . . . . 7  |-  Y  =  ( u  e.  ( F `  W ) ,  v  e.  ( om  ^o  W ) 
|->  ( ( ( om 
^o  W )  .o  u )  +o  v
) )
22 cnfcom3c.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( ( X  o.  `' Y )  o.  ( T `  dom  G ) )
231, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 20, 21, 22cnfcom3 8049 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  N : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
24 f1of 5750 . . . . . . . . . 10  |-  ( N : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
)  ->  N :
b --> ( om  ^o  W ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  N : b --> ( om 
^o  W ) )
26 vex 3081 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
27 fex 6060 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N : b --> ( om  ^o  W )  /\  b  e.  _V )  ->  N  e.  _V )
2825, 26, 27sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  N  e.  _V )
29 cnfcom3c.l . . . . . . . . 9  |-  L  =  ( b  e.  ( om  ^o  A ) 
|->  N )
3029fvmpt2 5891 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( om 
^o  A )  /\  N  e.  _V )  ->  ( L `  b
)  =  N )
3110, 28, 30syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  ( L `  b )  =  N )
32 f1oeq1 5741 . . . . . . 7  |-  ( ( L `  b )  =  N  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  <->  N :
b
-1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3331, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  W )  <->  N :
b
-1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3423, 33mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )
35 oveq2 6209 . . . . . . 7  |-  ( w  =  W  ->  ( om  ^o  w )  =  ( om  ^o  W
) )
36 f1oeq3 5743 . . . . . . 7  |-  ( ( om  ^o  w )  =  ( om  ^o  W )  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3735, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( w  =  W  ->  (
( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W ) ) )
3837rspcev 3179 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  ( On 
\  1o )  /\  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  W
) )  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )
3919, 34, 38syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A  /\  om  C_  b )  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )
40393expia 1190 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  b  e.  A )  ->  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
4140ralrimiva 2830 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
42 ovex 6226 . . . . 5  |-  ( om 
^o  A )  e. 
_V
4342mptex 6058 . . . 4  |-  ( b  e.  ( om  ^o  A )  |->  N )  e.  _V
4429, 43eqeltri 2538 . . 3  |-  L  e. 
_V
45 nfmpt1 4490 . . . . . 6  |-  F/_ b
( b  e.  ( om  ^o  A ) 
|->  N )
4629, 45nfcxfr 2614 . . . . 5  |-  F/_ b L
4746nfeq2 2633 . . . 4  |-  F/ b  g  =  L
48 fveq1 5799 . . . . . . 7  |-  ( g  =  L  ->  (
g `  b )  =  ( L `  b ) )
49 f1oeq1 5741 . . . . . . 7  |-  ( ( g `  b )  =  ( L `  b )  ->  (
( g `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
5048, 49syl 16 . . . . . 6  |-  ( g  =  L  ->  (
( g `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w )  <->  ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) )
5150rexbidv 2868 . . . . 5  |-  ( g  =  L  ->  ( E. w  e.  ( On  \  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
)  <->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) )
5251imbi2d 316 . . . 4  |-  ( g  =  L  ->  (
( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( g `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) )  <-> 
( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b
) : b -1-1-onto-> ( om 
^o  w ) ) ) )
5347, 52ralbid 2843 . . 3  |-  ( g  =  L  ->  ( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) )  <->  A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) ) ) )
5444, 53spcev 3170 . 2  |-  ( A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On  \  1o ) ( L `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w ) )  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
5541, 54syl 16 1  |-  ( A  e.  On  ->  E. g A. b  e.  A  ( om  C_  b  ->  E. w  e.  ( On 
\  1o ) ( g `  b ) : b -1-1-onto-> ( om  ^o  w
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 965    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799   E.wrex 2800   _Vcvv 3078    \ cdif 3434    u. cun 3435    C_ wss 3437   (/)c0 3746   U.cuni 4200    |-> cmpt 4459    _E cep 4739   Oncon0 4828   `'ccnv 4948   dom cdm 4949    o. ccom 4953   -->wf 5523   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    |-> cmpt2 6203   omcom 6587   supp csupp 6801  seq𝜔cseqom 7013   1oc1o 7024   2oc2o 7025    +o coa 7028    .o comu 7029    ^o coe 7030  OrdIsocoi 7835   CNF ccnf 7979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-inf2 7959
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-se 4789  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-isom 5536  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-seqom 7014  df-1o 7031  df-2o 7032  df-oadd 7035  df-omul 7036  df-oexp 7037  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-oi 7836  df-cnf 7980
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